1、a1第三讲第三讲 人口增长与预测模型人口增长与预测模型人口增长与人口问题背景知识人口增长与人口问题背景知识a2世界人口增长是由规律可循的世界人口增长是由规律可循的古代古代-增长缓慢增长缓慢 近代近代-人口快速增长人口快速增长现代现代-人口人口“爆炸性爆炸性”增长增长影响人口增长的因素影响人口增长的因素-自然自然-人文人文-国际大环境国际大环境-生产力发展水平、经济、生产力发展水平、经济、医疗卫生条件、生活等医疗卫生条件、生活等纵向观察：纵向观察：a3空间差异空间差异 发展中国家：人口增长很快，目前发展中国家每年增发展中国家：人口增长很快，目前发展中国家每年增长的人口，在世界人口增长总数中约占长
2、的人口，在世界人口增长总数中约占90%，原因是：，原因是：政治的独立政治的独立民族经济的发展民族经济的发展医疗卫生事业的进步医疗卫生事业的进步致使人口死亡率下降而致使人口死亡率下降而自然增长率高自然增长率高 发达国家：人口增长缓慢，已出现缓慢增长、零增长或发达国家：人口增长缓慢，已出现缓慢增长、零增长或负增长负增长 原因是：由于社会经济和文化教育的发展，人们自愿原因是：由于社会经济和文化教育的发展，人们自愿节育，出生率逐步下降，目前多已接近零增长，甚至负节育，出生率逐步下降，目前多已接近零增长，甚至负增长。增长。a4我国的人口出生率、死亡率与自然增长率a5一、按年龄分组的种群增长模型（一、按年
3、龄分组的种群增长模型（ Leslie矩阵模型）矩阵模型） 不同年龄组的繁殖率和死亡率不同不同年龄组的繁殖率和死亡率不同 建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律1. 假设与建模假设与建模 种群按年龄大小等分为种群按年龄大小等分为n个年龄组，记个年龄组，记i=1,2, , n 时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记k=1,2, 以雌性个体数量为对象以雌性个体数量为对象 第第i 年龄组年龄组1雌性个体在雌性个体在1时段内的时段内的繁殖率繁殖率为为bi 第第i 年龄组在年龄组在1时段内的死亡率为时段内的死亡
4、率为di, 存活率存活率为为si=1- dia61, 2 , 1),() 1(1nikxskxiii假设假设与与建模建模xi(k) 时段时段k第第i 年龄组的种群数量年龄组的种群数量)() 1(kLxkx)0()(xLkxkTnkxkxkxkx)(),(),()(21按年龄组的分布向量按年龄组的分布向量预测任意时段种群预测任意时段种群按年龄组的分布按年龄组的分布000000121121nnnsssbbbbLLeslie矩阵矩阵(L矩阵矩阵)() 1(11kxbkxinii(设至少设至少1个个bi0)a72. 稳定状态分析的数学知识稳定状态分析的数学知识nkk, 3 , 2,1 L矩阵存在矩阵存
5、在正单特征根正单特征根 1， 若若L矩阵存在矩阵存在bi, bi+10, 则则 nkk, 3 ,2,1)0()(xLkxk11),(PdiagPLnP的第的第1列是列是x*)0()0, 0 , 1 ()(lim11xPPdiagkxkkTnnssssssx11121212111*, 1特征向量特征向量*1)(limcxkxkk, c是由是由bi, si, x(0)决定的常数决定的常数 且且解解释释L对角化对角化11),(PdiagPLknkk*cxa8*)() 1xckxk)() 1()2kxkx稳态分析稳态分析k充分大充分大种群按年龄组的分布种群按年龄组的分布*1)(limcxkxkk 种群
6、按年龄组的分布趋向稳定，种群按年龄组的分布趋向稳定，x*称稳定分布称稳定分布, 与初始分布无关。与初始分布无关。 各年龄组种群数量按同一各年龄组种群数量按同一倍数增减，倍数增减， 称固有增长率称固有增长率Tnssssssx121211*, 1)() 1(kxkxii)() 1(kLxkx与基本模型与基本模型比较比较3） =1时时*)() 1(cxkxkx 各年龄组各年龄组种群种群数量不变数量不变a9 1个个体在整个存活个个体在整个存活期内的繁殖数量为期内的繁殖数量为11121121nnsssbsbb稳态分析稳态分析Tnssssx, 1 1211*,)()4*xckxk存活率存活率 si是同一时
