1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 3 讲 平面向量的数量积及应用举例 1 (2018 无锡 质检 )已知向量 a (2， 1)， b (5， 3)， 则 a b 的值为 _ 解析 因为 a b (2， 1)(5 ， 3) 10 3 7. 答案 7 2 等边三角形 ABC的边长为 1， BC a， CA b， AB c， 那么 a b b c c a _ 解析 由题意知 |a| |b| |c| 1， 且 a 与 b 的夹角为 120 ， b 与 c 的夹角为 120 ，c 与 a 的夹角也为 120. 故 a b b c c a 32. 答案 32 3 已知 |a| 3， |b| 4， 且
2、a 与 b 不共线 ， 若向量 a kb 与 a kb 垂直 ， 则 k _ 解析 因为 (a kb)( a kb)， 所以 (a kb)( a kb) 0， 即 |a|2 k2|b|2 0. 又因为 |a| 3， |b| 4， 所以 k2 916， 即 k 34. 答案 34 4 如图 ， 菱形 ABCD 的边长为 2， BAD 60， M 为 DC 的中点 ， 若 N 为菱形内任意一点 (含边界 )， 则 AM AN 的最大值为 _ 解析 由平面向量的数量积的几何意义知 ， AM AN 等于 AM 与 AN 在 AM 方向上的投影之积 ，所以 (AM AN )max AM AC ? ?12
3、AB AD (AB AD ) 12AB 2 AD 2 32AB AD 9. 答案 9 5 已知平面向量 a (1， 2)， b (4， 2)， c ma b(m R)， 且 c 与 a 的夹角等于 c 与b 的夹角 ， 则 m _. 解析 由题意得： c a|c|a| c b|c|b|?c a|a| c b|b|?5m 85 8m 202 5 ?m 2. =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 2 6 (2018 南通市高三第一次调研测试 )在 ABC 中 ， 若 BC BA 2AC AB CA CB ， 则sin Asin C的值为 _ 解析：由 BC BA 2AC AB CA CB ， 得
4、 2bc b2 c2 a22bc aca2 c2 b22ac aba2 b2 c22ab ， 化简可得 a 2c.由正弦定理得 sin Asin C ac 2. 答案： 2 7 (2018 南京高三模拟 )在凸四边形 ABCD 中 ， BD 2， 且 AC BD 0， (AB DC )( BC AD ) 5， 则四 边形 ABCD 的面积为 _ 解析： (AB DC )( BC AD ) (CB CA DC )( DC DB AD ) (DB AC )( AC DB )AC2 DB2 5， 即 AC2 BD2 5.因为 BD 2， 所以 AC 3， 所以四边形 ABCD 的面积为 12AC B
5、D 12 2 3 3. 答案： 3 8 (2018 台州 月考 )平面向量 a， b 满足 |a| 2， |a b| 4， 且向量 a 与向量 a b的夹角为 3 ， 则 |b|为 _ 解析 因为向量 a与向量 a b的夹角为 3 ， 所以 cos 3 （ a b） a|a b| a| a2 a b|a b| a| 4 a b42 ， 解得 a b 0， 即 a b.所以 |a|2 |b|2 |a b|2 ， 从而解得 ， |b| 2 3. 答案 2 3 9 在 ABC 中 ， AB 10， AC 6， O 为 BC 的垂直平分线上一点 ， 则 AO BC _ 解析 取 BC 边的中点 D，
6、连结 AD， 则 AO BC (AD DO ) BC AD BC DO BC AD BC 12(AB AC ) (AC AB ) 12(AC 2 AB 2) 12(62 102) 32. 答案 32 10 已知正方形 ABCD 的边长为 1， 点 E 是 AB 边上的动点 ， 则 DE CB 的值为 _；DE DC 的最大值为 _ 解析 法一： 以点 A 为原点 ， AB， AD 所在直线为 x 轴 ， y 轴建立=【 ;精品教育资源文库 】 = 平面直角坐标系 ， 则 A(0， 0)， B(1， 0)， C(1， 1)， D(0， 1)， 又 E 在 AB 边上 ， 故设 E(t，0)， t
7、 0， 1， 则 DE (t， 1)， CB (0， 1)， 所以 DE CB (t， 1)(0 ， 1) 1. 因为 DC (1， 0)， 所以 DE DC (t， 1)(1 ， 0) t， 又 t0 ， 1， 故 DE DC 的最大值为 1. 法二： 由图知 ， 无论 E 点在哪个位置 ， DE 在 CB 方向上的投影都是 CB 1， 所以 DE CB |CB | 1 1， 当 E 运动到 B 点时 ， DE 在 DC 方向上的投影最大即为 DC 1， 所以 (DE DC )max |DC | 1 1. 答案 1 1 11.如图 ， 在 OAB 中 ， 已知 P 为线段 AB 上的一点 ，
