1、1.4 概率的公理化定义与性质概率的公理化定义与性质 古典概率与几何概率都是在等可能性的基础上古典概率与几何概率都是在等可能性的基础上建立起来的，因而它们的定义与使用都有很大的局建立起来的，因而它们的定义与使用都有很大的局限性。概率的统计定义涉及频率的稳定性，由此计限性。概率的统计定义涉及频率的稳定性，由此计算概率往往涉及大量的重复试验，这是很不现实的。算概率往往涉及大量的重复试验，这是很不现实的。简单地把频率作为概率，虽然也不失为一种较有效简单地把频率作为概率，虽然也不失为一种较有效的方法，但是它有随机波动性。例如，两人各抛同的方法，但是它有随机波动性。例如，两人各抛同一枚硬币一枚硬币100
2、00次，一人发现了次，一人发现了5002次正面，另一次正面，另一人发现了人发现了5010次正面，那么，在次正面，那么，在0.5002与0.5010这这两个频率中究竞用哪一个作为概率呢两个频率中究竞用哪一个作为概率呢? 人们经过研究发现，不论是古典概率还是几何人们经过研究发现，不论是古典概率还是几何概率或频率都具有下列三条基本性质：概率或频率都具有下列三条基本性质： (I) 非负性：对于任意一个事件非负性：对于任意一个事件A， ； (II) 规范性：规范性： ； (III)可加性：当事件可加性：当事件A,B互不相容时，互不相容时， 在上述三条性质的基础上，数学家们采用抽象在上述三条性质的基础上，
3、数学家们采用抽象化的方法给出了概率的一般定义。化的方法给出了概率的一般定义。0)(AP1)(P)()()(BPAPBAP 定义（概率的公理化定义）定义（概率的公理化定义） 给定一个随机试给定一个随机试验，验， 是它的样本空间，对于任一事件是它的样本空间，对于任一事件A，规定一，规定一个实数，记作个实数，记作P(A)。如果。如果P()满足下列三条公理，满足下列三条公理，那么就称那么就称P(A)为事件为事件A的概率。的概率。 公理公理1 非负性：对于任意一个事件非负性：对于任意一个事件A， ； 公理公理2 规范性：规范性： ； 公理公理3 可加性：当可列无限个事件可加性：当可列无限个事件 两两互不
4、相容时，两两互不相容时， 0)(AP1)(P)()()(2121APAPAAP,1nAA 下面我们将从这三条公理出发来推导概率的一些下面我们将从这三条公理出发来推导概率的一些重要性质。重要性质。 性质性质1： 性质性质2 ：(有限可加性有限可加性) 当当n个事件个事件 两两两互不相容时，两互不相容时， 性质性质3： 对于任意一个事件对于任意一个事件A： nAA,10)(P)()()(121nAPAPAAP)(1)(APAP 性质性质4： 对于任意的两个事件对于任意的两个事件A和和B，有，有 当事件当事件A,B满足满足 时，有时，有 性质性质5： 对于任意一个事件对于任意一个事件A， 。 性质性
5、质6：(加法公式加法公式) 对任意两个事件对任意两个事件A,B： )()()()()(BPAPAPBPABP且)()()(ABPBPABPBA1)(AP)()()()(ABPBPAPBAP 加法公式可以推广到更多个事件上去。例如，对加法公式可以推广到更多个事件上去。例如，对于任意三个事件于任意三个事件A,B,C： 一般地，对于任意一般地，对于任意n个事件个事件 ，用数学归纳法不难，用数学归纳法不难证明证明 )()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP)() 1()()()()(111111nnnkjikjinjijiniiiniAAPAAAPAAPAPAP 例
6、例1 某种饮料浓缩液每箱装某种饮料浓缩液每箱装12听，不法商人在听，不法商人在每箱中放入每箱中放入4听假冒货，今质检人员从一箱中抽取听假冒货，今质检人员从一箱中抽取3听进行检测，问查出假冒货的概率为多少听进行检测，问查出假冒货的概率为多少? 解解 设事件设事件A表示表示“抽取的抽取的3听中至少有听中至少有1听是假听是假冒货冒货”。 记事件记事件 表示表示“抽取的抽取的3听中恰有听中恰有 听是听是假冒货假冒货”，由古典概率的计算公式得到：，由古典概率的计算公式得到： iAi,2204)(,22048)(,220112)(312083433121824231228141CCCAPCCCAPCCCA