7、段的是同一时段的 xi+1与与 xi之比之比（与（与si 的定义的定义 比较）比较） )()1(1kxskxiii1,2, 1),()(1nikxskxiii3） =1时时*xLx Tnssssssx121211*, 1000000121121nnnsssbbbbLa10一个简单实例：一个简单实例： 考虑一个没有多少移民迁入与外界隔绝的部落。假设考虑一个没有多少移民迁入与外界隔绝的部落。假设该部落中没有年龄大于该部落中没有年龄大于60的女性，将该部落中的女性分的女性，将该部落中的女性分分成期限为分成期限为20年的年的3个年龄组，并知其个年龄组，并知其Leslie矩阵是矩阵是043100 ,21
8、004L如果开始时在这如果开始时在这3个年龄组中每组有个年龄组中每组有1000名女性，即名女性，即(0)10001000 ,1000X)0()(xLkxk于是由于是由 ，得到，得到a11(1)(0)(2)(1)(3)(2)043100070001/2001000500,01/401000250043700027501/2005003500 ,01/4025012504327501/200350001/40125XLXXLXXLX143751375 .875因此因此60年后，年龄从年后，年龄从0到到20岁的女性有岁的女性有14375名；名；20到到40岁岁的女性有的女性有1375名；名；40到到
9、60岁之间的女性有岁之间的女性有875名。名。 a12二、延迟模型二、延迟模型Logistic模型：0(1)(0),0.mdNNrNdtNNN t0( )1(1)mrtmNN tNeN 假定Logistic模型中人口数量的增长率与过去的人口数量有关，环境对人口的制约作用并不是立即见效，而是有一个滞后，要延迟到T 时刻后才起作用，则Logistic模型可改为：a13具有常迟滞的具有常迟滞的Logistic模型：模型：000()1, ,),( )( ), .mdNN tTrNttdtNN ttttT t其中其中T 0为常数。为常数。令1mNyN则()1( )dyr y tTy tdt 求解与讨论较
10、复杂，建议用数值方法求解。求解与讨论较复杂，建议用数值方法求解。a14三、人口预测和控制的三、人口预测和控制的偏微分方程模型偏微分方程模型)(),(,0),0(tNtrFtFmrFtrp),( 年龄分布对于人口预测的重要性年龄分布对于人口预测的重要性 只考虑自然出生与死亡，不计迁移只考虑自然出生与死亡，不计迁移( , ) (F r ttr人口分布函数时刻年龄的人口数）人口密度函数),(trp人口总数)(tN最高年龄)(mrt时刻时刻,年龄小于年龄小于 r 的人口数的人口数a15),(),(trptrtprp11,),(),(),(),(),(),(drdtdttrptrtrpdttrpdttr
11、pdttdrrp人口发展方程人口发展方程死亡率),(trdrtrp),(人数年龄,drrrt死亡人数内),(dttt人数年龄,11drdrrdrrdtt1drdt 一阶偏微分方程一阶偏微分方程drdttrptr),(),(drdttdrrp),(1a160),(),0(0),()0 ,(),(),(0ttftprrprptrptrtprp人口发展方程人口发展方程已知函数（人口调查）已知函数（人口调查）生育率（控制人口手段）生育率（控制人口手段）0tr)(0rprt )(tfrt rt )(),(rtrrtertfrtetrptrprrtrdssdss,)(0,)(),(0)()(0rdstsp
