1、*2011年文10题*2011年理8题*() )( )( ( ) ( )() ()( ) ( ( ) ( ) ( ( ) ( )( ( ) ( ) ( ( ) ( )f g h xf gx hxf hg h xf xhxgxhxf gxhx hgxhx*首先，题干设计三个已知条件: ,T V是的两个不相交的非空子集;条件TV ;, ,a b cT,有abcT；, ,x y zV,有xyzV。 先考虑 0，由条件和可知0T或者0V.不妨假设0T， 以下以T的元素个数来讨论,T V的性质： *（1）若T只有一个元素，即 = 0T，此时由条件， =/ 0V. 显然,T V满足条件。此时，T是乘法封闭
2、的，且V也必是乘法封闭的。否则，若存在xyV、，使得xyV. 令=1z，则有=xyz xyV，与假设矛盾。 *（2）若T有两个的元素，即0= 0Tx，则00=1= 1xx或.否则，若0011xx 且, 则0=/ 0Vx，当0=- ,1,1xxyz ,有0=xyz xV，与, ,x y zV,有xyzV.矛盾！ 另证： 若0011xx 且， 取000,x x xT，由条件可知000 x x xT，又00 x ，所以300 xx，解得01x ，或01x ，矛盾）. 显然T满足条件；关于V，我们分以下两种情况讨论：若0=1x，此时，V满足条件.（否则，xyzV，即=01xyz或，由于, ,x y z
3、V，显然不可能乘积为 0；若乘积为 1，则, ,x y z至少有一个必须是 1，矛盾于=/ 01V ，！ ） *以 下 检 验V是 否 关 于 乘 法 是 封 闭 。 取1,1, ,xyx yV ，但=1xyV。于是V关于乘法是不封闭的。 即= 0 1T，=/ 0 1V，时，T是关于乘法封闭的，而V关于乘法是不封闭的。 同理，我们可以得到，0=-1x，T是关于乘法封闭的，而V关于乘法是不封闭的。 *（3）若有三个的元素，则必为= 01 1T，= / 01 1V，此时，,T V满足条件。经检验，,T V是关于乘法封闭的。 （4）若T中的元素大于 3，不妨设为0= 01 1Tx，00,1-1x ，.（四个元素中必须含有1， -1， 否则会出现类似 （2） 的情况。 ） ， 此时， 取000,x x xT， 则0 0 0 x x xT，与条件矛盾！故不存在这样的分解，使得T中的元素大于3且满足条件。 综上，满足条件的整数集的分解,T V中至少有一个关于乘法是封闭的。 *2011年文函数题*出处：2007年山东理22题*2011年文数列题*2011年理数列题*2008陕理22题*
