1、2022-6-8数学建模线性代数模型线性代数模型 Durer 魔方 植物基因的分布 常染色体的隐性疾病 森林管理问题森林管理问题 马氏链简介2022-6-8数学建模有些复杂问题，往往给人以变幻莫测的感觉，难以掌握其中的奥妙。当我们把思维扩展到线性空间，利用线性代数的基本知识建立模型，就可以掌握事物的内在规律，预测其发展趋势。线性代数模型2022-6-8数学建模Durer 魔方 德国著名的艺术家 Albrecht Durer (1471-1521)于1514年曾铸造了一枚名为“Melen cotia I”的铜币。令人奇怪的是在这枚铜币的画面上充满了数学符号、数学数字和几何图形。这里我们仅研究铜币
2、右上角的数字问题。2022-6-8数学建模1 Durer 魔方16 3213510 11896712415 14 1特点每行之和、每列之和、对角线之和、四个小方块之和、中心方块之和都相等，为确定的数34。所出现的数是1至16的自然数。四角之和、中间对边之和均为34。最下边一行中心数为1514，正是制币的时间。问题 是否还存在具有这些（或部分）性质的魔方？2022-6-8数学建模06118910 6015 091199607118910 7016 09119971080100 150140 110 50407020160 90120 130 3060定义如果44数字方，它的每一行、每一列、每一对
3、角线及每个小方块上的数字之和都为一确定的数，则称这个数字方为 Durer 魔方魔方。R=C=D=S2022-6-8数学建模你想构造你想构造DurerDurer魔方吗？魔方吗？如何构成所有的如何构成所有的DurerDurer魔方？魔方？DurerDurer魔方有多少？魔方有多少？2 Durer魔方的生成集所有的Durer魔方的集合为 D0000000000000000O=1111111111111111E=R=C=D=S=0R=C=D=S=42022-6-8数学建模a11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34a41a42a43a44A=b11b12b13b14b21b
4、22b23b24b31b32b33b34b41b42b43b44B=类似于矩阵的加法和数乘，定义魔方的加法和数乘。易验证，D 加法和数乘封闭，且构成一线性空间。记 M =所有的44数字方 ，则其维数为16。而D是M的子集，则D是有限维的线性空间。根据线性空间的性质，如果能得到D的一组基，则任一个Durer方均可由这组基线性表示。2022-6-8数学建模由 0,1 数字组合，构造所有的R=C=D=S=1的魔方。共有8 个，记为Qi, i=1,2,8。Q1=1000001000010100Q2=1000000101000010Q3=Q4=000110000010010000010100100000
5、102022-6-8数学建模Q5=0010100001000001Q6=0100001010000001Q7=0010010000011000Q8=01000001001010002022-6-8数学建模易知076328541QQQQQQQQ则821QQQ,线性相关。而由077665544332211QrQrQrQrQrQrQr000000000000000021rr 6r75rr 43rr 53rr 74rr 2r64rr 52rr 3r71rr 61rr 7r31rr 42rr 65rr =07654321rrrrrrr721QQQ,线性无关。任一Durer方可由它们线性表示。2022-6
6、-8数学建模结论： 1 Durer方有无穷多个。2 Durer方可由721QQQ,线性组合得到。Albrecht Durer的数字方的构成：77665544332211QrQrQrQrQrQrQrD21rr 6r75rr 43rr 53rr 74rr 2r64rr 52rr 3r71rr 61rr 7r31rr 42rr 65rr =16 3213510 11896712415 14 143367887654321rrrrrrr,2022-6-8数学建模7655432214336788QQQQQQQD3 Durer方的应用推广（1）要求数字方的所有数字都相等。RrrEG,基为 E1维空间（2）