7、P由于事件由于事件 两两互不相容，且两两互不相容，且 因此，由概率的有限可加性推得因此，由概率的有限可加性推得 此题也可用另一种解法：设事件此题也可用另一种解法：设事件A的逆事件的逆事件 表示表示“抽取的抽取的3听中没有听中没有1听是假冒货听是假冒货”。由古典概。由古典概率的计算公式得到率的计算公式得到 A321,AAA321AAAA12341( )()()()55P AP AP AP A03483125641( )1( )1122055C CP AP AC 例例2 已知事件已知事件A、B、C满足满足求事件求事件A、B、C至少有一个发生和事件至少有一个发生和事件A、B、C均均不发生的概率。（不
8、发生的概率。（0.75 0.25） 例例3 已知已知 ，试在下列两，试在下列两种情形下分别求出种情形下分别求出 与与 。 (1)事件事件A,B互不相容；（互不相容；（0.3，0.6） (2)事件事件A,B有包含关系。有包含关系。 （0，0.3） ( )0.3, ( )0.4,()0.25, ()0, ()0.2P AP BP ACP ABP BC6 . 0)(, 3 . 0)(BPAP)()(ABPBAP1.5 条件概率与随机事件的独立性条件概率与随机事件的独立性一、条件概率一、条件概率 首先我们来考察一个简单的例子。首先我们来考察一个简单的例子。 例例1 某家电商店库存有甲、乙两联营厂生产的
9、、某家电商店库存有甲、乙两联营厂生产的、相同牌号的冰箱相同牌号的冰箱100台。甲厂生产的台。甲厂生产的40台中有台中有5台次台次品；乙厂生产的品；乙厂生产的60台中有台中有10台次品。今工商质检队台次品。今工商质检队随机地从库存的冰箱中抽检随机地从库存的冰箱中抽检1台试求抽检到的台试求抽检到的1台台是次品是次品(记为事件记为事件A)的概率有多大的概率有多大? 其答案是其答案是 如果商店有意让质检队从甲厂生产的冰箱中抽如果商店有意让质检队从甲厂生产的冰箱中抽检检1台，那么，这台，那么，这1台是次品的概率有多大台是次品的概率有多大? 由于样由于样本空间不再是全部库存的冰箱，而是缩小到甲厂生本空间不
10、再是全部库存的冰箱，而是缩小到甲厂生产的冰箱，因此，事件产的冰箱，因此，事件A的概率为的概率为 这两个概率不相同是容易理解的，因为在第二这两个概率不相同是容易理解的，因为在第二个问题中所抽到的次品必是甲厂生产的，这比第一个问题中所抽到的次品必是甲厂生产的，这比第一个问题多了一个个问题多了一个“附加条件附加条件”。 ( )0.15P A ( )0.125P A 设事件设事件B表示表示“抽到的产品是甲厂生产的抽到的产品是甲厂生产的”。则。则第二个问题可看作是在第二个问题可看作是在“已知已知B发生发生”的附加条件下，的附加条件下，求事件求事件A的概率。这个概率便是一个条件概率，记的概率。这个概率便是
11、一个条件概率，记作作 ，它表示，它表示“在已知在已知B发生的条件下，事件发生的条件下，事件A发生的概率发生的概率”。 仔细观察后发现，仔细观察后发现， 与与 之间有之间有如下关系：如下关系：其中，其中， ()(|)0.125( )P ABP A BP B)(),()|(BPABPBAP()0.05, ( )0.4P ABP B)|(BAP 下面我们给出条件概率的定义。下面我们给出条件概率的定义。 定义：定义： 给定一个随机试验，给定一个随机试验， 是它的样本空是它的样本空间。对于任意两个事件间。对于任意两个事件A,B，其中，其中P(B)0，称，称 为在已知事件为在已知事件B发生的条件下事件发生
