1、2-2 2-2 动量守恒定律动量守恒定律 一一 理解理解质点和质点系的质点和质点系的动量、冲量概念动量、冲量概念, 掌握掌握动量定理和动量守恒定律动量定理和动量守恒定律 。 三三 理解理解质点和质点系的角质点和质点系的角动量、力矩的概动量、力矩的概念念,掌握掌握角角动量定理和角动量守恒定律动量定理和角动量守恒定律 。 二二 了解了解火箭的飞行原理，火箭的飞行原理，理解理解质心的概念，质心的概念，掌握掌握质心的运动定律。质心的运动定律。 2-2-1 动量车辆超载容易车辆超载容易引发交通事故引发交通事故车辆超速容易车辆超速容易引发交通事故引发交通事故 动量：动量：运动质点的质量与速度的乘积。运动质
2、点的质量与速度的乘积。vmp 单位：单位：kgms-1由由n个质点所构成的质点系的动量：个质点所构成的质点系的动量： in1iin1iivmpp 2-2-2 动量定理1质点的动量定理质点的动量定理 运动员在投掷标枪时，伸直手臂，尽可能的延长手对标枪的作用时间，以提高标枪出手时的速度。 冲量是反映力对时间的累积效应。冲量：冲量：作用力与作用时间的作用力与作用时间的乘积。乘积。恒力的冲量：恒力的冲量：)(12ttFI变力的冲量：变力的冲量：21d)(ttttFI单位：单位：Ns牛顿运动定律：牛顿运动定律：amFdtpdtmFd)(dv动量定理的微分式：动量定理的微分式：tFpdd如果力的作用时间从
3、如果力的作用时间从 ，质点动量从，质点动量从 tt 0pp0ttppootFpdd质点动量定理：质点动量定理：质点在运动过程中，所受合外力的质点在运动过程中，所受合外力的冲量等于质点动量的增量。冲量等于质点动量的增量。00dvvmmpptFItto说明：说明：（1 1） 冲量的方向冲量的方向 与动量增量与动量增量 的方向一致。的方向一致。Ip动量定理中的动量和冲量都是矢量，符合矢动量定理中的动量和冲量都是矢量，符合矢量叠加原理。因此在计算时可采用平行四边量叠加原理。因此在计算时可采用平行四边形法则。或把动量和冲量投影在坐标轴上以形法则。或把动量和冲量投影在坐标轴上以分量形式进行计算。分量形式进
4、行计算。（2 2）注意：注意：动量为状态量，冲量为过程量。动量为状态量，冲量为过程量。 ttzozzzttyoyyyxoxttxxooommtFImmtFImmtFIvvvvvvddd平均冲力：平均冲力：ttotFttFd10 tFttFI结论：结论：物体动量变化一定的情况下，作用时间越长，物体动量变化一定的情况下，作用时间越长，物体受到的平均冲力越小；反之则越大。物体受到的平均冲力越小；反之则越大。 海绵垫子可海绵垫子可以延长运动员下以延长运动员下落时与其接触的落时与其接触的时间，这样就减时间，这样就减小了地面对人的小了地面对人的冲击力。冲击力。 2质点系的动量定理质点系的动量定理设设 有有
5、n n个质点构成一个系统个质点构成一个系统第第i个质点：个质点：外力外力iF内力内力if初速度初速度iov末速度末速度iv质量质量im由质点动量定理：由质点动量定理：ioiiittiimmtfFovvdiFifF1f12m1m2f21F2 ioiiittiimmtfFovvd 0if其中：其中：系统总末动量：系统总末动量：iimPv系统总初动量：系统总初动量：ioimPv0合外力的冲量：合外力的冲量： ttitF0dPPPtFtti 00d微分式：微分式：tPFidd质点系统所受合外力的冲量等于系统总动量的增量。质点系统所受合外力的冲量等于系统总动量的增量。注意：注意：系统的内力不能改变整个系