7、要求行和、列和、每条主对角线及付对 角线数字和都相等。B基为5维空间10101010010101011P2022-6-8数学建模01101001011010011001011010010110010110101010010111000011110000112P3P4P5P2022-6-8数学建模例17 211 1616 11 22 -312 7621126 712PR=C=H=N=46H 主对角线，N付对角线数字和。（3）要求行和、列和及两条对角线数字和相等。8维空间Q。基为0721NQQQ,D是Q的7维子空间。01-10000000000-1100N2022-6-8数学建模例679812 6
8、57510 967779PR=C=D=30（4）要求行和、列和数字相等。10维空间W。基为321721NNNQQQ,010-110-1 0-1 0010-1 100000100-1-1 00100001N2N01001000000100103N2022-6-8数学建模（5）对数字没有任何要求的数字方16维空间M空间维数 MWQDBG00 1 5 7 8 10 16思考思考能否构造出其他维数的数字方？能否构造出其他维数的数字方？2022-6-8数学建模练习练习完成下面的Durer方61494887116798597R=C=D=S=30R=C=D=S=1002022-6-8数学建模作业作业构造你自
9、己认为有意义的Durer方。679812 558611 94677102022-6-8数学建模植物基因的分布植物基因的分布设一农业研究所植物园中某植物的的基因型为AA、Aa 和 aa 。研究所计划采用AA型的植物与每一种基因型植物相结合的方案培育植物后代。问经过若干年后，这种植物的任意一代的三种基因型分布如何？2022-6-8数学建模1 建模准备建模准备植物遗传规律？动植物都会将本身的特征遗传给后代，这主要是因为后代继承了双亲的基因基因，形成了自己的基因对，基因对，基因对就确定了后代所表现的特征。常染色体遗传的规律：后代是从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因对，即基因型基因型。2
10、022-6-8数学建模如果考虑的遗传特征是由两个基因 A、a控制的，那末就有三种基因对，记为AA、Aa 和 aa 。金鱼草花的颜色金鱼草花的颜色是由两个遗传因 子决定的，基因型为AA的金鱼草开红花，Aa 型的开粉红花，而 aa型的开白花。人类眼睛的颜色人类眼睛的颜色也是通过常染色体来控制的。基因型为AA ，或Aa 型的人眼睛颜色为棕色，而 aa型的人眼睛颜色为蓝色。这里AA ，Aa表示同一外部特征，我们认为基因A支配基因a，即基因a对A来说是隐性的。如2022-6-8数学建模父体父体- -母体的基因对母体的基因对AA-AA AA-Aa AA-aa Aa-Aa Aa-aa aa-aa后后代代基基
11、因因对对AA11/201/400Aa01/211/21/20aa0001/41/21双亲体结合形成后代的基因型概率矩阵双亲体结合形成后代的基因型概率矩阵2022-6-8数学建模2 假设假设nnncba,分别表示第n代植物中基因型为AA,Aa,aa的植物占植物总数的百分率。1nnncba第n代植物的基因型分布为,)(nnnncbax,)(0000cbax表示植物基因型初始分布。假设12022-6-8数学建模假设2植物中第n-1代基因型分布与第n代分布的关系由上表确定。父体父体- -母体的基因对母体的基因对AA-AA AA-Aa AA-aa后后代代基基因因对对AA11/20Aa01/21aa000
12、1121nnnbaa1121nnncbb0nc1nnncba3 建模建模2022-6-8数学建模11100012100211nnnnnncbacba/1121nnnbaa1121nnncbb0nc1nnncba00012100211/M)()(1nnMxx)()()(221nnnxMMxx)(33nxM0 xMn2022-6-8数学建模4 求解模型求解模型关键计算0 xMxnn)(nM00012100211/M特征值为1，1/2，0，M可对角化，即可求出可逆对角矩阵P，使PMP-1为对角型矩阵。121010001,特征值为1，1/2，0的特征向量分别为2022-6-8数学建模则10021010