12、的条件下事件A的条件概率。的条件概率。 由条件概率的定义可以得到概率的乘法公式：由条件概率的定义可以得到概率的乘法公式：当当P(B)0时，时， )()()|(BPABPBAP)()|()(BPBAPABP 不难验证，条件概率不难验证，条件概率 满足概率的公理满足概率的公理化定义中的三条公理，即化定义中的三条公理，即 （1）非负性：对任意一个事件）非负性：对任意一个事件A， （2）规范性：）规范性： 。 （3）可列可加性：当可列个事件两两互不相）可列可加性：当可列个事件两两互不相容时容时)|(BP 0)|(BAP1)|( BP11)|()|(iiiiBAPBAP 对于条件概率也可由概率的三条基本
13、性质导出对于条件概率也可由概率的三条基本性质导出其它一些性质，例如其它一些性质，例如 若还有若还有 ， 则也可定义则也可定义 ，这时，这时有有 )|(1)|(BAPBAP)|()|()|()|(CABPCBPCAPCBAP0)|(BP( )0(|)()(|) ( )(|) ( )P AP B AP ABP A B P BP B A P A 乘法公式可以推广到更多个事件上去。例如，乘法公式可以推广到更多个事件上去。例如，当当P(AB)0（这保证（这保证 ）时：）时： 一般地，当一般地，当 时，可得：时，可得：用数学归纳法很容易可以验证。用数学归纳法很容易可以验证。 )|()|()()(ABCPA
14、BPAPABCP0)(, 211nAAPn)|()|()()(111211nnnAAAPAAPAPAAP0)()(ABPAP 例例4 某建筑物按设计要求使用寿命超过某建筑物按设计要求使用寿命超过50年年的概率为的概率为0.8，超过，超过60年的概率为年的概率为0.6。该建筑物经。该建筑物经历了历了50年之后，它将在年之后，它将在10年内倒塌的概率有多大年内倒塌的概率有多大? 解解 设事件设事件A表示表示“该建筑物使用寿命超过该建筑物使用寿命超过50年年”，事件，事件B表示表示“该建筑物使用寿命超过该建筑物使用寿命超过60年年”。 按题意有按题意有 由于由于 ，因此，因此， 。于是。于是所求条件
15、概率为所求条件概率为 8 . 0)(AP6 . 0)(BPAB 6 . 0)()(BPABP25. 08 . 06 . 01)()(1)|(1)|(APABPABPABP 1、 设某光学一起厂制造的透镜，第一次落设某光学一起厂制造的透镜，第一次落下打破的概率为下打破的概率为0.5，若第一次落下未打破，第二，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为次落下打破的概率为0.7，若第二次落下未打破，若第二次落下未打破，第三次落下打破的概率为第三次落下打破的概率为0.9，试求三次落下而未，试求三次落下而未打破的概率。（打破的概率。（ 3/200 ） 2、 从前从前 个自然数中随机地选三个数个自然数中随
16、机地选三个数 （不允许重复），令（不允许重复），令 求求 （1/3）13212,AaaaBaa123,a a aN(|).P A B 下面我们讨论一个卜里耶的摸球模型，这个下面我们讨论一个卜里耶的摸球模型，这个模型是一个很典型的数学模型。模型是一个很典型的数学模型。 例例5 （摸球模型）今有一个装有（摸球模型）今有一个装有a个红球和个红球和b个白球的罐子。现从中摸一个球，再将球放回，个白球的罐子。现从中摸一个球，再将球放回，并又放入同色球并又放入同色球r个。这样进行个。这样进行n次后，问先连着次后，问先连着出现出现m次红球，再连着出现次红球，再连着出现n-m次白球的概率。次白球的概率。 解解
17、设事件设事件 表示表示“顾客在第顾客在第 次摸球时发现红次摸球时发现红球球”，则，则 表示表示“顾客在第顾客在第 次摸球时发现白球次摸球时发现白球”。 iAiA12111(),(|),(1)(|)(1)mmaP AabarP AAabramrP AAAabmr11(|),mmbP AAAabmr由概率的乘法公式得，所要求的概率是：由概率的乘法公式得，所要求的概率是： 211111(|)(1)(1)(|)(1)mmmnmmnbrP AAA AabmrbnmrP AAA AAabnrrnbarmnbrmbarbmrbabrmbarmarbarabaaAAAAPnmm) 1() 1() 1() 1(