6、统的总动量。系统的内力不能改变整个系统的总动量。 区分区分外力外力和和内力内力内力仅能改变系统内某个物体的内力仅能改变系统内某个物体的动量，但不能改变系统的总动量动量，但不能改变系统的总动量.注意注意（1） F 为恒力为恒力IF t （2） F 为变力为变力2121ttIFdtF(tt ) 讨论讨论Ftt1t2Ft1t2tF1mv2mvmv21212121dttF tmmFtttt vv动量定理常应用于碰撞问题动量定理常应用于碰撞问题F注意注意 越小，则越小，则 越大越大tF在在 一定时一定时p例例1、质量质量m = 1kg的质点从的质点从o点开始沿半径点开始沿半径R = 2m的的圆周运动。以
7、圆周运动。以O点为自然坐标原点。已知质点的运动点为自然坐标原点。已知质点的运动方程为方程为 m。试求从试求从 s到到 s这这段时间内质点所受合外力的冲量。段时间内质点所受合外力的冲量。25 . 0ts21t22t解：解：o21221s211Rs222122sRs22ttsddv)(211smv)(212smv)smkg(211vm)smkg(212vm)(12vvvmmmI)smkg(6421222221vvvmmm)(69. 761smkgI22tan12vvmm44541vm2vm)( vm例例2. 一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为F = 400
8、-4 105 t/3，子弹从枪口射出时的速率为，子弹从枪口射出时的速率为300 m/s。设子弹离开枪口处合力刚好为零。求：（设子弹离开枪口处合力刚好为零。求：（1）子弹走）子弹走完枪筒全长所用的时间完枪筒全长所用的时间t。（。（2）子弹在枪筒中所受力）子弹在枪筒中所受力的冲量的冲量I。（。（3）子弹的质量。）子弹的质量。（1）031044005tFs003. 010440035t（2）sN6 . 032104400d3104400d003. 0025003. 005tttttFI（3）0vmIg2kg002. 03006 . 0vIm 例例 3 一柔软链条长为一柔软链条长为l,单位长度的质量为
9、单位长度的质量为 .链条放链条放在桌上在桌上,桌上有一小孔桌上有一小孔,链条一端由小孔稍伸下链条一端由小孔稍伸下,其余部分其余部分堆在小孔周围堆在小孔周围.由于某种扰动由于某种扰动,链条因自身重量开始落下链条因自身重量开始落下 .求链条下落速度与落下距离之间的关系求链条下落速度与落下距离之间的关系 . 设链与各处的设链与各处的摩擦均略去不计摩擦均略去不计,且认为链条软得可以自由伸开且认为链条软得可以自由伸开 . 解解 以竖直悬挂的链条以竖直悬挂的链条和桌面上的链条为一系统和桌面上的链条为一系统,建立如图坐标建立如图坐标由质点系动量定理得由质点系动量定理得ptFddexm1m2OyyyggmF1
10、ex则则则则tddvyyg 两边同乘以两边同乘以 则则 yydvvvyyyyyygyddddd2t vvvyyyyyyg002dd21 gy32v232131vygy m1m2Oyy)d(d vytyg)d(dvyp又又ptFddex00dPPtFtti 0iF0PP系统所受合外力为零时，系统的总动量保持不变。系统所受合外力为零时，系统的总动量保持不变。常矢量iimPv条件：条件： 0iF ( (1) ) 系统的总动量不变，但系统内任一系统的总动量不变，但系统内任一物体的动量是可变的物体的动量是可变的 ( (2) ) 守恒条件：合外力为零守恒条件：合外力为零 exex0iFF 当当 时，可近似