13、1P0000210001/D0 xMxnn)(01xPPDn011002101110000210001100210111xn/2022-6-8数学建模011002101110000210001100210111xn/011000212102112111xnnnn/)/()/(021212121010010000cbcbcbannnn)/()/()/()/(0212121211010010cbcbnnnn)/()/()/()/(2022-6-8数学建模0212121211010010cbcbnnnn)/()/()/()/(nnnncbax)(当 时，n001nnnbba,经过足够长的时间后，培育
14、出来的植物基本上呈现AA型。5 结论结论2022-6-8数学建模练习题1若不选用AA型植物与每种植物结合的方案，而是采用将相同基因型植物相结合，则情形怎样？父体父体- -母体的基因对母体的基因对AA-AA Aa-Aa aa-aa后后代代基基因因对对AA11/40Aa01/20aa01/41在极限状态下，后代仅具有基因型AA和aa。2022-6-8数学建模遗传疾病是常染色体的基因缺陷由父母代传给子代的疾病。常染色体的隐性疾病常染色体的隐性疾病2022-6-8数学建模常染色体遗传的正常基因记为A，不正常基因记为a，并以AA、Aa 和 aa 分别表示正常人，隐性患者和显性患者的基因型。若在开始的一代
15、人口中AA、Aa 和 aa 基因型的人所占百分比为a0，b0，c0，讨论在下列两种情况下第n代的基因型分布。1 控制结合：显性患者不能生育后代，正常人与隐性患者必须与正常人结合生育后代；2 自由结合：这三种基因的人任意结合生育后代。2022-6-8数学建模父体父体- -母体的基因对母体的基因对AA-AA Aa-AA后代后代基因基因对对AA11/2Aa01/21121nnnbaa121nnbb1nnba2022-6-8数学建模11210211nnnnbaba/0 xMxnn)(01xPPDn21001/D1011P10111P1PPDMnn21001/10111011nn)/()/(210211
16、12022-6-8数学建模002102111baxnnn)/()/()( 0021211bbnn)/()/(当 时，n,01nnba即经过足够长的时间后，隐性患者消失。2022-6-8数学建模练习题2若采用随机结合的方式，各基因型的分布及变化趋势如何？在美国，以镰状网性贫血症为例。如果黑人中有10%的人是隐性患者，在随机结合的情况下，计算隐性患者的概率从25%降到10%需要多少代？在控制结合下，经过这么多代，隐性患者的概率相应下降到多少？2022-6-8数学建模思考思考在中国的婚姻政策中有一项控制近亲（指直系血缘关系在三代以内）结婚的限制。试用常染色体的隐性病模型分析这项政策的深远意义。 20
17、22-6-8数学建模作业作业血友病也是一种遗传疾病，得这种病的人由于体内没有能力生产血凝块因子而不能使出血停止。很有意思的是，虽然男人和女人都会得这种病，但只有女人才有通过遗传传递这种缺损的能力。若已知某时刻的男人和女人的比例为1:1.2，试建立一个预测这种遗传疾病逐代扩散的数学模型。2022-6-8数学建模森林管理问题森林管理问题2022-6-8数学建模森林中的树木每年都要有一批砍伐出售。为了使这片森林不被耗尽且每年都有所收获，每当砍伐一棵树时，应该就地补种一棵幼苗，使森林树木的总数保持不变。被出售的树木，其价值取决于树木的高度。开始时森林中的树木有着不同的高度。我们希望能找到一个方案，在维
18、持收获的前提下，如何砍伐树木，才能使被砍伐的树木获得最大的经济价值。2022-6-8数学建模l题目要求做什么？l给出什么条件？ 重要关系的描述重要关系的描述 ，数据及其说明，数据及其说明l寻找条件与问题的联系。1.确定设计变量和目标变量；2.确定目标函数的表达式；3.寻找约束条件。如果已判断该题是某类问题，按此类问题的要求寻找线索建模。如：优化模型如：优化模型2022-6-8数学建模森林中的树木每年都要有一批砍伐出售。为了使这片森林不被耗尽且每年都有所收获，每当砍伐一棵树时，应该就地补种一棵幼苗，使森林树木的总数保持不变。被出售的树木，其价值取决于树木的高度。开始时森林中的树木有着不同的高度。
19、我们希望能找到一个方案，在维持收获的前提下，如何砍伐树木，才能使被砍伐的树木获得最大的经济价值。2022-6-8数学建模1 建模分析建模分析目标函数：被砍伐树木的经济价值。决策变量：被砍伐的树木的数量。约束条件：持续收获，总数不变。2022-6-8数学建模2 模型假设模型假设按高度将树木分为n类：第一类，高度为),10 h幼苗，其经济价值01p第 k 类，高度为),kkhh1每棵树木的经济价值kpnk 1第 n 类，高度为),1nh每棵树木的经济价值np假设1记)(,),(),(txtxtxn21为第 t 年开始时森林中各类树木的数量。2022-6-8数学建模每年砍伐一次，为了维持每年都有稳定
