1、5.1 模拟滤波器基本概念及设计方法模拟滤波器基本概念及设计方法 输入、输出均为模拟信号的滤波器即模拟滤波器。通常用幅频响应和相频响应来表征一个滤波器的特性。对幅频响应，通常把能够通过的信号的频率范围定义为通带，而把受阻或衰减的信号频率范围称为阻带，通带和阻带的界限频率称为截止频率。按照通带和阻带的相互位置不同，模拟滤波器可分为低通、高通、带通和带阻四类。 图5.1 各种理想滤波器的幅频特性 )(jaH低通带通带阻高通)(jaH)(jaH)(jaH000c模拟滤波器的设计方法模拟滤波器的设计方法 模拟滤波器的设计就是要将一组规定的设计要求，转换为相应的模拟系统函数Ha(s)，使其逼近某个理想滤
2、波器的特性，这种逼近是根据幅度平方函数来确定的，也就是说，模拟滤波器设计中，通常只考虑幅频特性。 1.模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法 模拟低通滤波器的设计指标有p, p,s和s。其中p和s分别称为通带截止频率和阻带截止频率，p是通带(=0p)中的最大衰减系数，s是阻带s的最小衰减系数，p和s一般用dB数表示。对于单调下降的幅度特性，可表示成： 如果=0处幅度已归一化到1，即|Ha(j0)|=1,p和s表示为以上技术指标用图5-2表示。图中c称为3dB截止频率，因 2210lg()10lg()papsasHjHj (5-3) (5-4) ()1/2, 20lg()3acacHjHjdB22)
3、()0(lg10paapjHjH22)()0(lg10saasjHjH(5-1)(5-2)图5-2 低通滤波器的幅度特性 滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函数Ha(s)，希望其幅度平方函数满足给定的指标p和s，一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此jsaaaaaaasHsHjHjHjHjHjH)()()()()()()(*2如果能由p、s、p、c求出 ，那么滤波器的设计就转化为如何由 求得Ha(s)，分析如下：因为脉冲响应 ha(t)是实的，因而Ha(s)的极点(或零点)必成共轭对存在。 Ha(s) Ha(-s)的极点、零点分布如图5.1.3所示，是成象限对称的。 S平面图5.1.3零点
4、、极点分布2)( jHa2)( jHa 由于任何实际可实现的滤波器都是稳定的，因此其系统函数Ha(s)的极点一定落于s的左半平面，所以左半平面的极点一定属于Ha(s),而右半平面的极点必属于 Ha(-s) 。零点的分布则无此限制，它只和滤波器的相位特性有关，如果要求是最小相位延时特性，则Ha(s)应取左半平面零点；如无特殊要求，则可将对称零点的任一半(应为共轭对)取为 Ha(s)的零点。由此，得到由 确定Ha(s)的方法： (1)由 得到象限对称的s平面函数(2) 寻找Ha(s) Ha(-s)的零点和极点。将左半平面的极点归于Ha(s)，如无特殊要求，可取 Ha(s) Ha(-s)以虚轴为对称
5、轴的对称零点的任一半(应是共轭对)作为Ha(s)的零点。j轴上的零点或极点都是偶次的，其中一半(应为共轭对)属于Ha(s) (3) 求出Ha(s)的零极点和增益，即可确定系统函数Ha(s)。2)( jHajsaaasHsHjH)()()(2 2.巴特沃斯低通滤波器的设计方法 巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(j)|2用下式表示：221()1()aNcHj(5-7) 图5-4 巴特沃斯幅度特性和N的关系 将幅度平方函数|Ha(j)|2写成s的函数： 21( )()1()aaNcHs Hssj(5-7) 此式表明幅度平方函数有2N个极点，极点sk用下式表示：1121()222( 1)()kj
6、NNkccsje k=0,1,2N-1 (5-8) NcNcajjjH222)/(11)/(11 这2N个极点分布在s平面半径为c的圆上(巴特沃斯圆)，角度间隔/N弧度。为形成稳定的滤波器，取平面左半平面的N个极点构成 Ha(s)。所以取左半平面的极点时，应满足)21221(Nkjckes12, 1 , 0Nk 因23)21221(2Nk2121Nk而k为整数，所以k=0,1,N-1。所以巴特沃斯滤波器的N个极点为 1, 1 , 0;e)21221(jNksNkck则滤波器的系统函数Ha(s)为)()(10kNkNcasssH图5-5 三阶巴特沃斯滤波器极点分布以N3为例，Ha(s)Ha(-s
