1、2022年高考文数真题试卷（全国甲卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设集合 ，则 （） ABCD2某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图： 则（）A讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3若 则 （） ABCD4如图，网格
2、纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（） A8B12C16D205将函数 的图像向左平移 个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则 的最小值是（） ABCD6从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（） ABCD7函数 在区间 的图像大致为（）ABCD8当 时，函数 取得最大值 ，则 （） A-1BCD19在长方体 中，已知 与平面 和平面 所成的角均为 ，则（） ABAB与平面 所成的角为 CD 与平面 所成的角为 10甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 ，侧面积
3、分别为 和 ，体积分别为 和 若 ，则 （） ABCD11已知椭圆 的离心率为 ， 分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点若 ，则C的方程为（） ABCD12已知 ，则（） ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知向量 若 ，则 14设点M在直线 上，点 和 均在 上，则 的方程为 15记双曲线 的离心率为e，写出满足条件“直线 与C无公共点”的e的一个值 16已知 中，点D在边BC上， 当 取得最小值时， 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17甲、乙两城之
4、间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：准点班次数未准点班次数A24020B21030附： ，0.1000.0500.0102.7063.8416.635（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；（2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？18记 为数列 的前n项和已知 （1）证明： 是等差数列； （2）若 成等比数列，求 的最小值 19小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面 是边长为8（单位：cm）的正方形，
5、均为正三角形，且它们所在的平面都与平面 垂直 （1）证明： 平面 ； （2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）20已知函数 ，曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线 （1）若 ，求a： （2）求a的取值范围21设抛物线 的焦点为F，点 ，过 的直线交C于M，N两点当直线MD垂直于x轴时， （1）求C的方程：（2）设直线 与C的另一个交点分别为A，B，记直线 的倾斜角分别为 当 取得最大值时，求直线AB的方程 四、选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （t为参数），曲线 的参数方程为 （s为参数） （
6、1）写出 的普通方程； （2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，求 与 交点的直角坐标，及 与 交点的直角坐标 23已知a，b，c均为正数，且 ，证明：（1） ；（2）若 ，则 答案解析部分1【答案】A2【答案】B3【答案】D4【答案】B5【答案】C6【答案】C7【答案】A8【答案】B9【答案】D10【答案】C11【答案】B12【答案】A13【答案】 或-0.7514【答案】15【答案】2（满足 皆可）16【答案】 或 17【答案】（1）解：由表中数据可知，A共有班次240+20=260次，准点班次有240次， 设A家公司长途客车准点事件为M，则 ；则A家
7、公司长途客车准点的概率为 ；B共有班次210+30=240次，准点班次有210次，设B家公司长途客车准点事件为N，则 .B家公司长途客车准点的概率为 .（2）解：列联表 准点班次数未准点班次数合计A24020260B21030240合计45050500 = ，根据临界值表可知，有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.18【答案】（1）已知 ，即 ， 当 时， ，-得， ，即 ，即 ，所以 ， 且 ，所以 是以1为公差的等差数列（2）由（1）中 可得， ， ， ， 又 ， ， 成等比数列，所以 ，即 ，解得 ，所以 ，所以 ，所以，当 或 时 19【答案】（1）证明
8、：分别取 的中点 ，连接 ， 因为 为全等的正三角形，所以 ， ，又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，同理可得 平面 ，根据线面垂直的性质定理可知 ，而 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 （2）解：分别取 中点 ， 由（1）知， 且 ，同理有， ， ， ，由平面知识可知， ， ， ，所以该几何体的体积等于长方体 的体积加上四棱锥 体积的 倍因为 ， ，点 到平面 的距离即为点 到直线 的距离 ， ，所以该几何体的体积 20【答案】（1）解：由题意知， ， ， ，则 在点 处的切线方程为 ， 即 ，设该切线与 切于点 ， ，则 ，解得 ，则
9、，解得 ；（2）解： ，则 在点 处的切线方程为 ，整理得 ， 设该切线与 切于点 ， ，则 ，则切线方程为 ，整理得 ，则 ，整理得 ，令 ，则 ，令 ，解得 或 ，令 ，解得 或 ，则 变化时， 的变化情况如下表：01-0+0-0+-1则 的值域为 ，故 的取值范围为 .21【答案】（1）解：抛物线的准线为 ，当 与x轴垂直时，点M的横坐标为p， 此时 ，所以 ，所以抛物线C的方程为 ；（2）解：设 ，直线 ， 由 可得 ， ，由斜率公式可得 ， ，直线 ，代入抛物线方程可得 ， ，所以 ，同理可得 ，所以 又因为直线MN、AB的倾斜角分别为 ，所以 ，若要使 最大，则 ，设 ，则 ，当且仅当 即 时，等号成立，所以当 最大时， ，设直线 ，代入抛物线方程可得 ， ，所以 ，所以直线 .22【答案】（1）解：因为 ， ，所以 ，即 普通方程为 （2）解：因为 ，所以 ，即 的普通方程为 ， 由 ，即 的普通方程为 联立 ，解得： 或 ，即交点坐标为 ， ；联立 ，解得： 或 ，即交点坐标 ， 23【答案】（1）证明：由柯西不等式有 ， 所以 ，当且仅当 时，取等号，所以 （2）证明：因为 ， ， ， ，由（1）得 ， 即 ，所以 ，由权方和不等式知 ，当且仅当 ，即 ， 时取等号，所以 .