11、地认为时，可近似地认为 系统总动量守恒系统总动量守恒 （如：碰撞，（如：碰撞，打击等）打击等）exinFF 讨论讨论( (3) ) 若若 ，但满足，但满足exex0iFF ex 0 xF xixixPmC v有有exexex000 xxiixxyyiiyyzziizzF,pmCF,pmCF,pmC vvv(4)(4) 动量守恒定律是物理学最普遍、最基动量守恒定律是物理学最普遍、最基本的定律之一本的定律之一它不仅适合宏观物体，同它不仅适合宏观物体，同样也适合微观领域。样也适合微观领域。例例4、火箭以火箭以2.5 103m/s的速率水平飞行，由控制器的速率水平飞行，由控制器使火箭分离。头部仓使火箭
12、分离。头部仓m1=100kg，相对于火箭的平均，相对于火箭的平均速率为速率为103 m/s 。火箭容器仓质量。火箭容器仓质量m2=200kg。求容器。求容器仓和头部仓相对于地面的速率。仓和头部仓相对于地面的速率。解：解：v= 2.5103 m/svr= 103 m/s 头部仓速率为头部仓速率为v1 1，容器仓速率为，容器仓速率为v2 2 21vvvr2221221121)()(vvvvvvmmmmmmr132112sm1017. 2mmmrvvv1321sm1017. 3rvvv例例5. 宇宙飞船在宇宙尘埃中飞行宇宙飞船在宇宙尘埃中飞行，尘埃密度为尘埃密度为 。如。如果质量为果质量为mo的飞船
13、以初速的飞船以初速vo穿过尘埃穿过尘埃，由于尘埃粘在由于尘埃粘在飞船上，致使飞船速度发生变化。求飞船的速度与其飞船上，致使飞船速度发生变化。求飞船的速度与其在尘埃中飞行的时间的关系。（设飞船为横截面面积在尘埃中飞行的时间的关系。（设飞船为横截面面积为为S的圆柱体）的圆柱体）某时刻飞船速度：某时刻飞船速度：v，质量：，质量：m动量守恒：动量守恒：vvmm00质量增量：质量增量：tSmddvvv00mm tSmmddd200vvvvmvttmSo0003ddvvvvvtmS00202)11(21vvv00002vvvmtSmtmSdd003vvvvvdu设：设： t 时刻：火箭的质量为时刻：火箭的
14、质量为M， 速度为速度为v；t +dt 时刻：时刻： 火箭的质量为火箭的质量为M+dM 速度为速度为v + dv 喷出气体的质量为喷出气体的质量为-dM 相对于火箭的速度为相对于火箭的速度为urruMMMMvv-v)(vvdddd略去二阶无穷小量略去二阶无穷小量 vddMMMurddv设：设：初始初始00v火箭总质量火箭总质量 M0 ，壳体本身的质量为壳体本身的质量为M1 ，燃料耗尽时火箭的速度为，燃料耗尽时火箭的速度为 v10ddMMrMMuvv010lnMMurv10MM为质量比为质量比多级火箭：多级火箭：一级火箭速率：一级火箭速率：1lnNur1v设各级火箭的质量比分别为设各级火箭的质量
15、比分别为N1、N2、N3 、二级火箭速率：二级火箭速率：212lnNur vv323ln Nur vv三级火箭速率：三级火箭速率：三级火箭所能达到的速率为：三级火箭所能达到的速率为：)ln()lnln(ln3213213NNNuNNNurrv设，设，N1 = N2 = N3 = 313sm105 . 2ru得得13133sm102 . 83ln3sm105 . 2v这个速率已超过了第一宇宙速度。这个速率已超过了第一宇宙速度。 神舟六号待命飞天神舟六号待命飞天神舟六号点火升空神舟六号点火升空神舟六号发射成功神舟六号发射成功1质心质心imO1m2mxyzCCr1rir2rnnncmmmrmrmrm
16、r212211Mrmiicr设由设由n个质点构成一质点系个质点构成一质点系 质量：质量：m1、 m2、 mn，位矢：位矢： 、 、 1r2rnriiicmxmxiiicmymyiiicmzmzmmxxcddmmyycddmmzzcdd对于密度均匀，形状对称的物体，其质对于密度均匀，形状对称的物体，其质心都在它的几何中心。心都在它的几何中心。2质心运动定理质心运动定理iicrmrM质心位置公式：trmtrMiicddddiicmMvv质点系的总动量等于总质量与其质心运质点系的总动量等于总质量与其质心运动速度的乘积。动速度的乘积。 由质点系动量定理的微分式可得：由质点系动量定理的微分式可得：tMt
