1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 专题 3.4 导数的实际应用 【考纲解读】 内 容 要 求 备注 A B C 导 数 及其应用 导数在实际问题中的应用 对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别用 A、 B、 C 表示） . 了解： 要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题 . 理解： 要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题 . 掌握： 要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题 . 【知识清单】 考点 1 利用导数研究生活中的优化 问题 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，
2、列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式 y f(x)； (2)求函数的导数 f( x)，解方程 f( x) 0； (3)比较函数在区间端点和 f( x) 0的点的函数值的大小，最大 (小 )者为最大 (小 )值； (4)回归实际问题作答 【考点深度剖析】 以实际生活为背景 ,通过求面 (容 )积最大、用料最省、利润最大、效率最高等问题考查学生分析问题、解决问题以及建模的能力 ,常与函数关系式的求法、函数的性质 (单调性 、最值 )、不等式、导数、解析几何中曲线方程、空间几何体等知识交汇考查 . 【重点难点突破】 考点 1 利用导数研究生活中的优化问题 【 1-1】 如图，某
3、小区有一边长为 2（单位：百米）的正方形地块 OABC，其中 OAE 是一个游泳池，计划在地块 OABC内修一条与池边 AE相切的直路 l （宽度不计），切点为 M，并把该地块分为两部分现以点 O为坐标原点，以线段 OC所在直线为 x轴，建立平面直角坐标系，若池边=【 ;精品教育资源文库 】 = AE满足函数 2 2(0 2y x x? ? ? ? ?的图象，且点 M到边 OA距离为 24()33tt? （ 1）当 23t? 时，求直路 l 所在的直线方程； （ 2）当 t 为何值时，地块 OABC在直路 l 不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？ 【答案】（ 1） 12 9 22 0xy
4、? ? ?；（ 2） 1?t 时， 2max ?S . 面积 tttttS 142)22122(21 ? 2)1(4 ? tt ，当 1?t ， 2max ?S . 【 1-2】 放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变 .假设在放射性同位素铯 137 的衰变过程中，其含量 M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系： 300( ) 2 tM t M ? ，其中 M0为 t=0时铯 137的含量 .已知 t=30时，铯 137含量的变化率是 -10In2（太贝克年），则 M（ 60） =_太贝克 【答案】 150 【解析】 300( ) 2
5、tM t M ? ， 300 111( ) ln ,3 0 22tM t M ? ? ? ? ?当 t=30时，即 0 11 ln 2 1 0 ln 2 ,2 3 0M? ? ? ? ? ? 0 600.M ? 30( ) 600 2 ,tMt ? 当 t=60 时=【 ;精品教育资源文库 】 = 6030( ) 600 2 150.Mt ? ? ? 【 1-3】 某种产品每件成本为 6元，每件售价为 x元 (6x11)，年销售为 u万件，若已知 5858 u与 ? ?x 214 2 成正比，且售价为 10 元时，年销量为 28万件 (1)求年销售利润 y关于售价 x的函数关系式； (2)求售
6、价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润 【答案】 (1) y 2x3 33x2 108x 108(6x11) (2) 售价为 9 元时，年利润最大，最大年利润为 135万元 当 x(9,11) 时， y0. 函数 y 2x3 33x2 108x 108在 (6,9)上是递增的，在 (9,11)上是递减的 当 x 9时， y取最大值，且 ymax 135， =【 ;精品教育资源文库 】 = 售价为 9元时，年利润最大，最大年利润为 135万元 【 1-4】 一个圆柱形圆木的底面半径为 1m，长为 10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面
7、为等腰梯形 ABCD （如图所示，其中 O 为圆心， ,CD在半圆上），设 BOC q?，木梁的体积为 V（单位： m3），表面积为 S（单位： m2） （ 1）求 V关于 的函数表达式； （ 2）求 q 的值，使体积 V最大； （ 3）问当木梁的体积 V最大时，其表面积 S是否也最大？请说明理由 【答案】 (1)( ) 1 0 (s in c o s s in ), (0 , )2V pq q q q q? ? ?； (2) 3? ；（ 3）是 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 【思想方法】 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模
8、型，写出实际问题中变量之间的函数关系式 y f(x)； (2)求函数的导数 f( x)，解方程 f( x) 0； (3)比较函数在区间端点和 f( x) 0的点的函数值的大小，最大 (小 )者为最大 (小 )值； (4)回归实际问题作答 【 温馨提醒 】 分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值 构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理不重不漏 【易错试题常警惕】 求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论 . 用导数求解实际问题中的最大 (小 )值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点 .