12、trF0),(),(mrdstsptN0),()(a1721),(),(),()(rrdrtrptrktrbtf),()(),(trhttrb211),(rrdrtrh21),()(rrdrtrbt生育率的分解生育率的分解性别比函数女性 )(),(trk生育数女性 )(),(trb育龄区间,21rr21),(),(),()()(rrdrtrptrktrhttf 总和生育率总和生育率h生育模式生育模式)(),(rhtrh01r2rra18rtertfrtetrptrprrtrdssdss,)(0,)(),(0)()(021),(),(),()()(rrdrtrptrktrhttf人口发展方程和生
13、育率人口发展方程和生育率)(t总和生育率总和生育率控制生育的多少控制生育的多少),(trh生育模式生育模式控制生育的早晚和疏密控制生育的早晚和疏密),(),(trptrtprp)(tf)(0rp),(trp)(t 正反馈系统正反馈系统 滞后作用很大滞后作用很大a19mrdrtrrptNtR0),()(1)(tdrtrdetSt0),()()(/ )()(tStRt mrdrtrptN0),()(人口指数人口指数1）人口总数）人口总数2）平均年龄）平均年龄3）平均寿命）平均寿命t时刻出生的人，死亡率按时刻出生的人，死亡率按 (r,t) 计算的平均存活时间计算的平均存活时间4）老龄化指数）老龄化指
14、数控制生育率控制生育率控制控制 N(t)不过大不过大控制控制 (t)不过高不过高a20四、随机人口模型四、随机人口模型1.背景背景 一个人的出生和死亡是随机事件一个人的出生和死亡是随机事件一个国家或地区一个国家或地区平均生育率平均生育率平均死亡率平均死亡率确定性模型确定性模型一个家族或村落一个家族或村落出生概率出生概率死亡概率死亡概率随机性模型随机性模型2.对象对象X(t) 时刻时刻 t 的人口的人口, 随机变量随机变量.Pn(t) 概率概率P(X(t)=n), n=0,1,2,研究研究Pn(t)的变化规律；得到的变化规律；得到X(t)的期望和方差的期望和方差a21若若X(t)=n, 对对t到
15、到t+ t的出生和死亡概率作以下假设的出生和死亡概率作以下假设1)出生一人的概率与出生一人的概率与 t成正比，记成正比，记bn t ;出生二人及二人以上的概率为出生二人及二人以上的概率为o( t).2)死亡一人的概率与死亡一人的概率与 t成正比，记成正比，记dn t ;死亡二人及二人以上的概率为死亡二人及二人以上的概率为o( t).3)出生和死亡是相互独立的随机事件。出生和死亡是相互独立的随机事件。 bn与与n成正比，记成正比，记bn= n , 出生概率出生概率；dn与与n成正比，记成正比，记dn= n， 死亡概率死亡概率。4）进一步假设）进一步假设3. 模型假设模型假设a22)()1)()(
16、)()(1111totdtbtPtdtPtbtPttPnnnnnnnn5.建模建模为得到为得到Pn(t) =P(X(t)=n), 的变化规律，的变化规律，考察考察 Pn(t+ t) =P(X(t + t)=n).随机事件随机事件X(t + t)=n的分解：的分解：X(t)=n-1, t内出生一人内出生一人X(t)=n+1, t内死亡一人内死亡一人X(t)=n, t内没有出生和死亡内没有出生和死亡其它其它(出生或死亡二人，出生或死亡二人，出生且死亡一人，出生且死亡一人， )概率概率Pn(t+ t) Pn-1(t), bn-1 t Pn+1(t), dn+1 t Pn(t), 1-bn t -dn
17、 t o( t)全概率全概率公式：公式：a23)()()() 1()() 1(11tnPtPntPndtdPnnnn)()()()(1111tPdbtPdtPbdtdPnnnnnnnn一组递推一组递推微分方程微分方程求解过程复杂且不必要求解过程复杂且不必要00, 0, 1)0(nnnnPn(t=0时已知人口为时已知人口为n0)转而考察转而考察X(t)的期望和方差的期望和方差 bn= n，dn= n移项，两边除以移项，两边除以 t， 令令 t 05.建模建模初始初始条件：条件：a241)()()()(nntEtnPdtdE)()()()1()()1(121111tPntPnntPnndtdEnn
