1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时跟踪检测 （ 八 ） 二次函数与幂函数 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1 (2018 清河中学检测 )已知幂函数 f(x) k x 的图象过点 ? ?12， 22 ，则 k _. 解析：由幂函数的定义知 k 1.又 f ? ?12 22 ，所以 ? ?12 22 ，解得 12，从而 k 32. 答案： 32 2. (2018 扬州中学测试 )已知二次函数 y 3x2 2(m 1)x n 在区间 ( ， 1)上是减函数，在区间 1， ) 上是增函数，则实数 m _. 解析：二次函数 y 3x2 2(m 1)x n 的图象的开口向上，对称轴为直线 x m 1
2、3 ，要使得函数在区间 ( ， 1)上是减函数，在区间 1， ) 上是增函数，则 x m 13 1，解得 m 2. 答案： 2 3 (2018 淮阴模拟 )已知函数 f(x) x2 m是定义在区间 3 m， m2 m上的奇函数，则 f(m)， f(0)的大小关系为 _ 解析：因为函数 f(x)是奇函数，所以 3 m m2 m 0，解得 m 3 或 1.当 m 3 时，函数 f(x) x 1，定义域不是 6,6，不合题意；当 m 1 时，函数 f(x) x3在定义域 2,2上单调递增，又 m 0，所以 f(m) f(0) 答案： f(m) f(0) 4若函数 f(x) (x a)(bx 2a)(
3、常数 a， b R)是偶函数，且它的值域为 ( ， 2，则该函数的解析式 f(x) _. 解析：由题意知： a0 ， f(x) (x a)(bx 2a) bx2 (2a ab)x 2a2 是偶函数，则其图象关于 y 轴对称，所以 2a ab 0， b 2.所以 f(x) 2x2 2a2，因为它的值域为 ( ， 2，所以 2a2 2.所以 f(x) 2x2 2. 答案： 2x2 2 5若二次函数 f(x) x2 4x t 图象的顶点在 x 轴上，则 t _. 解析：由于 f(x) x2 4x t (x 2)2 t 4 图象的顶点在 x 轴上， 所以 f(2) t 4 0， 所以 t 4. =【
4、;精品教育资源文库 】 = 答案： 4 6 (2018 杭州测试 )若函数 f(x) x2 2x 1 在区间 a， a 2上的最小值为 4，则实数 a 的取值集合为 _ 解析：因为函数 f(x) x2 2x 1 (x 1)2 的图象的对称轴为直线 x 1， f(x)在区间a， a 2上的最小值为 4，所以当 a1 时， f(x)min f(a) (a 1)2 4， a 1(舍去 )或 a 3； 当 a 21 ，即 a 1 时， f(x)min f(a 2) (a 1)2 4， a 1(舍去 )或 a 3； 当 af(2x)的解集为 _ 解析：根据题意， f(x)是定义在 R 上的奇函数，则有
5、f(0) 0，当 x0 时， f(x)也为减函数，综上可得 f(x)在 R 上为减函数，若 f(x2 3)f(2x)，则有 x2 3f(2x)的解集为 (1,3) 答案： ( 1,3) 5 (2018 泰州二中测试 )若函数 f(x) x 2 2 3(常数 Z)为偶函数，且在 (0，=【 ;精品教育资源文库 】 = ) 上是单调递减函数，则 的值为 _ 解析：根据幂函数的性质，要使函数 f(x)为偶函数，且在 (0， ) 上是单调递减函数，则 2 2 3 为偶数，且 2 2 3 0，解不等式可得 1 3.因为 Z，所以 0,1,2.当 0 时， 2 2 3 3，不满足条件；当 1 时， 2 2
6、 3 4，满足条件；当 2 时， 2 2 3 3，不满足条件，所以 1. 答案： 1 6若函数 y x2 3x 4 的定义域为 0， m，值域为 ? ? 254 ， 4 ，则 m 的取值范围是_ 解析：二次函数图象的对称轴为 x 32，且 f? ?32 254 ， f(3) f(0) 4，由图得 m ? ?32， 3 . 答案： ? ?32， 3 7对于任意实数 x，函数 f(x) (5 a)x2 6x a 5 恒为正值，则 a 的取值范围是_ 解析：由题意可得? 5 a 0， 36 a a 0， 解得 4 a 4. 答案： ( 4,4) 8 (2018 南通一调 )若函数 f(x) ax2
7、20x 14(a0)对任意实数 t，在闭区间 t 1，t 1上总存在两实数 x1， x2，使得 |f(x1) f(x2)|8 成立，则实数 a 的最小值为 _ 解析：由题意可得，当 x t 1， t 1时， f(x)max f(x)minmin8 ，当 t 1， t 1关于对称轴对称时， f(x)max f(x)min取得最小值，即 f(t 1) f(t) 2at a 208 ， f(t 1) f(t) 2at a 208 ，两式相加，得 a8 ，所以实数 a 的最小值为 8. 答案： 8 9已知幂函数 f(x) x(m2 m) 1(m N*) (1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义