20、的收获，只能砍伐部分树木，留下的树木和补种的幼苗，其高度状态应与初始状态相同。设nyyy,21分别是第1，2，n类树木在采伐时砍伐的棵数。假设2设森林中树木的总数是 s ，即stxtxtxn)()()(21根据土地面积和每棵树木所需空间预先确定的数。假设32022-6-8数学建模假设4每一棵幼苗从种植以后都能生长到收获，且在一年的生长期内树木最多只能生长一个高度级，即第k类的树木可能进入k+1类，也可能留在k类。设kg是经一年的生长期后，从第k类的树木中进入k+1类的比例，则kg1是在一个生长期内留在第k类中的树木的比例。2022-6-8数学建模3 建模建模先看没有砍伐时树木生长规律),()(
21、)(txgtx11111),()()()(txgtxgtx2211211),()()()(txgtxgtx3322311),()()(txtxgtxnnnn111变形，矩阵形式2022-6-8数学建模定义高度状态向量和生长矩阵：)()()()()(txtxtxtxtxn321111111132211nngggggggG则没有砍伐时树木生长方程为)()(tGxtx12022-6-8数学建模再考虑有砍伐和补种时的情形根据问题的要求，要维持持续收获，即生长期末的状态减去收获采伐的量再加上补种的幼苗数应等于生长期开始的量),()()(txzytxg11111),()()()(txytxgtxg2222
22、111),()()()(txytxgtxg3333221),()()(txytxtxgnnnnn112022-6-8数学建模各式相加后，得nyyyz21,01ynyyz2),()()(txyyyyytxgn13211111),()()()(txytxgtxg2222111),()()()(txytxgtxg3333221),()()(txytxtxgnnnnn112022-6-8数学建模再记,nyyyy21000000111R则)()(txRyytGx2022-6-8数学建模),()()(txzytxg11111),()()()(txytxgtxg2222111),()()()(txytxgt
23、xg3333221),()()(txytxtxgnnnnn111132xgyyyn22112xgxgy33223xgxgy11nnnxgy2022-6-8数学建模所收获树木的价值nnnypypypyyyf332232),(0332211nnxgxgxgxg1112223112nnnnxgppxgppxgp)()(问题),(maxnyyyf32nixsxxxxxgxgxgxgtsinnn, 2, 1, 0 . .3213322112022-6-8数学建模4 模型求模型求解解利用线性规划的理论和方法，得如下结论：砍伐某一类树木而不砍伐其他类砍伐某一类树木而不砍伐其他类的树木时，可获得最大收益。的树
24、木时，可获得最大收益。利用这一结论，设被砍伐的树木为第 k 类，则),(,njkjyyjk2100根据所建模型，0001nkkxxx,2022-6-8数学建模1132xgyyyn22112xgxgykkkkkxgxgy1111nnnxgy根据所建模型，0, 0, 011nkkxxx得111kkkkkxgxgy11221kkkkkxgxgy11xgyk1122xgxg2211kkkkxgxg11kkkxgy2022-6-8数学建模结果表明：结果表明：森林从幼苗开始长到第 k 年为止开始收获，此时树木高度分布为初始分布。从第 k 年开始后每年砍伐一次，均砍伐第k类高度的树木。因此，森林中没有高于或
25、等于 k 类高度的树木。问题：从幼苗开始长到哪一年收获为最佳？2022-6-8数学建模1122xgxg2211kkkkxgxg1212xggx 1313xggx 1111xggxkksxxxn21由11312111kggggggsx2233xgxg2022-6-8数学建模kknkypyyyf),(3211xgpk13211111kkggggsp当森林中各参数给定时，分别计算 f k 的值，再 比较选出最大的即可。同时可计算出相应的砍伐量。11xgyk13211111kggggs2022-6-8数学建模5 算例算例已知森林具有6 年的生长期，其参数如下。求出最优采伐策略。370230250320