18、nnnn1)()(nntnPtEX(t)的期望的期望6.求解求解)()()() 1()() 1(11tnPtPntPndtdPnnnn基本方程基本方程1)()1(kktPkkn-1=k1nndtdPndtdEn+1=k)()1(1tPkkkka25求解：求解：0)0()()(nEtEdtdErtextx0)( 比较：确定性指数增长模型比较：确定性指数增长模型)()()(212tEtPntDnnX(t)的方差的方差E(t)- (t) - = r D(t) rentErt,)(0E(t)+ (t)Et0n0 , D(t) 1)()()(0tteentDX(t)大致在大致在 E(t) 2 (t) 范
19、围内（范围内（ (t) 均方差）均方差）r 增长概率增长概率r 平均增长率平均增长率a26评注：上述模型可作为一般的生灭过程的模型，评注：上述模型可作为一般的生灭过程的模型，有着广泛的用途。如电梯升降、交通路口的通过有着广泛的用途。如电梯升降、交通路口的通过以及各种排队现象等，都可以在适当的假设下用以及各种排队现象等，都可以在适当的假设下用上述生灭过程模型来描述。上述生灭过程模型来描述。)()()()(1111tPdbtPdtPbdtdPnnnnnnnn00, 0, 1)0(nnnnPn(t=0时已知人口为时已知人口为n0)a27题目：中国人口增长预测 中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我
20、国发展的关键因素之一。中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。重要问题。 近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。国人口的增长。2007年初发布的年初发布的国家人口发展战略研究报告国家人口发展战略研究报告(附录附录
21、1) 还还做出了进一步的分析。做出了进一步的分析。 关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录2就是从就是从中国人口统计年鉴中国人口统计年鉴上收集到的部分数据。上收集到的部分数据。 试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录2中的相关中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出模型，并由此对中国人口增长
22、的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。你们模型中的优点与不足之处。 附录附录1 国家人口发展战略研究报告国家人口发展战略研究报告 附录附录2 人口数据（人口数据（中国人口统计年鉴中国人口统计年鉴中的部分数据）及其说明中的部分数据）及其说明a281、问题分析 人口问题一直是人们所关注的一个课题。关于人口增长问题已经有多方面的研究，如马尔萨斯指数增长模型、Logistic人口阻滞增长模型、偏微分方程模型、Lislie模型等。 我国是一个人口大国，人口增长的数学模型研究有着重要的意义。2007年国家发布了国家人口发展战略研究报告，对于中国人口的发展现状、未来人口增长模型、
23、人口素质、人口教育、就业问题以及中国人口现阶段增长特点进行了总结。本研究基于该文章、中国人口统计年鉴等资料所提供的数据信息建立一个具有中国人口增长特点的常微分方程初值问题的数学模型，并利用该模型对中国未来人口的增长状况进行预测。a292、基本假设 根据国家人口发展战略研究报告，当前中国人口的增长有如下特点： 1）中国正进入老龄化社会，老年人的比重在不断加大； 2）农村与城镇育龄妇女的生育率及出生人口性别比有着较大的区别； 3）农村人口不断城镇化，根据国家人口发展战略研究报告，估计转化率为百分之一。 人口的增长率取决于出生率、死亡率和不同人群之间的迁移率。而出生率又取决于育龄妇女的生育率及育龄妇