17、mmttPFciiiiiddddddddvvvciaMF 作用于质点系上的合外力等于质点系的总质量作用于质点系上的合外力等于质点系的总质量与质心加速度的乘积。与质心加速度的乘积。系统在外力作用下，质心的加速度等于外力系统在外力作用下，质心的加速度等于外力的矢量和除以系统的总质量。的矢量和除以系统的总质量。（2 2）系统所受合外力为零时，质心的速度为一恒系统所受合外力为零时，质心的速度为一恒矢量，内力既不能改变质点系的总动量矢量，内力既不能改变质点系的总动量, ,也也就不能改变质心的运动状态就不能改变质心的运动状态 。（1 1）例例6. 有质量为有质量为2m的弹丸，从地面斜抛出去，它的落的弹丸，
18、从地面斜抛出去，它的落地点为地点为xc 。如果它在飞行到最高点处爆炸成质量相等。如果它在飞行到最高点处爆炸成质量相等的两碎片。其中一碎片铅直自由下落，另一碎片水平的两碎片。其中一碎片铅直自由下落，另一碎片水平抛出，它们同时落地。问第二块碎片落在何处。抛出，它们同时落地。问第二块碎片落在何处。在爆炸的前后，质心在爆炸的前后，质心始终只受重力的作用，始终只受重力的作用，因此，质心的轨迹为因此，质心的轨迹为一抛物线，它的落地一抛物线，它的落地点为点为xc c 。xc212211mmxmxmxc0,121xmmmmmxxc22cxx22x2oxmxyzrLpO设：设：t t时刻质点的位矢时刻质点的位矢
19、r质点的动量质点的动量vm运动质点相对于参考原运动质点相对于参考原点点O O的的角动量角动量定义为定义为vmrprL单位：单位：Kg m2s-12-3-1 质点的角动量sinsinvmrrpL矢经矢经 和动量和动量 的矢积方向，的矢积方向， 用右手螺旋法则确定。用右手螺旋法则确定。vmr如果质点绕参考点如果质点绕参考点O作圆周运动作圆周运动rpormprLv角动量与所取的惯性系有关；角动量与所取的惯性系有关；角动量与参考点角动量与参考点O的位置有关。的位置有关。 质点对参考点的角动量在通过点的任意轴线上的质点对参考点的角动量在通过点的任意轴线上的投影，称为质点投影，称为质点对轴线的角动量对轴线
20、的角动量。 LOALAcosLLA质点系的角动量质点系的角动量设各质点对设各质点对O点的位矢分别为点的位矢分别为nrrr,21动量分别为动量分别为nppp,21niniiiiprLL11)(质点的角动量质点的角动量 随时间的变化率为随时间的变化率为 LtprptrtprtLdddddddd1力对参考点的力矩力对参考点的力矩0ddpptrv式中式中FtpddFrtLdd 质点角动量的改变不仅与所受的作用力质点角动量的改变不仅与所受的作用力 有有关，而且与参考点关，而且与参考点O到质点的位矢到质点的位矢 有关。有关。 rF定义：定义：外力外力 对参考点对参考点O的力矩：的力矩：FxyzrOMF力矩
21、的大小：力矩的大小：sin0rFM FrM0mN力矩的方向由右手螺旋力矩的方向由右手螺旋关系确定，垂直于关系确定，垂直于 和和确定的平面。确定的平面。rF设作用于质点系的作用力分别为：设作用于质点系的作用力分别为：nFFF,21作用点相对于参考点作用点相对于参考点O的位矢分别为：的位矢分别为： nrrr,21相对于参考点相对于参考点O的合力的合力矩为：矩为：iiFrMOxyz1rir2r1F2FiF2力对轴的矩力对轴的矩OAAM0M力力 对轴的力矩：对轴的力矩： F力力 对点的力矩对点的力矩 在过点的在过点的任一轴线上的投影。任一轴线上的投影。F0McosOAMMAOrFF/FMFrFrM/力