26、28054321.,.,.,.,.ggggg2502001501005065432ppppp,解得sfsfsfsfsf01421391371401465432.,.,.,.,.故全部收获第3类树木，可获得最大收益为14.7s。2022-6-8数学建模6 进一步思考进一步思考1 持续养鱼问题2 企业持续发展问题3 经济（社会）持续发展问题 2022-6-8数学建模马氏链简介马氏链简介（Markov Chain）2022-6-8数学建模马氏链（Markov Chain）是随机过程的一个特例，专门研究无后效条件下时间和状态均为离散的随机转移问题，但在建模过程中采用线性代数的方法，因此，也在线性代数模
27、型中来学习。马氏链简介马氏链简介2022-6-8数学建模（一（一 ） 商品的经营问题商品的经营问题 某商店每月考察一次经营情况，其结果用销路好或销路坏这两种状况之一表示。已知如果本月销路好，下月仍保持这种状况的概率为0.5；如果本月销路坏，下月转变为销路好的概率为0.4。试分析假若开始时商店处于销路好的状况，那么经过若干月后能保持销路好的概率有多大？若开始时商店处于销路坏的状况呢？一一 正则链（正则链（Regular Chain）2022-6-8数学建模0123410.5 0.45 0.445 0.4445？00.5 0.55 0.555 0.5555？n1 分析分析12555( )10101
28、0na n )(101110111051n95942)(na2022-6-8数学建模0123400.4 0.44 0.444 0.4444？10.6 0.56 0.556 0.5556？nnna10410410421)()(101110111041n94952)(na2022-6-8数学建模21nnXX表示销路好；表示销路坏；210 , ,n2 符号说明符号说明商店的经营状况是随机的，每月转变一次。建模目标是经过一段时间（若干月）后，经营状况如何，即经营好或经营坏的概率分别为多少？nX用随机变量表示第 n 个月的经营状况nX称为这个经营系统的状态。用 nai表示第n月处于状态i的概率，,21i
29、即 iXPnani nai称为状态概率。2022-6-8数学建模ijp表示已知这月处于状态i，下月处于状态j的概率，,21ji即iXjXPpnnij|1ijp称为状态转移概率。状态及转移情况见图。0.50.40.50.6122022-6-8数学建模3 建模建模 21211111pnapnana 22212121pnapnana 2221 ijpPnanana,令 22211211212111ppppnananana, Pnana1P 概率转移矩阵2022-6-8数学建模 Pnana121 Pna 10nPa nPana04 求解求解 P 特征值为1，1/10101001/D11145Q9494
30、95941Q94949594101451001111nQQDPnn60405050.P2022-6-8数学建模当n95949594nP95949594212100)()()()(aanana)()()(010021aa)()()(959421nana)()()(100021aa)()()(959421nana2022-6-8数学建模5 结论结论 不论初始状态如何，经过相当长的时间后经营状态趋于稳定的概率。注意到经营系统在每个时期所处的状态是随机的，但从这个时期到下个时期的状态按照一定的概率进行转移，并且下个时期的状态只取决于这个时期的状态和转移概率，与以前各个时期的状态无关。2022-6-8数
31、学建模这种性质称为无后效性无后效性，或马尔可夫（马尔可夫（Markov）性）性，即已知现在，将来与历史无关。具有无后效性的，时间、状态均为离散的随机转移过程，通常用马氏链（马氏链（Markov Chain）模型）模型描述。马氏链模型在经济、社会、生态、遗传等许多领域有广泛应用，不仅可以解决随机转移过程，还可以处理一些确定性系统的状态转移问题。2022-6-8数学建模P，当它的所有分量是非负，一般地，一个行向量且行和为1，称此向量为概率向量概率向量。每行都为概率向量的矩阵，称为概率转移矩阵。可证明若A,B为概率转移矩阵，则AB也为概率转移矩阵。若 P 为概率转移矩阵，则 Pn 也为概率转移矩阵。
