1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时跟踪检测 （ 三十四 ） 空间几何体的表面积与体积 一抓基础 ， 多练小题做到眼疾手快 1 一个球的表面积是 16 ，那么这个球的体积为 _ 解析：设球的半径为 R，因为表面积是 16 ，所以 4 R2 16 ，解得 R 2.所以体积为 43 R3 323 . 答案： 323 2 (2018 徐州高三年级期中考试 )各棱长都为 2 的正四棱锥的体积为 _ 解析：由题意得，底面对角线长为 2 2，所以正四棱锥的高为 22 2 2 2，所以正四棱锥的体积 V 13Sh 132 2 2 4 23 . 答案 ： 4 23 3 (2018 苏锡常镇调研 )设棱长为
2、a 的正方体的体积和表面积分别为 V1， S1，底面半径和高均为 r 的圆锥的体积和侧面积分别为 V2， S2，若 V1V2 3 ，则 S1S2的值为 _ 解析：法一：由题意知 V1 a3， S1 6a2， V2 13 r3， S2 2 r2， 由 V1V2 3 得 a313 r3 3 ， 得 a r，从而 S1S2 3 2 . 法二：不妨设 V1 27， V2 9 ，故 V1 a3 27，即 a 3，所以 S1 6a2 54. 如图所示，又 V2 13h r2 13 r3 9 ，即 r 3，所以 l 2r，即 S2 12l2 r 2 r2 9 2 ， 所以 S1S2 549 2 3 2 .
3、答案： 3 2 =【 ;精品教育资源文库 】 = 4.(2017 南京、盐城、连云港、徐州二模 )如图，正三棱柱 ABCA1B1C1中， AB 4， AA1 6.若 E， F 分别是棱 BB1， CC1上的点，则三棱锥 AA1EF 的体积是 _ 解析：因为在正三棱柱 ABCA1B1C1中， AA1 BB1， AA1? 平面 AA1C1C， BB1?平面 AA1C1C，所以 BB1 平面 AA1C1C，从而点 E 到平面 AA1C1C 的距离就是点 B到平面 AA1C1C 的距离，作 BH AC，垂足为点 H，由于 ABC 是正三角形且边长为 4，所以 BH 2 3，从而三棱锥 AA1EF 的体
4、积 VAA1EF VEA1AF 13S A1AF BH 13 12642 38 3. 答案 ： 8 3 5 (2018 镇江期末 )一个圆锥的侧面积等于底面面积的 2倍，若圆锥底面半径为 3 cm，则圆锥的体积是 _cm3. 解析：设圆锥的母线长为 l，高为 h. 圆锥的侧面积等于 S 侧 12(2 3) l， 圆锥的底面面积为 S 底 ( 3)2 3 ， 又因为圆锥的侧面积等于底面面积的 2 倍， 故 S 侧 12(2 3) l 6 ， 解得 l 2 3， h l2 3 2 3， 圆锥的体积 V 13S 底 h 1333 3. 答案： 3 6.(2018 苏锡常镇一调 )如图，正方体 ABC
5、DA1B1C1D1 的棱长为 1， P是棱 BB1的中点，则四棱锥 PAA1C1C 的体积为 _ 解析：四棱锥 PAA1C1C 可看作：半个正方体割去三棱锥 PABC 和PA1B1C1. 所以 VPAA1C1C 12VABCDA1B1C1D1 VPABC VPA1B1C1 12 112 112 13. 答案： 13 二保高考，全练题型做到高考达标 1 (2018 扬州模拟 )圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，母线长为 3，圆台的侧面积为 84 ，则圆台较小底面的半径为 _ 解析：设圆台较小底面半径为 r， =【 ;精品教育资源文库 】 = 则另一底面半径为 3r. 由 S ( r
6、3r)3 84 ，解得 r 7. 答案： 7 2已知正三棱柱的各条棱长均为 a，圆柱的底面直径和高均为 b.若它们的体积相等，则 a3 b3的值为 _ 解析： 由题意可得 12 a2 32 a ? ?b2 2 b， 即 34 a3 14 b3，则 a3b3333 . 答案： 33 3 (2018 常州期末 )以一个圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，若所得的圆锥底面半径等于圆锥的高， 则圆锥的侧面积与圆柱的侧面积的比值为_ 解析： 如图，由题意可得圆柱的侧面积为 S1 2 rh 2 r2.圆锥的母线 l h2 r2 2r，故圆锥的侧面积为 S2 122 r l 2 r2，所以
7、S2 S1 2 2. 答案 ： 22 4 (2018 苏北四市一模 )将斜边长为 4 的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，则所形成的几何体的体积是 _ 解析：因为等腰直角三角形 的斜边长为 4，所以斜边上的高为 2，故旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥的组合体，圆锥的底面半径为 2，高为 2，因此，几何体的体积为 V 2 132 22 163 . 答案： 163 5 (2018 泰州中学高三学情调研 )在正方体 ABCDA1B1C1D1中， P 为 AA1中点， Q 为 CC1的中点， AB 2，则三棱锥 BPQD 的体积为 _ 解析： 如图，连结 PQ，则 PQ AC，取 PQ 的中点