22、力 对轴对轴OA的力矩：的力矩： FFrMtLMdd0120d21LLtMtt质点的角动量定理：质点的角动量定理： 质点对某一参考点的角动量随时间的变化率质点对某一参考点的角动量随时间的变化率等于质点所受的合外力对同一参考点的力矩。等于质点所受的合外力对同一参考点的力矩。 角动量定理的积分式：角动量定理的积分式：21d0tttM称为称为“冲量矩冲量矩”质点系的角动量：质点系的角动量：niniiiiprLL11)(两边对时间求导：两边对时间求导：tprptrtLiiiidddddd0ddiiptr上式中上式中iiiiifFrtprdd0iifr上式中上式中iiiifrFrtLdd合内力矩为零合内
23、力矩为零tLFrMiidd 质点系对某一参考点的角动量随时间的变化率等质点系对某一参考点的角动量随时间的变化率等于系统所受各个外力对同一参考点力矩之矢量和。于系统所受各个外力对同一参考点力矩之矢量和。质点系角动量定理：质点系角动量定理： 质点系对质点系对z 轴的角动量定理：轴的角动量定理： tLMzzdd质点系角动量定理的积分式：质点系角动量定理的积分式： 2112dttLLtM 作用于质点系的冲量矩等于质点系在作用时作用于质点系的冲量矩等于质点系在作用时间内的角动量的增量间内的角动量的增量 。如果如果0M则则恒矢量L质点或质点系的角动量守恒定律：质点或质点系的角动量守恒定律： 当系统所受外力
24、对某参考点的力矩之矢量和始当系统所受外力对某参考点的力矩之矢量和始终为零时，质点系对该点的角动量保持不变。终为零时，质点系对该点的角动量保持不变。 质点系对质点系对z 轴的角动量守恒定律：轴的角动量守恒定律： 系统所受外力对系统所受外力对z z轴力矩的代数和等于零，轴力矩的代数和等于零，则质点系对该轴的角动量守恒。则质点系对该轴的角动量守恒。 恒量zL0zM 角动量守恒定律是自然界的一条普遍定律，它有着广泛的应用。 证明开普勒第二定律：证明开普勒第二定律：行星和太阳之间的连线在相行星和太阳之间的连线在相等时间内扫过的椭圆面积相等等时间内扫过的椭圆面积相等 。rrSd21drrdvrtrrtS2
25、1dd21ddLmmrmtS2121ddv恒矢量tSdd有心力作用下角动量守恒有心力作用下角动量守恒 证毕证毕 证证 例例1 一半径为一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平的光滑圆环置于竖直平面内面内. 一质量为一质量为 m 的小的小球穿在圆环上球穿在圆环上, 并可在并可在圆环上滑动圆环上滑动. 小球开始小球开始时静止于圆环上的点时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心该点在通过环心 O 的的水平面上水平面上)，然后从，然后从 A点开始下滑设小球与圆环间的摩擦略去点开始下滑设小球与圆环间的摩擦略去不计求小球滑到点不计求小球滑到点 B 时对环心时对环心 O 的角动的角动量和角速度量和角速度 解解 小球受力小球受力 、 作用作用, 的力矩为的力矩为零，重力矩垂直纸面向里零，重力矩垂直纸面向里由质点的角动量定理由质点的角动量定理cosmgRM tLmgRddcostmgRLdcosdNFPNF考虑到考虑到2,ddmRmRLtvgRmLLdcosd32得得由题设条件积分上式由题设条件积分上式0320dcosdgRmLLL2123)sin2(gmRL 21)sin2(Rg2mRL 参看书参看书4950页的例页的例213、214