32、60405050.P2022-6-8数学建模证明若A,B为概率转移矩阵，),nibbaaijnjijijnjij21( 0 1 0 111而AB=C的第 i 行，第 j 列元素为),njibababacnjinjijiij21( 2211显然，0ijc),),(nibababac njnjinjijinjij21( 1221112022-6-8数学建模),),(nibababac njnjinjijinjij21( 122111njnjnjinnjjijibababa 1112211 111 21iniiaaa 12022-6-8数学建模定义定义1 一个有k个状态的马氏链如果存在正整数N使从任
33、意状态i经过N次转移都以大于零的概率到达状态kjij,21，则称为。定理定理1 若马氏链的转移矩阵为P，则它是正则链的充要条件是，存在正整数N使0NP（指NP的每一元素大于零）。特点： 从任意状态出发经过有限次转移都能到达另外的任意状态。（用这个定理检验一个马氏链是否为正则链。）2022-6-8数学建模定理定理2w由kiiwwwP11 ,nnPlim存在，记作PP的每一行都是稳态概率w如果记 ijpP那么，有 iijwp,kwwww21使得当n时状态概率 wwna,概率 0a无关。正则链存在唯一的极限状态概率极限状态概率与初始状态 nPana0由又称为稳态概率稳态概率。 Pnana12022-
34、6-8数学建模上例中),(9594w95949594P2022-6-8数学建模从状态i出发经n次转移，第一次到达状态j的概率称为i到j的首达概率首达概率，记作 nfij，于是 1nijijnnf为由状态i第一次到达状态j的平均转移次数。特别地，ij是状态i首次返回的平均转移次数首次返回的平均转移次数。wij与稳态概率有密切关系，即定理定理3 对于正则链iijw/12022-6-8数学建模（二（二 ） 信息传播问题信息传播问题一条消息在,naaa21等人中传播，传播的方式是1a传给,2a2a传给,3a如此继续下去，每次传播都是由ia传给,1ia每次传播消息的失真率为,10 pp即ia将消息传给,
35、1ia时，传错的概率为p这样经过长时间传播第n个人得知消息时，消息的真实程度如何？2022-6-8数学建模第n个人知道消息可能是真，也可能是假，有两种状态，记为21nnXX表示消息假；表示消息真；210 , ,n用 nai表示第n个人处于状态i的概率，,21i ),()(nanana21即状态概率为由题意，状态转移概率矩阵为ppppP112022-6-8数学建模bbaaP11,10 p由P为正则矩阵。 nPana0求 w=? 令ppppP11设),(21wwwkiiwwPw11 2022-6-8数学建模bbaawwwPw1121),()(,)(212111wbawbwwa11121212211
36、wwwbawwbwwaw)()(得),(baababw),(2121w2022-6-8数学建模21212121/nP )/,/(2121na结论长时间传播消息的真实性趋于稳定，且消息的真假概率各半。例1 中5215221211/P)/()/(/5221521babw94952w2022-6-8数学建模练习练习迷宫问题（1）下面给出一个迷宫图。迷宫有两个分隔间，分别记为1，2。每个分隔间粉刷成不同的颜色，试验者把一只老鼠放在迷宫的某个分隔间内，不同的颜色对老鼠的吸引作用不同，从第 i 个分隔间转移到第 j 个分隔的概率为ijp（见后）30705050.)(ijpP迷宫1122022-6-8数学建
37、模随后，试验者周期地观察老鼠的位置。因为观察的时间是间断的，试验者不可能确定任何时刻老鼠的位置，但希望知道，不论运动过程如何，在经过较长的一段时间后，运动是否趋于稳定？三个分隔间的情形如何？302050304030207010.)(ijpP迷宫21232022-6-8数学建模),(125127w),(12233122536118w思考右图给出一个迷宫图。迷宫3231在第一个分隔间放进实物，其他两个分隔间粉成不同的颜色，老鼠可由一个分隔间到达其他分隔间，但当到达第一分隔间时，被实物吸引，不再运动到其他分隔间，已知转移矩阵P，长时间后，老鼠运动状态如何？迷宫问题（2）2022-6-8数学建模二二
