1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 专题 7.2 一元二次不等式及其解法 【考纲解读】 内 容 要 求 备注 A B C 集合 一元二次不等式 对知识的考 查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别用 A、 B、 C表示） . 了解： 要求对所列知识的含义有最基本的认识，并 能解决相关的简单问题 . 理解： 要求对所列知识 有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题 . 掌握： 要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题 . 线性规划 基本不等式 【直 击考点】 题组一 常识题 1 不等式 x2 x 20 的解集是 _ 2 某产品的总成本 y(万元 )与产量 x(
2、台 )之间的函数关系式为 y 3000 20x 0.1x2(0 x 240，x N)，若每台产品的售价为 25万元，则生产者不亏本 (销售收入不小于总成本 )时的最低产量是 _台 【解析】 根据题意，得 3000 20x 0.1x2 25x， 整理得 x2 50x 30 0000 ，解得 x 200(舍去 )或 x150. 因为 x N，所以生产者不亏本时的最低产量是 150台 3. 若关于 x的一元二次方程 mx2 (1 m)x m 0没有实数根，则 m的取值范围是 _ 【解析】 易知 m0 ， (1 m)2 4m20，解得 m13，所以 m的取值范围是 ( ， 1) ? ?13， . 4
3、已知函数 f(x) (ax 1)( x b)，如果不等式 f(x) 0 的解集是 ( 1， 3)，则不等式 f( 2x) 0的解集是 _. =【 ;精品教育资源文库 】 = 题组二 常 错 题 5 不等式 x(2 x)0的解集为 _ 【解析】 由不等式 x(2 x) 0，得不等式 x(x 2) 0，则 0 x 2. 6 不等式 (ax 1)(x 2) 0(a0) 的解集是 _ 【解析】 当 a0，解得 x 1a或 x2；当 a 0时，不等式 (ax 1)(x 2) 0可化为 x 2 0，解得 x 2. 7 不等式 x 12x 1 0的解集是 _ 【解析】 原不等式等价于?（ x 1）（ 2x
4、1） 0 ，2x 10 ， 解得12 x1. 题组 三 常 考 题 8 设集合 A x|x2 4x 30，则 A B _ 【解析】 集合 A (1， 3)， B ? ?32， ，所以 A B ? ?32， 3 . 9 不等式 2x2 x 4的解集为 _ 【解析】 因为 2x2 x0， 或 ? a0， 0， a4. 【 1-5】解不等式 2221x ax a? ? ? ? 【思想方法】 1解一元二次 不等式首先要看二次项系数 a是否为正；若为负，则将其变为正数； 2若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法； 3写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；
5、4根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系； 5若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数 . 【 温馨提醒 】 注意一元二次方程、二次函数、二次不等式的联系，解二次不等式 应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力； 当 0? 时，需要 计算相应二次方程的根，其解集是用根表示，对于含参数的二次不等式，需要针对开口方向、判别式的符号、根的大小分类讨论 . 考点 2 一元二次不等式恒成立问题 【 2-1】 不等式 x2 2x 5a 2 3a对任意实数 x恒成立，则实数 a的取值范围为 . 【答案】 1,4 【解
6、析】 x2 2x 5 (x 1)2 4的最小值为 4，所以 x2 2x 5a 2 3a 对任意实数 x恒成立，只需 a23a4 ，解得 1a4 ，故选 A. 【 2-2】 若不等式 的解集是 R，则 m的范围是 . 【 答案 】 【 2-3】 若不等式 对满足 的所有 都成立，则 x的取值范围是 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 【 答案 】 【解析】不等式化为： ，令 ，则 时，恒成立 所以只需 即 ， 所以 x的范围是 . 【 2-4】 若不等式 2 2 3 0x x a? ? ? ?成立的一个充分条件是 40 ?x ，则实数 a 的取值范围应 为 . 【答案】 11a? 【解析】 记
7、 2( ) 2 3f x x x a? ? ? ?，因为 (0), (4)ff不同时为 0 ，所以仅需 (0) 0 11(4) 0f af ? ? ?. 【 2-5】在 R 上定义运算 ? ： (1 )x y x y? ? ? ，若不等式 ( ) ( ) 1x a x a? ? ? ?对任意实数 x 都成立，则 a的取值范围是 . 【答案】 1322a? ? ? 【解析】根据定义可得不等式 ( ) ( ) 1x a x a? ? ? ?为 ( )1 ( ) 1x a x a? ? ? ?即 2 (1 ) 1 0x x a a? ? ? ? ?，此 不 等 式 对 任 意 实 数 x 都 成 立
8、 ， 所 以21 4 ( 1 ) 1 0 4 4 3 0 ( 2 1 ) ( 2 3 ) 0a a a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 从中解得 1322a? ? ? . 【思想方法】 (1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数 (2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于 0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在 x轴上方；恒小于 0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在 x轴下方 【 温馨提醒 】 二次函数的恒成立问题实质是相应的图象落在 x 轴上方或者下方，借助数形结合思想或者分类
9、讨论思想求解 . 考点 3 一元二次不等式的应用 【 3-1】 有纯农药液一桶，倒出 8升后用水补满，然后又倒出 4升后再用水 补满，此时桶中的农药不超过=【 ;精品教育资源文库 】 = 容积的 28%，则桶的容积的取值范围是 _ 【答案】 (8 403， 【 3-2】 汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“ 刹车距离 ” 刹车距离是分析事故的一个重要因素在一个限速 40 km/h 以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过 12 m，乙车的刹车距离略超过 10 m，又知甲、乙两
10、种车型的刹车距离 s(m)车速 x(km/h)之间有如下关系：20.1 0.01s x x甲 ， 20.05 0.05s x x乙 .问：超速行驶应负主要 责任的是谁？ 【答案】 A 【思想方法】 不等式应用问题常以函数、数列的模型出现，在解题中主要涉及不等式的解以及不等式的应用问题，解不等式应用题，重在审题，构造数学模型，这是解题关键 【 温馨提醒 】仔细分析已知条件，将实际问题转化为数学模型 考点 4 不等式性质的应用 【易错试题常警惕】 1对于不等式 ax2 bx c0，求解时不要忘记讨论 a 0时的情形 =【 ;精品教育资源文库 】 = 2当 0 (a 0)的解集为 R 还是 ?， 要注意区别 3含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论