18、) 1()(11 注意这个答案只与红球与白球出现的次数有关，注意这个答案只与红球与白球出现的次数有关，而与出现的顺序无关。比如，试验共进行了而与出现的顺序无关。比如，试验共进行了3次，要次，要计算三个球中有一个白球的概率，则只需把计算三个球中有一个白球的概率，则只需把 带入即可得带入即可得 特别地，取特别地，取 则是有放回的摸球，取则是有放回的摸球，取 则是无放回的摸球。则是无放回的摸球。0r1r3,n rbabrbarabaaAP2)(2m 二、随机事件的独立性二、随机事件的独立性 在一个随机试验中，在一个随机试验中，A、B是两个事件，一般情是两个事件，一般情形下它们是否发生是相互影响的，这
19、表现在形下它们是否发生是相互影响的，这表现在 但是，在有些情形下，但是，在有些情形下，成立。在这种情形下，我们给出下列随机事件的独成立。在这种情形下，我们给出下列随机事件的独立性定义：立性定义： )()|()()|(BPABPAPBAP或)()|()()|(BPABPAPBAP或 定义：定义： 对于任意两个事件对于任意两个事件A、B，如果等式，如果等式 成立，那么称事件成立，那么称事件A、B相互独立。相互独立。 定义：定义： 对于任意三个事件对于任意三个事件A、B、C，如果四，如果四个等式个等式 都成立，那么称事件都成立，那么称事件A、B、C相互独立。相互独立。 )()()()()()()()
20、()()()()()(CPBPAPABCPCPBPBCPCPAPACPBPAPABP)()()(BPAPABP这里我们作四点说明：这里我们作四点说明： （1）在定义中如果在定义中如果 A、B、C只满足前三个等只满足前三个等式，称事件式，称事件 A、B、C两两独立。两两独立。 （2）对于任意）对于任意n个事件个事件 ，当且仅当对任，当且仅当对任意一个意一个 ，任意的，任意的 ，等式，等式 都成立时，称事件都成立时，称事件 相互独立。相互独立。nAA 1nk, 3 , 2niik11)()()(11kkiiiiAPAPAAPnAA 1这里要求成立的等式总数为这里要求成立的等式总数为 （3）对于多个
21、事件的相互独立性，可以证明类）对于多个事件的相互独立性，可以证明类似于前面定理的结论都成立。似于前面定理的结论都成立。 （4）在具体应用问题中，独立性可以根据实际）在具体应用问题中，独立性可以根据实际问题来判定。问题来判定。1210) 11 (32nnnnnnnnn 定理定理1 如果如果 ，那么两个事件，那么两个事件A、B相互相互独立的充分必要条件是：独立的充分必要条件是： ； 如果如果 ，那么两个事件，那么两个事件A、B相互独立相互独立的充分必要条件是的充分必要条件是 。 定理定理2 下列四个命题是等价的：下列四个命题是等价的： （1）事件）事件 相互独立；相互独立； （2）事件）事件 相互
22、独立；相互独立； （3）事件）事件 相互独立；相互独立； （4）事件）事件 相互独立。相互独立。 0)(AP)()|(BPABP0)(BP)()|(APBAPBA、BA、BA、BA、 例例6 甲、乙、丙三部机床独立工作，有一个工甲、乙、丙三部机床独立工作，有一个工人照管，某段时间内它们不需要工人照管的概率分人照管，某段时间内它们不需要工人照管的概率分别为别为0.9、0.8、0.85；求在这段时间内；求在这段时间内 （1）有机床需要工人照管的概率；）有机床需要工人照管的概率； （2）至少有两台需要工人照管的概率；）至少有两台需要工人照管的概率； 解解 设事件设事件 分别表示分别表示“在某段时间在
23、某段时间机床甲、乙、丙不需要工人照管机床甲、乙、丙不需要工人照管”，由题意可知，由题意可知， 相互独立，且相互独立，且 因此，（因此，（1）有机床需要工人照管的概率为）有机床需要工人照管的概率为 （2）至少有两台需要工人照管的概率为）至少有两台需要工人照管的概率为CBA、CBA、85. 0)(, 8 . 0)(, 9 . 0)(CPBPAP388. 085. 08 . 09 . 01)()()(1)(1)(CPBPAPABCPABCP059. 015. 02 . 01 . 0215. 02 . 015. 01 . 02 . 01 . 0)(2)()()()()(CBAPCBPCAPBAPCBC
