1、15.1 椭 圆 命题探究 (1)设椭圆的半焦距为 c. 因为椭圆 E的离心率为 ,两准线之间的距离为 8,所以 = , =8,解得 a=2,c=1,于是 b= = , 因此椭圆 E的标准方程是 + =1. (2)由 (1)知 ,F1(-1,0),F2(1,0). 设 P(x0,y0),因为 P为第一象限的点 ,故 x00,y00. 当 x0=1 时 ,l2与 l1相交于 F1,与题设不符 . 当 x01 时 ,直线 PF1的斜率为 ,直线 PF2的斜率为. 因为 l1PF 1,l2PF 2,所以直线 l1的斜率为 - ,直线l2的斜 率为 - , 从而直线 l1的方程 :y=- (x+1),
2、 直线 l2的方程 :y=- (x-1). 由 , 解得 x=-x0,y= , 所以 Q . 因为点 Q在椭圆上 ,由对称性 ,得 =y 0,即 - =1或 + =1. 又 P在椭圆 E上 ,故 + =1. 由 解得 x0= ,y0= ; 无解 . 因此点 P的坐标为 .考纲解读 考点 内容解读 要求 五年高考统计 常考题型 预测热度 2013 2014 2015 2016 2017 1.椭圆的定义和标准方程 椭圆的标准方程 B 18题 16分 填空题 解答题 2.椭圆的性质 椭圆的性质及应用 B 12 题 5 分 17题 14分 10题 5分 填空题 解答题 分析解读 椭圆的标准方程和几何性
3、质是江苏高考的必考内容 ,重点考查椭圆方程的求解 ,椭圆离心率的求法 ,在解答题中对运算化简能力的要求比较高 . 五年高考 考点一 椭圆的定义和标准方程 1.(2014大纲全国改编 ,6,5 分 )已知椭圆 C: + =1(ab0)的左、右焦点为 F1、 F2,离心率为 ,过 F2的直线 l交C于 A、 B两点 .若 AF 1B的周长为 4 ,则 C的方程为 . 答案 + =1 2.(2014福建改编 ,9,5分 )设 P,Q分别为圆 x2+(y-6)2=2 和椭圆 +y2=1上的点 ,则 P,Q 两点间的最大距离是 . 答案 6 3.(2013课标全国 理改编 ,10,5分 )已知椭圆 E:
4、 + =1(ab0)的右焦点为 F(3,0),过点 F的直线交 E于 A,B两点 .若 AB的中点坐标为 (1,-1),则 E的方程为 . 答案 + =1 4.(2017课标全国 ,20,12 分 )已知椭圆 C: + =1(ab0),四点 P1(1,1),P2(0,1),P3 ,P4 中 恰有三点在椭圆 C上 . (1)求 C的方程 ; (2)设直线 l不经过 P2点且与 C相交于 A,B两点 .若直线 P2A与直线 P2B的斜率的和为 -1,证明 :l过定点 . 解析 (1)由于 P3,P4两点关于 y轴对称 ,故由题设知 C经过 P3,P4两点 . 又由 + + 知 ,C不经过点 P1,
5、所以点 P2在 C上 . 因此 解得 故 C的方程为 +y2=1. (2)证明 :设直线 P2A与直线 P2B的斜率分别为 k1,k2. 如果 l与 x轴垂直 ,设 l:x=t,由题设知 t0, 且 |t|0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=- ,x1x2= . 而 k1+k2= + = + = , 由题设 k1+k2=-1,故 (2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0. 即 (2k+1) +(m-1) =0. 解得 k=- . 当且仅当 m-1时 ,0, 于是 l:y=- x+m, 即 y+1=- (x-2), 所以 l过定点 (2,-1). 5.(201
6、7天津文 ,20,14分 )已知椭圆 + =1(ab0)的左焦点为 F(-c,0),右顶点为 A,点 E的坐标为(0,c),EFA 的面积为 . (1)求椭圆的离心率 ; (2)设点 Q在线段 AE上 ,|FQ|= c,延长线段 FQ与椭圆交于点 P,点 M,N在 x轴上 ,PMQN, 且直线 PM与直线 QN间的距离为 c,四边形 PQNM 的面积为 3c. (i)求直线 FP的斜率 ; (ii)求椭圆的方程 . 解析 (1)设椭圆的离心率为 e.由已知 ,可得 (c+a)c= . 又由 b2=a2-c2,可得 2c2+ac-a2=0,即 2e2+e-1=0. 又因为 00),则直线 FP