7、)极点分布如图，分别为1, 1 , 0;e)21221(jNksNkck12 , 1 , 0;e)21221(jNksNkck320jcescs1322jces313jcescs4315jces，Ha(s)取左半平面极点，即所以Ha(s) 极点为s0,s1,s2)()()(32j32j3esesssHccca 由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，将所有的频率归一化。这里采用对3dB截止频率c归一化，归一化后的Ha(s)表示为 式中，s/c=j/c。 令=/c，称为归一化频率；令p=j，p称为归一化复变量，这样归一化巴特沃斯的传输函数为101( )()aNkkccHsss(5-11) 10
8、1( )()aNkkHppp(5-12) (3)频率归一化问题式中，pk为归一化极点，因p=s/c,pk=sk/c用下式表示： 将极点表示式代入(5-12)式，得到的归一化系统函数Ha(p)的表达式，所以求Ha(p) 需先求滤波器阶数N,求得N后按式(5-13)或查表5-1即得Ha(p) 。下面介绍阶数N的确定方法 121()22,0,1,1kjNkpekN(5-13)1, 1 , 0;e)21221(jNksNkckNcNcajjjH222)/(11)/(112)(lg10papjH2)(lg10sasjH10/210)(1pNcp(5-6)(5-3)(5-4)将=p和s分别代入(5-6),
9、得到p和s处的幅度平方函数，再将这两个频率点处的幅度平方函数分别代入(5-3)和(5-4) ，得10/210)(1sNcs 由(5-15)和(5-16)式得到：/10/10101()101psapNas令1010101/,101psaspspspak ,则N由下式表示： lglgspspkN (5-17) 用上式求出的N可能有小数部分，应取大于等于N的最小整数。关于3dB截止频率c，如果技术指标中没有给出，可以按照(5-15)式或(5-16)式求出，由(5-15)式得到： 10.1210.12(101)(101)psaNcpaNcs 由(5-16)式得到： (5-18)(5-19) 总结以上，
10、低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下： (1)根据技术指标p,p,s和s，用(5-17)式求出滤波器的阶数N。 (2)按照(5-13)式，求出归一化极点pk，将pk代入(5-12)式，得到归一化传输函数Ha(p)。 (3)将Ha(p)去归一化。将p=s/c代入Ha(p)，得到实际的滤波器传输函数Ha(s)。 表5-1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数 例5-1 已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减p=2dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减s=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。 解 (1) 确定阶数N。 0.10.11010.024210122.42lg0.02424
11、.25,5lg2.4psaspassppkffNN (2) 按照(5-13)式，其极点为按照(5-12)式， 归一化传输函数为401( )()akkHppp53j0ep54j1epj2ep56j3ep57j4ep，)21221(je/Nkckksp1, 1 , 0Nk， 10)(1NkkapppH 上式分母可以展开成为五阶多项式，或者将共轭极点放在一起，形成因式分解形式。这里不如直接查表5-1简单，由N=5，直接查表得到： 极点：-0.3090j0.9511,-0.8090j0.5878; -1.00005432432101( )aHppb pb pb pb pb 式中 b0=1.0000,b
12、1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361 (3) 为将Ha(p)去归一化，先求3dB截止频率c。 按照(5-18)式，得到：10.1210.12(101)25.2755/(101)210.525/psaNcpaNsckrad skrad s 将c代入(5-19)式，得到：将p=s/c代入Ha(p)中得到：554233245432( )10cacccccHssbsbsbsbsb6.1 数字滤波器基础数字滤波器基础 1. 数字滤波器的分类 (1)数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应分类，可以分成无限脉冲响应(IIR)滤波器和有限脉冲响应(FIR)滤波器。