24、ABAPCBACBACBACBAP（2）至少有两台需要工人照管的概率为）至少有两台需要工人照管的概率为 例例7 现有现有4箱产品，其中一箱是甲厂生产的，箱产品，其中一箱是甲厂生产的，一箱是乙厂生产的，一箱是丙厂生产的，剩余的一一箱是乙厂生产的，一箱是丙厂生产的，剩余的一箱混有甲、乙、丙三个厂生产的产品；现随机地取箱混有甲、乙、丙三个厂生产的产品；现随机地取出一箱，设事件出一箱，设事件A表示表示“取到的这箱中有甲厂生产取到的这箱中有甲厂生产的产品的产品”，事件，事件B表示表示“取到的这箱中有乙厂生产取到的这箱中有乙厂生产的产品的产品”，事件，事件C表示表示“取到的这箱中有丙厂生产取到的这箱中有丙
25、厂生产的产品的产品”，问，问 是否相互独立？是否相互独立？CBA、 解解 由已知条件可知由已知条件可知所以所以由前面的定义知：由前面的定义知： 两两独立，但不相互两两独立，但不相互独立。独立。 41)(41)()()(21)(21)(21)(ABCPBCPACPABPCPBPAP、)()()()()()()()()()()()()(CPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPAPABP、CBA、 例例8 已知每个人的血清中含有肝炎病毒的概已知每个人的血清中含有肝炎病毒的概率为率为0.4%且他们是否含有肝炎病毒是相互独立的，且他们是否含有肝炎病毒是相互独立的，今混合今混合100个人的血清
26、，试求混合后的血清中含有个人的血清，试求混合后的血清中含有肝炎病毒的概率。肝炎病毒的概率。 解解 设事件设事件 表示表示“混合后的血清中含有肝炎混合后的血清中含有肝炎病毒病毒”，事件，事件 表示表示“第第 个人的血清中含有肝个人的血清中含有肝炎病毒炎病毒”，则，则AiAi10021AAAA所以所以 从此例中我们可以看到，虽然每个人从此例中我们可以看到，虽然每个人的血清中的血清中含有肝炎病毒的概率都很小，但是，把许多人的血含有肝炎病毒的概率都很小，但是，把许多人的血清混合后，其中含有肝炎病毒的概率却很大；换句清混合后，其中含有肝炎病毒的概率却很大；换句话说，话说，小概率事件有时会产生大效应，在实
27、际问题小概率事件有时会产生大效应，在实际问题中应该引起足够的重视。中应该引起足够的重视。33. 0)04. 01 (1)(1)(1)()(10010011002110021iiAPAAAPAAAPAP 例例6 设事件设事件 满足满足 ，则，则 例例7 设设 ，且，且 则下列选项中必定成立的是（则下列选项中必定成立的是（ ） （1）事件）事件 和事件和事件 互不相容；互不相容； （2）事件）事件 是事件是事件 对立事件；对立事件； （3）事件）事件 和事件和事件 不独立；不独立； （4）事件）事件 和事件和事件 相互独立。相互独立。答案：（答案：（0.8，0.75，0）（）（4）5 . 0)(,
28、 6 . 0)(, 8 . 0)(,BAPACPAPCBAB.)|(,)|(,)(CABPBACPBAPCBA,1)(0, 1)(0BPAP1)|()|(BAPBAPBABABABA 三、独立性在可靠问题中的应用三、独立性在可靠问题中的应用 对于一个元件，它能正常工作的概率，称为它对于一个元件，它能正常工作的概率，称为它的可靠性。元件组成系统，系统正常工作的概率称的可靠性。元件组成系统，系统正常工作的概率称为该系统的可靠性。随着近代电子技术的迅猛发展，为该系统的可靠性。随着近代电子技术的迅猛发展，关于元件和系统的可靠性的研究一发展成为一门新关于元件和系统的可靠性的研究一发展成为一门新的学科：可