7、的斜率为 . 由 (1)知 a=2c,可得直线 AE 的方程为 + =1,即 x+2y-2c=0,与直线 FP的方程联立 ,可解得 x= ,y= ,即点 Q的坐标为 .由已知 |FQ|= c,有 + = ,整理得 3m2-4m=0,所以 m= ,即直线 FP 的斜率为 . (ii)由 a=2c,可得 b= c,故椭圆方程可以表示为 + =1. 由 (i)得 直线 FP的方程为 3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立得 消去 y, 整理得 7x2+6cx-13c2=0, 解得 x=- (舍去 ),或 x=c.因此可得点 P ,进而可得 |FP|= = ,所以 |PQ|=|FP|-|FQ|= - =
8、c. 由已知 ,线段 PQ的长即为 PM与 QN 这两条平行直线间的距离 ,故直线 PM和 QN都垂直于直线 FP. 因为 QNFP, 所以 |QN|=|FQ|tanQFN= = ,所以 FQN 的面积为 |FQ|QN|= ,同理 FPM 的面积等于,由四边形 PQNM的面积为 3c,得 - =3c,整理得 c2=2c,又由 c0,得 c=2. 所以 ,椭圆的方程为 + =1. 6.(2016山东 ,21,14分 )已知椭圆 C: + =1(ab0)的长轴长为 4,焦距为 2 . (1)求椭圆 C的方程 ; (2)过动点 M(0,m)(m0)的直线交 x轴于点 N,交 C于点 A,P(P在第一
9、象限 ),且 M是线段 PN 的中点 .过点 P作 x轴的垂线交 C于另一点 Q,延长 QM 交 C于点 B. (i)设直线 PM,QM的斜率分别为 k,k,证明 为定值 ; (ii)求直线 AB的斜率的最小值 . 解析 (1)设椭圆的半焦距为 c. 由题意知 2a=4,2c=2 , 所以 a=2,b= = . 所以椭圆 C的方程为 + =1. (2)(i)证明 :设 P(x0,y0)(x00,y00). 由 M(0,m),可得 P(x0,2m),Q(x0,-2m). 所以直线 PM 的斜率 k= = , 直线 QM 的斜率 k= =- . 此时 =-3.所以 为定值 -3. (ii)设 A(
10、x1,y1),B(x2,y2). 直线 PA 的方程为 y=kx+m, 直线 QB 的方程为 y=-3kx+m. 联立 整理得 (2k2+1)x2+4mkx+2m2-4=0. 由 x0x1= , 可得 x1= . 所以 y1=kx1+m= +m. 同理 x2= ,y2= +m. 所以 x2-x1= - = , y2-y1= +m- -m= , 所以 kAB= = = . 由 m0,x00,可知 k0, 所以 6k+ 2 ,等号当且仅当 k= 时取得 . 此时 = ,即 m= ,符合题意 . 所以直线 AB 的斜率的最小值为 . 7.(2016北京 ,19,14分 )已知椭圆 C: + =1过
11、A(2,0),B(0,1)两点 . (1)求椭圆 C的方程及离心率 ; (2)设 P为第三象限内一点且在椭圆 C上 ,直线 PA与 y轴交于点 M,直线 PB 与 x轴交于点 N.求证 :四边 形 ABNM的面积为定值 . 解析 (1)由题意得 ,a=2,b=1. 所以椭圆 C的方程为 +y2=1.(3分 ) 又 c= = , 所以离心率 e= = .(5分 ) (2)设 P(x0,y0)(x0b0)的离心率为 ,且右焦点 F到左准线 l的距离为 3. (1)求椭圆的标准方程 ; (2)过 F的直线与椭圆交于 A,B两点 ,线段 AB的垂直平分线分别交直线 l和 AB于点 P,C,若 PC=2