13、它们的系统函数分别为： 0110( )1( )( )MrrrNkkkNnnb zH za zH zh n z图6-1 理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性 )(ejH)(ejH)(ejH)(ejH0低通0高通0带通0带阻22222222(2)从功能上分为低通、高通、带通、带阻滤波器。 2数字滤波器的技术要求 我们通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数字滤波器的传输函数H(e j)用下式表示： ()()()jjjH eH ee图6-2 低通滤波器的技术要求 通带内和阻带内允许的衰减一般用dB数表示，通带内允许的最大衰减用p表示，阻带内允许的最小衰减用s表示，p和s分别定义为：(6-1)
14、 (6-2) 20lg()20lg()psjpjsH edBH edB c=3db时，对应的频率记为wc,称为3db截止频率。 3. 数字滤波器设计方法概述 IIR滤波器和FIR滤波器的设计方法是很不相同的。IIR滤波器设计方法有两类，经常用的一类设计方法是借助于模拟滤波器的设计方法进行的。其设计步骤是：先设计模拟滤波器得到传输函数Ha(s)，然后将Ha(s)按某种方法转换成数字滤波器的系统函数H(z)。 FIR滤波器通常直接在频域或时域内进行，借助窗函数法设计。 6.2 IIR数字低通滤波器的设计数字低通滤波器的设计 IIR滤波器常借助模拟滤波器来设计，方法是首先将数字滤波器技术指标转换为对
15、应的模拟滤波器技术指标，然后设计满足技术指标的模拟滤波器Ha(s)，最后将设计出的模拟滤波器Ha(s)转换为满足技术指标的数字滤波器H(z)。为了保证转换后的H(z)稳定且满足技术要求，对转换关系提出两点要求： (1) 因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。模拟滤波器因果稳定要求其系统函数Ha(s)的极点全部位于s平面的左半平面；数字滤波器因果稳定则要求H(z)的极点全部在单位圆内。因此，转换关系应是s平面的左半平面映射到z平面的单位圆内。 (2)数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响，s平面的虚轴映射z平面的单位圆。6.2.1脉冲响应不变法脉冲响应不变法 脉冲响应不变法的核
16、心是通过将模拟滤波器的单位脉冲响应ha(t)等间隔采样得到离散序列ha(nT)，使h(n)=ha(nT)(其中，T为采样间隔)，即得到数字滤波器的单位脉冲响应。因此脉冲响应不变法是一种时域上的转换方法，转换步骤如下：拉氏逆变换等间隔采样Z变换Ha(s)Ha(t)Ha(nT)=h(n)H(z) 设模拟滤波器的传输函数为Ha(s),相应的单位冲激响应是ha(t)，即 ( )( )aaHsLT h t 设模拟滤波器Ha(s)只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将Ha(s)用部分分式表示： 1( )NiaiiAHsss(6-3) 式中si为Ha(s)的单阶极点。将Ha(s)进行逆拉氏
17、变换得到ha(t)：NitsiatueAthi1)()( 式中u(t)是单位阶跃函数。对ha(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到： 1( )()()iNs nTaiih nh nTAeu nT(6-4)对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数H(z)： 11( )1iNis TiAH zez (6-5)设ha(t)的采样信号用ha(t)表示，( )( ) ()aanhth ttnTNitsiatueAthi1)()( 对 进行拉氏变换，得到: ( )aht( )( )()()staastansnTHsht edth tnT edtnT e 式中ha(nT)是ha(t)在采样点t=nT时的
18、幅度值，它与序列h(n)的幅度值相等，即h(n)=ha(nT)，因此得到: ( )( )( )( )sTsTsnTnaz ez ennHsh n eh n zH z(6.3.5) 上式表示采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换之间的映射关系可用下式表示： 我们知道模拟信号ha(t)的傅里叶变换Ha(j)和其采样信号 的傅里叶变换 之间的关系满足下式(采样定理）：sTze(6-8) ( )aht()aHj将s=j代入上式，得所以(6-9) (6-10) (6-11) ksaazksHTsHzHsT)j(1)()(eksaaksHTsH)j(1)(ksaakHTH)j(j1)(j 上式表明将模拟信