29、靠性理论。的学科：可靠性理论。 这里我们通过一些例子来说明有关的概念。这里我们通过一些例子来说明有关的概念。 例例8 如果构成系统的每个元件的可靠性均为如果构成系统的每个元件的可靠性均为 ，其中，其中 ，且各元件能否正常工作是相互，且各元件能否正常工作是相互独立的，试求下面系统的可靠性。独立的，试求下面系统的可靠性。 （1） （2） n11n2212nn1201pp 解（解（1） 每条通路能正常工作，当且仅当该每条通路能正常工作，当且仅当该通路上各元件正常工作，故每条通路上的可靠性通路上各元件正常工作，故每条通路上的可靠性为：为： ，即每条通路上发生故障的可能性，即每条通路上发生故障的可能性为
30、：为： ，由于系统由两条通路并联而成，由于系统由两条通路并联而成，两条通路上同时发生故障的概率为两条通路上同时发生故障的概率为 因此上因此上述系统的可靠性为：述系统的可靠性为： npp 1npp122)1 (np)2()1 (121nnnpppR （2）每一对并联元件的可靠性为：）每一对并联元件的可靠性为： ，系统由每对并联元件串联而成，故其可靠性为：系统由每对并联元件串联而成，故其可靠性为： 虽然两个系统都是由虽然两个系统都是由2n个元件组成，但比较系个元件组成，但比较系统（统（1）和（）和（2）的可靠性可知，系统（）的可靠性可知，系统（2）的可靠）的可靠性要大于系统（性要大于系统（1）的可
31、靠性，因为当）的可靠性，因为当 时，有时，有 )2(1pppnnnpppR)2(122(2)nnpp2n 四、贝努利概型与二项概率四、贝努利概型与二项概率 如果在一个试验中，只关心某个事件如果在一个试验中，只关心某个事件A是否发是否发生，那么称这个试验为生，那么称这个试验为贝努利试验，贝努利试验，相应的数学模相应的数学模型称为型称为贝努利概型。贝努利概型。 通常记通常记 ，因此，因此， 。如果把贝努利试验独立地重复做如果把贝努利试验独立地重复做n次，这次，这n个试验合个试验合在一起称为在一起称为n重贝努利试验重贝努利试验。在。在n重贝努利试验中，重贝努利试验中，主要研究事件主要研究事件A发生的
32、次数。发生的次数。 ( )(01)( )1P AppP Ap 设事件设事件 表示表示“n重贝努利试验中事件重贝努利试验中事件A恰好恰好发生了发生了 次次”，通常记，通常记 为为 ，由于由于n个试验是相互独立的，因此，个试验是相互独立的，因此，且因此，称因此，称 为二项概率，它恰是为二项概率，它恰是 的二的二项式展开中第项式展开中第 项。项。 kB)()(kPBPnk(0,1, )k knnkppknkPknkn, 2 , 1 , 0,)1 ()(1)1()1 ()(00nnkknkknnknppppCkP)(kPnnpp)1(), 1 , 0(nkk 例例1 一份试卷上有一份试卷上有100道单
33、项选择题，每一道道单项选择题，每一道题题4个答案，其中只有一个是正确的，现有一个学生个答案，其中只有一个是正确的，现有一个学生来做题，试问他考一百分的概率是多大？来做题，试问他考一百分的概率是多大？ 解解 这是一个贝努利试验，这是一个贝努利试验， 其中其中 如果他想考一百分，他必须如果他想考一百分，他必须100道题全对才可以，所道题全对才可以，所以以41,100pn10001001004141141100100)100(P 例例2 在规划一条河流的洪水控制系统时，需要在规划一条河流的洪水控制系统时，需要研究出现特大洪水的可能性。假定该处每年出现特研究出现特大洪水的可能性。假定该处每年出现特大洪
34、水的概率都是大洪水的概率都是0.1，且特大洪水的出现是相互独，且特大洪水的出现是相互独立的，试求今后立的，试求今后10年内至少出现两次特大洪水的概年内至少出现两次特大洪水的概率。率。 解解 设事件设事件 表示表示“今后今后10年内至少出现两次特年内至少出现两次特大洪水大洪水”，由于我们只关心，由于我们只关心“出现出现”和和“不出现不出现”两种情况，因此，可以视其为贝努利试验，其中两种情况，因此，可以视其为贝努利试验，其中 ，由二项概率计算公式可得，由二项概率计算公式可得A1 . 0,10pn26. 039. 035. 01) 1 . 01 (1 . 0) 1 . 01 (1 . 01) 1 ()0(1)(911101000101010CCPPAP