12、AB,求直线 AB的方程 . 解析 (1)由题意 ,得 = 且 c+ =3, 解得 a= ,c=1,则 b=1, 所以椭圆的标准方程为 +y2=1. (2)当 ABx 轴时 ,AB= ,又 CP=3,不合题意 . 当 AB与 x轴不垂直时 ,设直线 AB 的方程为 y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2), 将直线 AB的方程代入椭圆方程 ,得 (1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,则 x1,2= ,C的坐标为 ,且AB= = = . 若 k=0,则线段 AB 的垂直平分线为 y轴 ,与左准线平行 ,不合题意 . 从而 k0, 故直线 PC 的方程为 y+ =- , 则
13、 P点的坐标为 , 从而 PC= . 因为 PC=2AB,所以 = , 解得 k=1. 此时直线 AB 的方程为 y=x-1或 y=-x+1. 9.(2015安徽 ,20,13分 )设椭圆 E的方程为 + =1(ab0),点 O为坐标原点 ,点 A的坐标为 (a,0),点 B的坐标为(0,b),点 M在线段 AB 上 ,满足 |BM|=2|MA|,直线 OM的斜率为 . (1)求 E的离心率 e; (2)设点 C的坐标为 (0,-b),N 为线段 AC 的中点 ,点 N关于直线 AB 的对称点的纵坐标为 ,求 E的方程 . 解析 (1)由题设条件知 ,点 M的坐标为 , 因为 kOM= ,所以
14、 = . 所以 a= b,c= =2b.故 e= = . (2)由题设条件和 (1)的计算结果可得 ,直线 AB的方程 为 + =1,点 N的坐标为 . 设点 N关于直线 AB的对称点 S的坐标为 ,则线段 NS的中点 T的坐标为 .因为点 T在直线AB上 ,且 kNSk AB=-1,所以有 解得 b=3. 所以 a=3 ,故椭圆 E的方程为 + =1. 10.(2014课标 ,20,12 分 )已知点 A(0,-2),椭圆 E: + =1(ab0)的离心率为 ,F是椭圆 E的右焦点 ,直线 AF的斜率为 ,O 为坐标原点 . (1)求 E的方程 ; (2)设过点 A的动直线 l与 E相交于
15、P,Q两点 .当 OPQ 的面积最大时 ,求 l的方程 . 解析 (1)设 F(c,0),由条件知 , = ,得 c= . 又 = ,所以 a=2,b2=a2-c2=1. 故 E的方程为 +y2=1. (2)当 lx 轴时不合题意 ,故设 l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2). 将 y=kx-2代入 +y2=1得 (1+4k2)x2-16kx+12=0. 当 =16(4k 2-3)0,即 k2 时 ,x1,2= . 从而 |PQ|= |x1-x2|= . 又点 O到直线 PQ 的距离 d= , 所以 OPQ 的面积 SOPQ = d|PQ|= . 设 =t,则 t0,SOPQ
16、= = . 因为 t+ 4, 当且 仅当 t=2,即 k= 时等号成立 ,且满足 0, 所以 ,当 OPQ 的面积最大时 ,l的方程为 y= x-2或 y=- x-2. 教师用书专用 (11 17) 11.(2016天津 ,19,14分 )设椭圆 + =1(a )的右焦点为 F,右顶点为 A.已知 + = ,其中 O为原点 ,e 为椭圆的离心率 . (1)求椭圆的方程 ; (2)设过点 A的直线 l与椭圆交于点 B(B不在 x轴上 ),垂直于 l的直线与 l交于点 M,与 y轴交于点 H.若BFHF, 且 MOA=MAO, 求直线 l的斜率 . 解析 (1)设 F(c,0),由 + = ,即 + = ,可得 a2-c2=3c2, 又 a2-c2=b2=3,所以 c2=1,因此 a2=4. 所以 ,椭圆的方程为 + =1. (2)设直线 l的斜率为 k(k0), 则直线 l的方程为 y=k(x-2). 设 B(xB,yB),由方程组 消去 y, 整理得 (4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0. 解得 x=2,或 x= ,由题意得 xB= ,从而 yB= . 由 (1)知 ,F(1,0),设 H(0,yH),有 =(-1,yH), = .