8、域上的单调性 (2)若该函数 f(x)的图象经过点 (2， 2)，试确定 m 的值，并求满足条件 f(2 a)f(a 1)的实数 a 的取值范围 解： (1)因为 m2 m m(m 1)(m N*)，而 m 与 m 1 中必有一个为偶数，所以 m2 m 为偶数， 所以函数 f(x) x(m2 m) 1(m N*)的定义域为 0， ) ，并且该函数在 0， ) 上为增函数 =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)因为函数 f(x)的图象经过点 (2， 2)， 所以 2 2(m2 m) 1，即 212 2(m2 m) 1， 所以 m2 m 2，解得 m 1 或 m 2. 又因为 m N*，所以 m
9、 1， f(x) x12. 又因为 f(2 a)f(a 1)， 所以? 2 a0 ，a 10 ，2 aa 1，解得 1 af(a 1)的实数 a 的取值范围为 ? ?1， 32 . 10 (2018 上海七校联考 )已知 a， b 为实数，函数 f(x) x2 ax 1，且函数 y f(x 1)是偶函数，函数 g(x) b f(f(x 1) (3b 1) f(x 1) 2 在区间 ( ， 2上是减函数，在区间 ( 2,0)上是增函数 (1)求函数 f(x)的解析式； (2)求实数 b 的值； (3)设 h(x) f(x 1) 2qx 1 2q，问是否存在实数 q，使得 h(x)在区间 0,2上
10、有最小值 2？若存在，求出 q 的值；若不存在，说明理由 解： (1)因为函数 y f(x 1)是偶函数， 所以 (x 1)2 a(x 1) 1 ( x 1)2 a( x 1) 1， 所以 4x 2ax 0，所以 a 2， 所以 f(x) (x 1)2. (2)由 (1)知， g(x) b f(f(x 1) (3b 1) f(x 1) 2 bx4 (5b 1)x2 2 b， 令 t x2，则 u(t) bt2 (5b 1)t (b 2)， 在区间 ( ， 2上， t x2是减函数，且 t 4， ) ，由 g(x)是减函数，可知 u(t)为增函数； 在区间 ( 2,0)上， t x2是减函数，且
11、 t (0,4)，由 g(x)是增函数，可知 u(t)为减函数， 所以 u(t)在 (0,4)上是减函数，在 (4， ) 上是增函数， 可得二次函数开口向上， b 0 且 5b 1 2b 4， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 b 13. (3)h(x) f(x 1) 2qx 1 2q x2 2qx 1 2q， x 0,2则 h(x)的对称轴为直线x q. 当 q 0 时， h(x)min h(0) 1 2q 2， q 32； 当 0 q2 时， h(x)min h(q) q2 2q 1 2，所以 q 3 或 1，舍去； 当 q 2 时， h(x)min h(2) 2q 5 2， q 7
12、2. 综上所述， q 32或 q 72. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1设 f(x)与 g(x)是定义在同一区间 a， b上的两个函数，若函数 y f(x) g(x)在 x a， b上有两个不同的零点，则称 f(x)和 g(x)在 a， b上是 “ 关联函数 ” ，区间 a， b称为 “ 关联区间 ” 若 f(x) x2 3x 4 与 g(x) 2x m 在 0,3上是 “ 关联函数 ” ，则 m的取值范围为 _ 解析： 由题意知， y f(x) g(x) x2 5x 4 m 在 0,3上有两个不同的零点在同一直角坐标系下作出函数 y m 与 y x2 5x 4(x0,3)的图象如图所示，
13、结合图象可知，当 x 2,3时， y x2 5x 4 ? ? 94， 2 ，故当 m ? ? 94， 2 时，函数 y m 与 y x2 5x 4(x0,3)的图象有两个交点 答案： ? ? 94， 2 2 (2018 启东检测 )已知 a R，函数 f(x) x2 2ax 5. (1)若 a 1，且函数 f(x)的定义域和值域均为 1， a，求实数 a 的值； (2)若不等式 x|f(x) x2|1 对 x ? ?13， 12 恒成立，求实数 a 的取值范围 解： (1)因为 f(x) x2 2ax 5 的图象的对称轴为 x a(a 1)， 所以 f(x)在 1， a上为减函数， 所以 f(
14、x)的值域为 f(a)， f(1) 又已知值域为 1， a， 所以? f a a2 2a2 5 1，f 1 2a 5 a， 解得 a 2. =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)由 x|f(x) x2|1 ，得 12x2 52x a 12x2 52x.(*) 令 1x t， t 2,3， 则 (*)可化为 12t2 52t a 12t2 52t. 记 g(t) 12t2 52t 12? ?t 52 2 258 ， 则 g(t)max g? ?52 258 ，所以 a 258 ； 记 h(t) 12t2 52t 12? ?t 52 2 258 ， 则 h(t)min h(2) 7，所以 a7 ， 综上所述， 258 a7. 所以实数 a 的取值范围是 ? ?258 ， 7 .