24、女在总人口中所占得比例。因此，需要对这些相关数据进行分析。a301）育龄妇女的生育率： 图中是19942005年十年间城镇育龄妇女的生育率，从中可以看出虽然成下降趋势，但下降趋势趋于缓和。农村育龄妇女的生育率情况类似，总体数据偏高，需要分开考虑。19942005年育龄妇女的生育率(千分比)a312）出生人口性别比 一般情况下的人口性别比为105：100左右。而中国这10年间人口性比比远远超过这个比例，这将导致未来育龄妇女在总人口中的比例减少，从而导致总出生率下降，因此在本研究中有必要将出生人口的男女性别比因素考虑进去。19942005年男女出生比例(以女性为100)a321）死亡率 不同年龄段
25、的死亡率是不同的，需要将死亡率分年龄段考虑。城镇女性2005年死亡率(千分比)a334）人口的年龄分布 可以看出过去50年来的人口出生的变化情况。15年前（1990）和35（1970）年前均出现人口生育高峰。进一步的数据分析表明，这两次人口生育高峰主要出现在农村。也看出近15年来人口出生的下降趋势。而50岁以下的人口由于死亡率很低，这些人成批进入老年阶段将使老龄人口的比重加大。2005年分年龄段人口数量a345）农村人口城镇化 由于农村和城镇人口出生率的较大差异，大量的农村人口转化为城镇人口对中国人口的增长将造成很大影响，因此必须把这个因素考虑进去。 国家人口发展战略研究报告预测农村人口的城镇
26、化水平式年增长1%。但考虑到在城镇中女性在服务业和婚姻方面较男性的优势，可以假设农村男性以0.9%的比例转化，而女性以1.1%转化。 因此，我们可以把中国人口分成城镇男、城镇女、农村男、农村女四类分别处理，并引进农村人口向城镇迁移的因素。a353、模型的建立1）人口分年龄比例的未来走向 由于在讨论出生率和死亡率时涉及到不同年龄段的问题，需要对上述每一类人口在各年龄段所占得比例做出估计。 对每一类人口按其是否参与生育分为：幼年（0-14岁）、青壮年（1549）和老年（50岁以上）三个年龄段人口的比例来处理。通过数据分析可以看出，老龄化的结果造成老年人口增加，而幼年和青壮年的人口在总人口中所占得比
27、例则逐年减少，育龄妇女的生育年龄主要集中在2035岁，且其生育率趋于常数。a36 以城镇女性人口为例，将城镇女性人口按年龄分作81维向量，按已知各年龄的人口比例、死亡率和育龄妇女的生育率，利用Leslie矩阵进行迭代。与通常Leslie矩阵方法不同，采用的是人口比例而非人口数量。设0000000000000079101210)1(80)1(2)1(1)1(0bbbaaaaaxxxxmmtttt)(80)(2)(1)(0ttttxxxx其中a15a50为常数（城镇育龄妇女的女婴生育率），其它为0。bi=1-ci, ci为i岁城镇女性人口的死亡率。每步得到结果后进行规一化处理后，进行下一步计算。
28、) 1(tBa37 向量各分量依次为第t年的城镇080岁女性人口的比例，取2005年1%抽样人口抽样调查数据位初值，对上式进行迭代，按上述幼年、青壮年、老年三个年龄段人口的比例来表示。未来城镇育龄妇女分年龄走势图 从上图可以看出，城镇妇女的幼年阶段与青壮年的育龄阶段所占得比例的变化呈下降趋势。原因：这两个年龄段人口的总体死亡率很小，每次迭代都乘以一个小于1的数。a38结论：城镇妇女的幼年阶段与青壮年的育龄阶段所占得比例的变化呈下降趋势。证明：将人口分成幼年x1、青壮年x2和老年x3三部分，得到的TxxxX),(321满足1321321100101nnxxxcbxxx 其中伟每年幼年向青壮年的转
29、化率，是青壮年向老年转化率，b是育龄妇女的女婴生育率，c是老年的死亡率。幼年和青壮年的死亡率很低，予以忽略不计。a39上述矩阵是可以对角化的，即存在可逆矩阵P，使得BPPPcvuPcbA111000000100101这样，就得到TnTnxxxPBPxxx03211321),)(),(a40然后再对xn进行规一化处理31321),(iinnTnnnnxxyyyy得到2, 1,)(1 (ikvumlyiniiinnnnyyy2131其中Rkmliii,由TnnnnxxxX),(321确定。a41考虑短期（n60）,建立简单的微分方程模型)()(1)()()()()(21312121111tttdt