38、吸收链吸收链(Absorbing Chain)迷宫问题迷宫问题（2）问题问题（1）经过n次观察后，老鼠处于各个分隔间的概率？（2）长时间运动后，老鼠的运动状态如何？（3）若再增加一个放食物的分隔间，情况又如何？2022-6-8数学建模1）分析,21n321 ,),(inXi时间的离散性每个时段状态的随机性321 ,),(inai处于第 i个状态的概率403030304030001.)(ijpP若转移概率矩阵为P2022-6-8数学建模2 ）马氏链模型 nPana0可以看出，老鼠从第2，3个分隔间可以以大于零的概率达到每个分隔间，但从第1个分隔间，不能以大于零的概率达到其他分隔间。猜测：最后老鼠
39、停留在第1个分隔间。3）求解计算 nnnPanalimlim0求nP2022-6-8数学建模SROP1记),( 00O3030.R40303040.SSROSROP11221SSRROSROSSRROP113321SRSSRRO2022-6-8数学建模nnnSRSSRROP11nnSRSSIO)(111001InnPlimnnnnSRSSIOlim)(lim112022-6-8数学建模nnPlimnnnnSRSSIOlim)(lim11由于从第2，3个分隔间总是以大于零的概率达到第1个分隔间，0000OSnnlimISSISIn)(1又由11)(SISSIn记1nSSIF1)(SI2022-6
40、-8数学建模nnPlimOFRO1本例中001000321321FRaaaaaa)(),(),(),(11403030401001.)(SIF160303060.603030602701.2022-6-8数学建模3030603030602701.FR11001000321321FRaaaaaa)(),(),(),(001001001000321)(),(),(aaa),(0014）结论 不论初始老鼠处在那个分隔间，长时间运动后，老鼠处在第1个分隔间的概率为1，其他的概率为零。状态1为吸收态吸收态，2，3为非吸收态非吸收态。2022-6-8数学建模5）问题的进一步考虑增加一个放食物的分隔间。 n
41、Pana0404010104030201000100001.P注：1，2分隔间放食物，3，4 分隔间涂色。2022-6-8数学建模SROIP记0000O10102010.R40404030.SnnnSRSSIOIP)(11nSSIF1)(SI0000OSnnlim2022-6-8数学建模160404070.704040602601.11404040301001.)(SI10102010704040602601.FR150110160102601.2022-6-8数学建模0026152611002616261000100001nnPlimnnPaaaaaaaalim)(),(),(),(),(0
42、00043214321初始极限),(0001),(0001),(0010),(0010),(0100),(0026162610),(1000),(0026152611初始极限2022-6-8数学建模结论结论若初始老鼠处在1，2分隔间，长时间运动后，老鼠仍处在1，2分隔间；若初始老鼠处在第3，4分隔间，则经长时间运动后，在分隔间3，4的概率为零，而以正概率分别进入1，2分隔间。即无论初始状态如何，经过长时间后，都将被吸收态吸收。2022-6-8数学建模定义定义2 转移概率1iip的状态i称为吸收状态吸收状态。如果马氏链至少包含一个吸收状态，并且从每一个非吸收状态出发，能以正的概率经有限次转移到达
43、某个吸收状态，那么这个马氏链称为吸收链吸收链。吸收链的转移矩阵的标准形式标准形式：r个吸收状态，)(,rktSROIPrr其中，rk 阶子方阵S的特征值满足1一般地个非吸收态2022-6-8数学建模SQOIPrrnnnSRSSIOI)(1nS表示以任何非吸收态出发，经过n步转移后，到达 t 个非吸收状态的转移概率。从状态i出发经n次转移，第一次到达状态j的概率称为i到j的首达概率首达概率，记作 nbij，于是 1nijijnnb为由状态i第一次到达状态j的平均转移次数。定义定义2022-6-8数学建模定理定理4 对于吸收链P的标准形式（上面矩阵），SI 可逆，且01iiSSIF记列向量Te11
44、1, ，则Fey 的第i分量是从第i被某个吸收状态吸收的平均转移次数。（基矩阵）F 中的每个元素，表示从任何非吸收状态出发，过程到达每个非吸收状态的平均转移次数；个非吸收状态出发，2022-6-8数学建模设状态i是非吸收状态，j是吸收状态，那么首达概率 nbij实际是i经n次转移被j吸收的概率，而 1nijijnbb则是从非吸收状态i出发最终将被吸收状态j吸收的概率。记rrkijbB，下面的定理给出了计算ijb的方法。定理定理5 设吸收链的转移矩阵 P表为标准形式，则FRB 2022-6-8数学建模练习练习 智力竞赛问题智力竞赛问题甲、乙两队进行智力竞赛。竞赛规则为：竞赛开始时，甲、乙两队各记
