1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 28 讲 平面向量基本定理及坐标运算 考试要求 1.平面向量的基本定理及其意义 (A 级要求 )； 2.平面向量的正交分解及其坐标表示 (B 级要求 )； 3.用坐标表示平面向量的线性运算及平面向量共线的条件 (B 级要求 ). 诊 断 自 测 1.思考辨析 (在括号内打 “” 或 “”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底 .( ) (2)同一向量在不同基底下的表示是相同的 .( ) (3)设 a， b 是平面内的一组基底，若实数 1， 1， 2， 2满足 1a 1b 2a 2b，则 1 2， 1 2.( ) (4)若 a (x1， y1)，
2、b (x2， y2)，则 a b 的充要条件可以表示成 x1x2 y1y2.( ) 解析 (1)共线向量不可以作为基底 . (2)同一向量在不同基底下的表示不相同 . (4)若 b (0， 0)，则 x1x2 y1y2无意义 . 答案 (1) (2) (3) (4) 2.(2017 苏州期末 )已知向量 a (2， 4)， b ( 1， 1)，则 2a b _. 解析 2a b 2(2， 4) ( 1， 1) (3， 9). 答案 (3， 9) 3.(2015 江苏卷 )已知向量 a (2， 1)， b (1， 2)，若 ma nb (9， 8)(m， n R)，则m n 的值为 _. 解析
3、由题意得?2m n 9，m 2n 8， 解得 ?m 2，n 5， 故 m n 2 5 3. 答案 3 4.(2017 山东卷 )已知向量 a (2， 6)， b ( 1， )，若 a b，则 _. 解析 由 a b 可得 16 2 ，故 3. 答案 3 5.(必修 4P82 习题 6 改编 )已知 ?ABCD 的顶点 A( 1， 2)， B(3， 1)， C(5， 6)，则顶点 D的坐标为 _. 解析 设 D(x， y)，则由 AB DC ，得 (4， 1) (5 x， 6 y)，即?4 5 x，1 6 y， 解得 ?x 1，y 5. 答案 (1， 5) =【 ;精品教育资源文库 】 = 知
4、识 梳 理 1.平面向量的基本定理 如果 e1， e2是同一平面内的两个 不共线 向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 1， 2，使 a 1e1 2e2. 其中，不共线的向量 e1， e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 . 2.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个 互相垂直 的向量，叫做把向量正交分解 . 3.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及运算的模 设 a (x1， y1)， b (x2， y2)，则 a b (x1 x2， y1 y2)， a b (x1 x2， y1 y2)， a (x 1， y 1)， |a| x21 y21. (2)向
5、量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标 . 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 AB (x2 x1， y2 y1)， |AB | （ x2 x1） 2（ y2 y1） 2. 4.平面向量共线的坐标表示 设 a (x1， y1)， b (x2， y2)，则 a b?x1y2 x2y1 0. 考点一 平面向量基本定理 【例 1】 (1)(2018 南通调研 )如图，在 ABC 中， AN 13NC ， P 是 BN 上的一点，若 AP mAB 211AC ，则实数 m 的值为 _. (2)(2017 苏北四市摸底 )在 ABC 中， AB 2， AC 3，角
6、A 的平分线与 AB 边上 的中线交于点 O，若 AO xAB yAC (x， y R)，则 x y 的值为 _. 解析 (1)设 BP kBN ， k R. 因为 AP AB BP AB kBN AB k(AN AB ) AB k? ?14AC AB (1 k)AB k4AC ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 且 AP mAB 211AC ， 所以 1 k m， k4 211，解得 k 811， m 311. (2)如图，在 ABC 中， AD 为 BAC 的平分线， CE 为 AB 边的中线，且 AD CE O.在 AEO中，由正弦定理得 AEsin AOE EOsin EAO.在 A
7、CO 中，由正弦定理得 ACsin AOC COsin CAO，两式相除得 AEAC EOOC.因为 AE 12AB 1， AC 3，所以 EOOC 13.所以 CO 3OE ，即 AO AC 3(AE AO )，即 4AO 3AE AC ，所以 4AO 32AB AC ，从而 AO 38AB 14AC .因为 AO xAB yAC ，所以x 38， y 14，于是 x y 58. 答案 (1)311 (2)58 规律方法 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算 . (2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用