19、号ha(t)的拉氏变换在s平面上沿虚轴按照周期s=2/T延拓后，再按照(6-8)式映射关系，映射到z平面上，就得到H(z)。(6-8)式可称为标准映射关系。下面进一步分析这种映射关系。设jsjzre 按照(6-8)式，得到:jTj Treee因此得到:TreT (6-12) 那么 =0,r=1 0,r0,r1 另外，注意到z=esT是一个周期函数，可写成2(),jM TsTTj TTTeeeeeM为任意整数图6-5 z=esT,s平面与z平面之间的映射关系图6-6 脉冲响应不变法的频率混叠现象 假设 没有频率混叠现象，即满足 按照(6-11)式，并将关系式s=j代入，=T，代入得到： 令()a
20、Hj()0,/aHjT 1()(),jaH eHjTT11( )()( )1()(/),iaNis Tijah nTh nTTAH zezH eHjT 一般Ha(s)的极点si是一个复数，且以共轭成对的形式出现，在(6-3)式中将一对复数共轭极点放在一起，形成一个二阶基本节。如果模拟滤波器的二阶基本节的形式为1112211()sjs 极点为 可以推导出相应的数字滤波器二阶基本节(只有实数乘法)的形式为 1111121211cos12cosTTTz eTz eTz e 如果模拟滤波器二阶基本节的形式为 1111112211112121,()sin12cosTTTjsz eTz eTz e 极点为
21、 例6-2 已知模拟滤波器的传输函数Ha(s)为 用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数H(z)。 解 首先将Ha(s)写成部分分式：20.5012( )0.64490.7079aHsss0.32240.3224( )0.32240.77720.32240.7772ajjHssjsj极点为12(0.32240.772),(0.32240.7772)sjsj 那么H(z)的极点为1212,s Ts Tzeze经过整理，得到 设T=1s时用H1(z)表示，T=0.1s时用H2(z)表示，则111212120.3276( )1 1.03280.2470.0485( )1 1.9307
22、0.9375zH zzzzHzzz图6.3.3 例6.3.1的幅度特性6.2.2 用双线性变换法设计用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器原理是由数字滤波器的差分方程模拟模拟滤波器的微分方程。 Ha(s)微分方程差分方程H(z)以一阶微分方程为例进行推导。设 asbsXsYsHa)()()(微分方程为 )()()(tbxtaydttdy对连续函数x(t)和y(t)进行等间隔采样(间隔为T) ，得到离散值x(n)、x(n-1)、y(n)、y(n-1)，利用数值分析中的标准方法，可进行以下近似)1()(21nxnx)1()(21nyny)1()(1nynyT x(t) y(t) dy
23、(t)/dt 将这些近似代入微分方程) 1(2)(2) 1()12()()12(nxbnxbnyTanyTa进行Z变换，得azzTbzXzYzH11112)()()(asbsXsYsHa)()()(对比可得H(z)与Ha(s)的关系11112)()(zzTsasHzH以上结论虽然是以一阶微分方式为例得出的，但由于任意高阶的Ha(s)都可以分解为一阶系统的并联，因此以上的推导具有普遍规律。s平面与z平面的转换关系为11112zzTssTsTz22转换关系分析转换关系分析(1)s平面到z平面的映射关系设s=+j，z=rejw,由sTsTz22j2j2TTz2222)2()2(TTr当0时，r=1,
24、 s平面虚轴映射到Z平面的单位圆上；当0时，r0时，r1, s平面右半平面映射到Z平面的单位圆外。这说明双线性变换法满足s到z的两个转换条件。即若Ha(s)因果稳定，转换后得到H(z)也因果稳定，数字滤波器频率响应H(ejw)模仿模拟滤波器频响Ha(j )。 (2)消除频率混叠的原因增加一个过渡平面s1，将sz的转换分成两步，即ss1z.设Tsez111112zzTs由得TsTseeTs11112第一步转换，将 js11js代入上式，可得 TTTeeTTT11jj21cos21sin2j112j11TT121tan2T是采样间隔，当 从 经过0变化到 时，则从-经过0变化到 +实现了s平面上整
25、个虚轴完全压缩到 s1平面上虚轴的之间的转换。 1T/T/T/第二步转换 ，将 ， 代入TT121tan2zs 1111jswrzjeTsez1TrT11e所以s1到z平面，实现了s1左半平面(10)映射z平面的单位圆(r0)映射z平面的单位圆(r1)内, s1平面虚轴(10)映射z平面的单位圆(r1)。,21tan2T图6-9 双线性变换法的映射关系 设 kkkkasBsBsBBsAsAsAAsH22102210)(TCsHzHzzCsa2,)()(1111kkkkzbzbzbzazazaazH2211221101)( 表6-2 系数关系表 例6-3试分别用脉冲响应不变法和双线性不变法将图示
