1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 10 讲 导数的概念与运算 1 函数 f(x) (x 2a)(x a)2的导数为 _ 解析 f( x) (x a)2 (x 2a)2(x a) 3(x2 a2) 答案 3(x2 a2) 2 (2018 南通市高三第一次调研测试 )已知两曲线 f(x) 2sin x， g(x) acos x， x ? ?0， 2 相交于点 P.若两曲线在点 P 处的切线互相垂直 ， 则实数 a 的值为 _ 解析：设点 P 的横坐标 为 x0， 则 2sin x0 acos x0， (2cos x0)( asin x0) 1， 所以 4sin2x0 1.因为 x0 ? ?0，
2、 2 ， 所以 sin x0 12， cos x0 32 ， 所 以 a 2 33 . 答案： 2 33 3 已知 f(x) x(2 015 ln x)， f( x0) 2 016， 则 x0 _ 解析 由题意可知 f( x) 2 015 ln x x 1x 2 016 ln x 由 f( x0) 2 016，得 ln x0 0， 解得 x0 1. 答案 1 4.已知函数 y f(x)及其导函数 y f( x)的图象如图所示 ， 则曲线 y f(x)在点 P 处的切线方程是 _ 解析：根据导数的几何意义及图象可知 ， 曲线 y f(x)在点 P 处的切线的斜率 k f(2) 1， 又过点 P(
3、2， 0)， 所以切线方程为 x y 2 0. 答案： x y 2 0 5 已知 f(x) x2 2xf(1) ， 则 f(0) _ 解析：因为 f( x) 2x 2f(1) ， 所以 f(1) 2 2f(1) ， 即 f(1) 2. 所以 f( x) 2x 4.所以 f(0) 4. 答案： 4 6 若以曲线 y 13x3 bx2 4x c(c 为常数 )上任意一点为切点的切线的斜率恒为非负数 ， 则实数 b 的取值范围为 _ 解析： y x2 2bx 4， 因为 y0 恒成立 ， 所以 4b2 160 ， 所以 2 b2. =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案： 2， 2 7 设函数 f(
4、x)的导数为 f( x)， 且 f(x) f ? ? 2 sin x cos x， 则 f ? ? 4 _ 解析：因为 f(x) f ? ? 2 sin x cos x， 所以 f( x) f ? ? 2 cos x sin x， 所以 f ? ? 2 f ? ? 2 cos 2 sin 2 ， 即 f ? ? 2 1， 所以 f( x) sin x cos x， 故 f ? ? 4 cos 4 sin 4 2. 答案： 2 8 若直线 l 与幂函数 y xn的图象相切于点 A(2， 8)， 则直线 l 的方程为 _ 解析：由题意知 ， A(2， 8)在 y xn上 ， 所以 2n 8， 所以
5、 n 3， 所以 y 3x2， 直线 l的斜率 k 32 2 12， 又直线 l 过点 (2， 8)所以 y 8 12(x 2)， 即直线 l 的方程为 12x y 16 0. 答案： 12x y 16 0 9 (2018 江苏省四星级学校联考 )已知函数 f(x) ex aex(a R， e 为自然对数的底数 )的导函数 f( x)是奇函数 ， 若曲线 y f(x)在 (x0， f(x0)处的切线与直线 2x y 1 0 垂直 ， 则 x0 _ 解析：由题意知 f( x) ex a e x， 因为 f( x)为奇函数 ，所以 f(0) 1 a 0，所以 a 1， 故 f( x) ex e x
6、.因为曲线 y f(x)在 (x0， f(x0)处的切线与直线 2x y 1 0 垂直 ， 所以 f( x0) e x0 e x0 22 ， 解得 ex0 2， 所以 x0 ln 2 ln 22 . 答案： ln 22 10 求下列函数的导数 (1)y (2x2 3)(3x 2)； (2)y (1 x)? ?1 1x ； (3)y 3xex 2x e. 解： (1)因为 y 6x3 4x2 9x 6， 所以 y 18x2 8x 9. (2)因为 y (1 x)? ?1 1x 1x x x12 x12， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 y (x12) (x12) 12x32 12x12.