8、 OP xOA yOB . (1)如果 BP 2PA ， 求 x， y 的值； (2)如果 BP 3PA ， |OA | 4， |OB | 2， 且 OA 与 OB 的夹角为 60 时 ，求 OP AB 的值 解 (1)由 BP 2PA ， 所以 OP OB 2( OP OA )， 即 3OP 2OA OB ， 所以 x 23， y 13. (2)OP OB BP OB 34BA OB 34(OA OB ) 34OA 14OB ， AB OB OA ， 所以 OP AB ? ?34OA 14OB (OB OA ) 34OA 2 14OB 2 12OA OB 9. 12 已知 ABC 的角 A、
9、 B、 C 所对的边分别是 a、 b、 c， 设向量 m (a， b)， n (sin B，sin A)， p (b 2， a 2) (1)若 m n， 求证： ABC 为等腰三角形； (2)若 m p， 边长 c 2， 角 C 3 ， 求 ABC 的面积 解 (1)证明：因为 m n， 所以 asin A bsin B， 即 a a2R b b2R， 其中 R 是三角形 ABC 外接圆的半径 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 a b. 所以 ABC 为等腰三角形 (2)由题意可知 m p 0， 即 a(b 2) b(a 2) 0. 所以 a b ab. 由余弦定理可知 ， 4 a2
10、 b2 ab (a b)2 3ab， 即 (ab)2 3ab 4 0， 所以 ab 4(舍去 ab 1)， 所以 S 12absin C 12 4 sin 3 3. 1 已知 a ( ， 2 )， b (3 ， 2)， 如果 a 与 b 的夹角为锐角 ， 则 的取值范围是_ 解析： a 与 b 的夹角为锐角 ， 则 a b 0 且 a 与 b 不共线 ， 则?3 2 4 0，2 6 2 0， 解得 43或 0 13或 13， 所以 的取值范围是 ? ， 43 ?0， 13 ?13， . 答案： ? ? ， 43 ? ?0， 13 ? ?13， 2 (2018 江西省师大附中联考 )在直角三角形
11、 ABC 中 ， ACB 90， AC BC 2， 点P 是斜边 AB 上的一个三等分点 ， 则 CP CB CP CA _. 解析：建立如图所示 的直角坐标系 ， 则 A(2， 0)， B(0， 2)， P1? ?23， 43 ， P2? ?43， 23 ， 所以 CP1 ? ?23， 43 ， CP2 ? ?43， 23 ， CB (0， 2)， CA (2， 0)， 所以 CB CA (2， 2) 故 CP1 CB CP1 CA CP1 (CB CA ) ? ?23， 43 (2， 2) 43 83 4， CP2 CB CP2 CA CP2 (CB CA ) ? ?43， 23 (2，
12、2) 83 43 4. =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案： 4 3.如图 ， 在平行四边形 ABCD 中 ， 已知 AB 8， AD 5， CP 3PD ， AP BP 2， 则 AB AD 的值是 _ 解析：因为 AP AD DP AD 14AB ， BP BC CP AD 34AB ， 所以 AP BP ? ?AD 14AB ? ?AD 34AB |AD |2 316|AB |2 12AD AB 2， 将 AB 8， AD 5 代入 ， 解得 AD AB 22. 答案： 22 4 (2018 苏锡常镇四市高三调研 )在 ABC 中 ， 已知 AB 1， AC 2， A 60， 若点P
13、 满足 AP AB AC ， 且 BP CP 1， 则实数 的值为 _ 解析：由题意可得 AB AC 12 12 1， AB AP AB 2 AB AC 1 ， AP AC 1 4 ， AP2 AB2 2 AB AC 2AC2 4 2 2 1， 又 BP CP 1， 则 (AP AB )( AP AC ) AP2 AP AC AP AB AB AC 1， 代入化简得 4 2 3 1 0， 解得 14或 1. 答案： 14或 1 5 在平面直角坐标系中 ， O 为坐标原点 ， 已知向量 a ( 1， 2)， 又点 A(8， 0)， B(n，t)， C(ksin ， t)? ?0 2 . (1)若 AB a， 且 |AB | 5|OA |， 求向量 OB ； (2)若向量 AC 与向量 a 共线 ， 当 k4， 且 tsin 取最大值 4 时 ， 求 OA OC . 解： (1)由题设知 AB (n 8， t)， 因为 AB a， 所以 8 n 2t 0.又因为 5|OA | |AB|， 所以 564 (n 8)2 t2 5t2， 得 t 8. 当 t 8 时 ， n 24； t 8 时 ， n 8， 所以 OB (24， 8)， 或 OB ( 8， 8) (2)由题设知 AC (ksin 8， t)，