26、的RC低通滤波器转换成数字滤波器。 解 首先按照图写出回路方程1( ),aHssRC 利用脉冲响应不变法转换，数字滤波器的系统函数H1(z)为 11( )1TH zezx(t)u(t)()()()()()()(tCutqdttdqtitutRitx整理并拉氏变换得该滤波器的传输函数Ha(s)为 利用双线性变换法转换，数字滤波器的系统函数H2(z)为 H1(z)和H2(z)的网络结构分别如下图所示。H1(z)和H2(z)的网络结构 (a)H1(z); (b)H2(z) 121111221)1 ()()(11zzsHzHzzTsa22,221TTTT数字滤波器H1(z)和H2(z)的幅频特性 下面
27、我们总结利用模拟滤波器设计IIR数字低通滤波器的步骤。 (1)确定数字低通滤波器的技术指标：通带截止频率p、通带衰减p、阻带截止频率s、阻带衰减s。 (2)将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标。 如果采用双线性变换法，边界频率的转换关系为若采用脉冲响应不变法，转换关系为(3)按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器。21tan2TT/ (4)将模拟滤波器Ha(s)，从s平面转换到z平面，得到数字低通滤波器系统函数H(z)。 脉冲响应不变法转换关系为 双线性变换法转换关系为(5)画出频率响应 ，校核是否满足设计指标。 例6-4 设计低通数字滤波器，要求在通带内频率低于0
28、.2rad时，容许幅度误差在1dB以内；在频率0.3到之间的阻带衰减大于15dB。指定模拟滤波器采用巴特沃斯低通滤波器。试分别用脉冲响应不变法和双线性变换法设计滤波器。1e1zAssATsiiii11112)()(zzTasHzHjej)()(ezzHH 解 (1) 用脉冲响应不变法设计数字低通滤波器。 数字低通的技术指标为 p=0.2rad,p=1dB; s=0.3rad,s=15dB 设T1s,则模拟低通的技术指标为 T=1s,p=0.2rad/s,p=1dB; s=0.3rad/s,s=15dBT/(频率转换关系为 ,衰减不变） 设计巴特沃斯低通滤波器。先计算阶数N及3dB截止频率c。
29、0.10.1lglg0.31.50.21010.092101lg0.0925.884lg1.5psspspssppspkNkN 取N=6。为求3dB截止频率c,将p和p代入(5-18)式，得到c=0.7032rad/s，显然此值满足通带技术要求，同时给阻带衰减留一定余量，这对防止频率混叠有一定好处。 根据阶数N=6，查表5-1，得到归一化传输函数为234561( )13.86377.46419.14167.46413.8637aHppppppp 为去归一化，将p=s/c代入Ha(p)中，得到实际的传输函数Ha(s), 62652433425665432( )3.86377.46419.1416
30、7.46413.86370.12092.7163.6913.1791.8250.1210.1209accccccHsssssssssssss 用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成H(z)。首先将Ha(s)进行部分分式，并按照(6-6)式经整理得到：1112121120.28710.44662.14281.1454( )10.12970.69491 1.06910.36991.85580.630410.99720.2570zzH zzzzzzzz例6-4图用脉冲响应不变法设计的数字低通滤波器的幅度特性 (2) 用双线性变换法设计数字低通滤波器。 数字低通技术指标仍为 p=0.2rad,p=1dB;
31、 s=0.3rad,s=15dB 模拟低通的技术指标为21tan,122tan0.10.65/ ,12tan0.151.019/ ,15ppPpssTTrad sdBrad sdB 21tan2T 设计巴特沃斯低通滤波器。阶数N计算如下：lglg1.0191.5680.650.092lg0.0925.306lg1.568spspssppspkNkN 取N=6。为求c,将s和s代入(5-19)式中，得到c=0.7662rad/s。这样阻带技术指标满足要求，通带指标已经超过。 根据N=6，查表5-1得到的归一化传输函数Ha(p)与脉冲响应不变法得到的相同。为去归一化，将p=s/c代入Ha(p)，得实际的Ha(s)， 用双线性变换法将Ha(s)转换成数字滤波器H(z)：2220.2024( )(0.3960.5871)(1.0830.5871)(1.4800.5871)aHsssssss111 61212121120.0007378(1)( )( )(1 1.2680.7051)(1 1.0100.358)110.90440.2155azszzH zHszzzzzz例6-4图用双线性变换法设计的数字低通滤波器的幅度特性