30、cdttdbtadttd)(),(),(321ttt分别为幼年、育龄和老年城镇女性人口比例函数，1111,dcba为非负参数，满足111db)()(1)()()()()(21311211111tttdedstbebrttcta解为r,s为初值。a42 同理其它三类（农村男、女、城镇男）有类似的结果。即014和1549岁两个年龄段的趋势函数都呈指数性下降。 需要考虑的一个问题：农村分别在1970年和1990年前后经历了两个生于高峰，而指数拟合只能体现出未来分年龄段走势的主趋势。 添加一个不断减弱的周期性震荡来描述这种周期性变化。 在某次生育高峰后还会周期性地出现新的生育高峰，而文化素养的提高和晚
31、婚晚育的政策会削弱这种峰值效应。 正弦函数a43城镇男性)()(1)()()()()(21322222122tttdedstbebrttcta)(),(),(321ttt分别为幼年、育龄和老年城镇女性人口比例函数，2222,dcba为非负参数，满足122dba44农村女性)()(1)(/)(sin)()(/)(sin)()(21322332113312313tttktegdedstktegbebrttftctfta)(),(),(321ttt分别为幼年、育龄和老年农村女性人口比例函数，3333,dcba为非负参数，满足133db,212121kkggff为普通参数。a45农村男性)()(1)(
32、/)(sin)()(/)(sin)()(21344442334414434tttktegdedstktegbebrttftctfta)(),(),(321ttt分别为幼年、育龄和老年农村男性人口比例函数，4444,dcba为非负参数，满足144db,434343kkggff为普通参数。a46预测模型 确定城镇和农村男女各年龄段的比例函数，根据假设：生育率是由育龄妇女的数量决定、农村和城镇育龄妇女的生育率均不变、出生人口性别比均不变、各年龄段人口的死亡率不变、农村人口按照一定的常数比例向城镇迁移，来建立模型。uxtttytdtdx1332211211)()()()(vytttytdtdy2332
33、211211)()()()()1 (uxtttytdtdu1332211222)()()()(vutttvtdtdv2332211222)()()()()1 (a47符号规定城镇男、女人口城镇男、女人口农村幼年、育龄、老年男性的死亡率农村幼年、育龄、老年女性的死亡率城镇幼年、育龄、老年男性的死亡率城镇幼年、育龄、老年女性的死亡率农村男、女转化率城镇、农村男性出生比例城镇、农村育龄女性生育率21,21,21,321,321,321,321,yx,vu,a48参数确定 根据中国人口统计年鉴20012005卷中的数据可以整合得到：出生率、男性出生比例、转化率、死亡率、人口发展走势参数（a,b,c,d
34、,f,g,k,）。 按照根据中国人口统计年鉴2005卷只能高的数据，可以得到2005年的初值： x(0)=287740000 y(0)=288259000 u(0)=399428000 v(0)=357638000a49方程的离散化求解 该模型为一个非自治的耦合常微分方程组，可以采用数值方法求得其初值问题的解。 取一年为一个步长，采用简单的Euler方法，从初始时刻开始进行迭代，可以求得任意一年的人口数量。从图中可以看出，30年后中国总人口接近顶峰值15亿。a5020002005201020152020202520302035204020452050240260280300320340360380年 份百万人 育龄妇女的数值在几年内有所增长，40年后将从2005年的3.8亿降到2.5亿。