8、 G，连结 BG， DG，可得 BG PQ， DG PQ，又 BG DG G，则 PQ 平面 BGD，在 Rt BPG 中，由 BP 5， PG 2，可得 BG 3，同理可得 DG 3，则 BDG 边 BD上的高为 3 2 2 2 1，所以 S BDG 122 21 2，则 VBPQD=【 ;精品教育资源文库 】 = 13 22 2 43. 答案： 43 6已知高与 底面半径相等的圆锥的体积为 83 ，其侧面积与高为 2 2的圆柱 OO1的侧面积相等，则圆柱 OO1的体积为 _ 解析：设圆锥的底面半径为 r，圆柱 OO1的底面半径为 R，因为高与底面半径相等的圆锥的体积为 83 ，所以 13
9、r2 r 83 ，所以 r 2.又圆锥的侧面积与高为 2 2的圆柱 OO1的侧面积相等，所以 r 2r 2 R2 2，所以 R 1，所以圆柱 OO1的体积为 R22 2 2 2. 答案： 2 2 7.(2018 启东调研 )如图， Rt ABC 的外接圆 O 的半径为 5， CE垂直于 O 所在的平面， BD CE， CE 4， BD 2， ED 2 10，若 M 为ED 的中点，则 VMACB _. 解析：如图， 过 D 作 DH CE 于 H，则 BC DH，在 Rt EDH 中，由ED 2 10， EH EC DB 2，得 BC DH 6，所以在 Rt ABC 中， AB 10， BC
10、6，所以 AC 8，即 S ABC 24，又因为 CE 垂直于 O 所在的平面， BD CE， M 为 ED 的中点，所以 M 到平面 ABC 的距离为 3，所以 VMACB 13S ABC3 24. 答案： 24 8 (2018 连云港调研 )已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为 4，底面边长为 2 2，则该球的表面积为 _ 解析： 如图，正四棱锥 PABCD 的外接球的球心 O 在它的高 PO1上，设球的半径为 R，因为底面边长为 2 2，所以 AC 4.在 Rt AOO1中， R2 (4 R)2 22，所以 R 52，所以球的表面积 S 4 R2 25. 答案： 25 9.如
11、图，在四边形 ABCD 中， DAB 90 ， ADC 135 ， AB 5， CD 2 2， AD 2，求四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积 解：由已知得： CE 2， DE 2， CB 5， S 表面 S 圆台侧 S 圆台下底 S 圆锥侧 (2 5)5 25 22 2 (60 4 2) ， V V 圆台 V 圆锥 13(2 2 5 2=【 ;精品教育资源文库 】 = 225 2 2)4 132 22 1483 . 10一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内放一个半径为 r 的铁球，并向容器内注水，使水面恰好与铁球面相切将球取出后，容器内的水深是多少？ 解
12、：如图，作轴截面，设球未取出时，水面高 PC h，球取出后，水面高 PH x.根据题设条件可得 AC 3r， PC 3r，则以 AB 为底面直径的圆锥容积为 V 圆锥 13 AC2 PC 13( 3r)23 r 3 r3. V 球 43 r3. 球取出后，水面下降到 EF，水的体积为 V 水 13 EH2 PH 13( PHtan 30) 2PH 19 x3. 又 V 水 V 圆锥 V 球 ，则 19 x3 3 r3 43 r3， 解得 x 3 15r.故球取出后，容器内水深为 3 15r. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1已知底面边长 为 1，侧棱长为 2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上
13、，则该球的体积为 _ 解析：依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径，可设球半径为 R，则 2R12 12 2 2 2，解得 R 1，所以 V 43 R3 43 . 答案： 43 2三棱锥 PABC 中， PA 平面 ABC 且 PA 2， ABC 是边长为 3的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为 _ 解析：由题意得， 此三棱锥外接球即为以 ABC 为底面、以 PA 为高的正三棱柱的外接球，因为 ABC 的外接圆半径 r 32 3 23 1，外接球球心到 ABC 的外接圆圆心的距离d 1，所以外接球的半径 R r2 d2 2，所以三棱锥外接球的表面积 S 4 R2 8. 答案： 8 =
14、【 ;精品教育资源文库 】 = 3.如图是一个以 A1B1C1 为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为 ABC，已知 A1B1 B1C1 2， A1B1C1 90 ， AA1 4， BB1 3，CC1 2，求： (1)该几何体的体积 (2)截面 ABC 的面积 解： (1)过 C 作平行于 A1B1C1的截面 A2B2C，交 AA1， BB1分别于点 A2， B2. 由直三棱柱性质及 A1B1C1 90 可知 B2C 平面 ABB2A2， 则该几何体的体积 V VA1B1C1A2B2C VCABB2A2 12222 13 12(1 2)22 6. (2)在 ABC 中， AB 22 2 5， BC 22 2 5， AC 2 2 2 2 3. 则 S ABC 122 3 5 2 3 2 6.