7、 (3)y (3xex) (2x) e (3x) ex 3x(ex) (2x) 3x(ln 3) ex 3xex2xln 2 (ln 3 1)(3 e)x 2xln 2. 11 已知函数 f(x) x3 3x 及 y f(x)上一点 P(1， 2)， 过点 P 作直线 l. (1)求使直线 l 和 y f(x)相切且以 P 为切点的直线方程； (2)求使直线 l 和 y f(x)相切且切点异 于 P 的直线方程 解： (1)由 f(x) x3 3x， 得 f( x) 3x2 3， 过点 P 且以 P(1， 2)为切点的直线的斜率 f(1) 0， 所以所求的直线方程为 y 2. (2)设过 P(
8、1， 2)的直线 l 与 y f(x)切于另一点 (x0， y0)， 则 f (x0) 3x20 3. 又直线过 (x0， y0)， P(1， 2)， 故其斜率可表示为 y0（ 2）x0 1 x30 3x0 2x0 1 ， 又 x30 3x0 2x0 1 3x20 3， 即 x30 3x0 2 3(x20 1)(x0 1)， 解得 x0 1(舍去 )或 x0 12， 故所求直线的斜率为 k 3 ? ?14 1 94， 所以 y ( 2) 94(x 1)，即 9x 4y 1 0. 1 已知函数 f(x) x(x 1)(x 2)(x 3)(x 4)(x 5)， 则 f(0) _ 解析： f( x)
9、 (x 1)(x 2)(x 3)(x 4)(x 5) x(x 1)(x 2)(x 3)(x 4)(x 5) ， 所以 f(0) ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5) 120. 答案： 120 2 已知 f(x) ln x， g(x) 12x2 mx 72(m 0)， 直线 l 与函数 f(x)， g(x)的图象都相切 ， 且与 f(x)图象的切点为 (1， f(1)， 则 m 的值为 _ 解析：因为 f( x) 1x， 所以直线 l 的斜率为 k f(1) 1， =【 ;精品教育资源文库 】 = 又 f(1) 0， 所以切线 l 的方程为 y x 1. g (x) x m， 设直线 l 与
10、 g(x)的图象的切点为 (x0， y0)， 则有 x0 m 1， y0 x0 1， y0 12x20 mx0 72， m 0， 于是解得 m 2. 答案： 2 3 设 P 是函数 y x(x 1)图象上异于原点的动点 ， 且该图象在点 P 处的切线的倾斜角为 ， 则 的取值范围是 _ 解析：因为 y 12x12 (x 1) x 3 x2 12 x 2 34 3， 设点 P(x， y)(x0)， 则在点 P 处的切线的斜率 k 3， 所以 tan 3， 又 0 ， )， 故 ? ? 3 ， 2 . 答案： ? ? 3 ， 2 4 记定义在 R 上的函数 y f(x)的导函数为 f( x)如果存
11、在 x0 a， b， 使得 f(b) f(a) f( x0)(b a)成立 ， 则称 x0为函数 f(x)在区间 a， b上的 “ 中值点 ” ， 那么函数f(x) x3 3x 在区间 2， 2上 “ 中值点 ” 的个数为 _ 解析： f(2) 2， f( 2) 2， f（ 2） f（ 2）2（ 2） 1， 由 f( x) 3x2 3 1， 得 x 2 33 2， 2， 故有 2 个 答案： 2 5 (2018 临沂模拟 )已知函数 f(x) 13x3 2x2 3x(x R)的图象为 曲线 C. (1)求过曲线 C 上任意一点切线斜率的取值范围； (2)若在曲线 C 上存在两条相互垂直的切线
12、， 求其中一条切线与曲线 C 的切点的横坐标的取值范围 解： (1)由题意得 f( x) x2 4x 3， 则 f( x) (x 2)2 1 1， 即过曲线 C 上任意一点切线斜率的取值范围是 1， ) (2)设曲线 C 的其中一条切线的斜率为 k， 则由 (2)中条件并结合 (1)中结论可知 ，?k 1， 1k 1， =【 ;精品教育资源文库 】 = 解得 1 k 0 或 k1 ， 故由 1 x2 4x 3 0 或 x2 4x 31 ， 得 x( ， 2 2(1 ， 3)2 2， ) 6 已知函数 f(x) ax3 3x2 6ax 11， g(x) 3x2 6x 12 和直线 m： y kx
13、 9， 且f( 1) 0. (1)求 a 的值； (2)是否存在 k 的值 ， 使直线 m 既是曲线 y f(x)的切线 ， 又是曲线 y g(x)的切线？如果存在 ， 求出 k 的值；如 果不存在，请说明理由 解： (1)f( x) 3ax2 6x 6a， f ( 1) 0， 即 3a 6 6a 0， 所以 a 2. (2)存在因为直线 m 恒过定点 (0， 9)， 直线 m 是曲 线 y g(x)的切线 ， 设切点为 (x0，3x20 6x0 12)， 因为 g( x0) 6x0 6， 所以切线方程为 y (3x20 6x0 12) (6x0 6)(x x0)， 将点 (0， 9)代入 ，
14、 得 x0 1 ， 当 x0 1 时 ， 切线方程为 y 9； 当 x0 1 时 ， 切线方程为 y 12x 9. 由 f( x) 0， 得 6x2 6x 12 0， 即有 x 1 或 x 2， 当 x 1 时 ， y f(x)的切线方程为 y 18； 当 x 2 时 ， y f(x)的切线方程为 y 9. 所以公 切线是 y 9. 又令 f( x) 12， 得 6x2 6x 12 12， 所以 x 0 或 x 1. 当 x 0 时 ， y f(x)的切线方程为 y 12x 11； 当 x 1 时 ， y f(x)的切线方程为 y 12x 10， 所以公切线不是 y 12x 9. 综上所述 ， 公切线是 y 9， 此时 k 0.