45、2分，在抢答问题时，如果甲队赢得 1 分，那么甲队的总分将累加1分，同时乙队总分将减少1分。当甲（或乙）队总分达到4 分时，竞赛结束，甲（或乙）获胜。（1 1）甲队获胜的概率是多少？）甲队获胜的概率是多少？（2 2）竞赛从开始到结束，分数转移的平均次数是）竞赛从开始到结束，分数转移的平均次数是多少？多少？（）甲队获得，分的平均次数是多少？（）甲队获得，分的平均次数是多少？2022-6-8数学建模1）分析, 210n(), 0,1, 2, 3, 4iXni 表示轮数每轮得分情况(), 0,1, 2, 3, 4iani 处于第 i个状态的概率1000001000010000100001pppppp
46、pPij)(转移概率矩阵甲设甲得1分的概率为 p0 1 2 3 4012342022-6-8数学建模标准型0100010000010001000001ppppppP0 4 1 2 3041231001I ppR000010100100ppppS000000O2022-6-8数学建模nnnSRSSIOIP)(11)(SIF10100100100010001pppp11102101pppppqqqpqpppqpq11121122pq12022-6-8数学建模pqqqpqpppqpqF111211225421 13,),(,)(inanai pppqqqpqpppqpqFRB000011112112
47、2ppqqpqpqpqpq)()(1121132232022-6-8数学建模（1）甲队获胜的概率）甲队获胜的概率pqp212（2）竞赛从开始到结束，分数转移的平均次数）竞赛从开始到结束，分数转移的平均次数pqpqqp212211（）甲队获得，分的平均次数分别为（）甲队获得，分的平均次数分别为pqq21pq211pqp212022-6-8数学建模作业作业1 一个服务网络由k个工作站kvvv,21依次串联而成，当某种服务请求到达工作站 时， 能处理的概率为 ，转往下一站 处理的概率ivivip1iv),(0121kiqkiq设为，拒绝处理的概率为 ，满足 。ir1iiirqp构造马氏链模型，确定到
48、达 的请求平均经过多少工作站才能获得接受处理或拒绝处理的结果，被接受和拒绝的概率个多大？iv2022-6-8数学建模2 空气污染问题有 k 个城市 ，每一时刻 t = 0,1,2,kvvv,21iv的空气中污染物浓度 ，从t 到t+1， 空气)(tciiv中污染物扩散到 去的比例是 ，有jvijp),(kipkjij2111扩散到k各城市之外的那部分污染物永远不再回来。2022-6-8数学建模健康与疾病问题健康与疾病问题人寿保险公司对受保人的健康状况非常关注，需通过大量的数据对状态转变的概率作出估计，才能制定出不同年龄、不同健康状况的人的保险金和理赔金数额。假定对某一年龄段的人，今年健康、明年
49、保持健康状态的概率为0.8，即明年转为疾病状态的概率为0.2；而今年患病、明年转为健康状态的概率为0.7，即明年保持疾病状态的概率为0.3。如果一个人投保时处于健康状态，研究若干年后他分别处于两种状态的概率。2022-6-8数学建模 nPana030702080.P0.20.70.80.3122022-6-8数学建模经计算0123410.8 0.78 0.778 0.77787/900.2 0.22 0.222 0.22222/9n na1 na2n0123400.7 0.77 0.777 0.77777/910.3 0.23 0.223 0.22232/9 na1 na22022-6-8数学
50、建模3nX0.02问题的进一步考虑人寿保险公司考虑到人的死亡情况，把死亡作为第三种状态，用表示。0.180.650.80.251230.12022-6-8数学建模设 nai表示状态概率，, 321iijp表示状态转移概率，321 , ji,其值见上图。第1n年的状态概率可由全概率公式得到： 333232131332322212123132121111111pnapnapnanapnapnapnanapnapnapnana1001025065002018080.P nPana02022-6-8数学建模经计算0123305010.80.7570.72850.26980.1293000.180.18