8、该基底将条件和结论 表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决 . 【训练 1】 (1)(2018 南京、盐城模拟 )如图，在平行四边形 ABCD 中， AC， BD 相交于点 O，E 为线段 AO 的中点 .若 BE BA BD ( ， R)，则 _. (2)如图，已知 AB a， AC b， BD 3DC ，用 a， b 表示 AD ，则 AD _. 解析 (1)由题意可得 BE 12BA 12BO 12BA 14BD ，由平面向量 基本定理可得 12， 14，=【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 34. (2)AD AB BD AB 34BC AB 34(AC AB ) 14AB 34A
9、C 14a 34b. 答案 (1)34 (2)14a 34b 考点二 平面向量的坐标运算与向量共线的坐 标表示 【例 2】 (1)(2018 苏州暑假测试 )设 x， y R，向量 a (x， 1)， b (2， y)，且 a 2b(5， 3)，则 x y _. (2)(2018 南京学情调研 )已知向量 a (1， 2)， b (m， 4)，且 a (2a b)，则实数 m 的值为 _. 解析 (1)由题意得 a 2b (x 4， 1 2y) (5， 3)，所以?x 4 5，1 2y 3， 解得 ?x 1，y 2，所以 x y 1. (2)由题意得 a (1， 2)， 2a b (2 m，
10、8)，因为 a (2a b)，所以 18 (2 m)2 0，故 m 2. 答案 (1) 1 (2)2 规律方法 (1)巧借方程思想求坐标：若已知向量两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中注意方程思想的应用 . (2)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算的代数化，将数与形结合起来，使几何问题转化为数量运算问题 . 【训练 2】 (1)已知点 A( 1， 5)和向量 a (2， 3)，若 AB 3a，则点 B 的坐标为 _. (2)已知平面向量 a (1， 2)， b ( 2， m)，且 a b，则 2a 3b _. 解析 (1)设点 B 的
11、坐标为 (x， y)，则 AB (x 1， y 5). 由 AB 3a，得?x 1 6，y 5 9， 解得 ?x 5，y 14. B(5， 14). (2)由 a (1， 2)， b ( 2， m)，且 a b， 得 1 m 2( 2) 0，即 m 4. 从而 b ( 2， 4)， 那么 2a 3b 2(1， 2) 3( 2， 4) ( 4， 8). 答案 (1)(5， 14) (2)( 4， 8) 考点三 平面向量基本定理及向量共线定理的应用 (多维探究 ) 命题角度 1 求坐标 =【 ;精品教育资源文库 】 = 【例 3 1】 若三点 A(1， 5)， B(a， 2)， C( 2， 1)共
12、线，则实数 a 的值为 _. 解析 由已知， AB (a 1， 3)， AC ( 3， 4)，根据题意 AB AC ， 4(a 1) 3( 3) 0，即 4a 5， a 54. 答案 54 命题角度 2 解析法 【例 3 2】 (2017 江苏卷 )如图，在同一个平面内，向量 OA ， OB ， OC 的模分别为 1， 1， 2，OA 与 OC 的夹角为 ，且 tan 7， OB 与 OC 的夹角为 45. 若 OC mOA nOB (m， n R)，则 m n _. 解析 如图 ，以 O 为原点， OA 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，则由 |OA | 1 得 A(1，0). 由 ta
13、n 7 得 sin 710 2， cos 210. 又 |OC | 2， C(|OC |cos ， |OC |sin )，即 C? ?15， 75 . 又 BOC 45 ， cos AOB cos( 45) cos cos 45 sin sin 45 210 22 710 2 22 35， 同理， sin AOB 45， =【 ;精品教育资源文库 】 = 又 |OB | 1， B? ? 35， 45 ，故由 OC mOA nOB 得?15 m ? ? 35 n，75 m0 45n.解得?m 54，n 74，故 m n 3. 答案 3 命题角度 3 求范围 (最值 ) 【例 3 3】 (1)(2
14、018 常州一模 )在 ABC 中， C 45 ， O 是 ABC 的外心，若 OC mOA nOB (m， n R)，则 m n 的取值范围是 _. (2)(2017 常州期末 )如图，在直角梯形 ABCD 中， AB CD， DAB 90 ， AD AB 4， CD 1，动点 P在边 BC上，且满足 AP mAB nAD (m， n均为正实数 )，则 1m 1n的最小值为 _. 解析 (1)在 ABC 中， C 45 ，所以 AOB 90( 圆心角是同弧所对的圆周角的 2 倍 ).建立如图所示的平面直角坐标系，设 A(r， 0)， B(0， r)， C(rcos ， rsin )，其中 r0，900)，所以 16m 12n 16，即 m 34n 1，那么 1m 1n ? ?1m 1n ? ?m 34n 74 3n4m mn 74 2 3n4m mn 74 3 7 4 34 .当且仅当 3n2 4m2时取等号 . 答案 (1) 2， 1) (2)7 4 34 规律方法 1.对平面向量基本定理的理解 (1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础 . (2)平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组 . (3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如 a 1e1
