1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时达标检测 (四十四）抛物线 练基础小题 强化运算能力 1设抛物线 y2 12x 上一点 P 到 y 轴的距离是 1，则点 P 到该抛物线焦点的距离是_ 解析：依题意，点 P 到该抛物线的焦点的距离等于点 P 到其准线 x 3 的距离，即等于3 1 4. 答案： 4 2若抛物线 y2 2x 上一点 M 到它的焦点 F 的距离为 32， O 为坐标原点，则 MFO 的面积为 _ 解析：由题意知，抛物线的准线方程为 x 12.设 M(a， b)，由抛物线的定义可知，点M 到准线的距离为 32，所以 a 1，代入抛物线方程 y2 2x，解得 b 2，所以 S MF
2、O 12 12 2 24 . 答案： 24 3设 F 为抛物线 y2 2x 的焦点， A， B， C 为抛物线上三点，若 F 为 ABC 的重心，则| FA | | FB | | FC |的值为 _ 解析：依题意，设点 A(x1， y1)， B(x2， y2)， C(x3， y3)，又焦点 F? ?12， 0 ，所以 x1 x2 x3 3 12 32，则 | FA | | FB | | FC | ? ?x112 ?x212 x312 (x1 x2 x3)3232 32 3. 答案： 3 4直线 l 过抛物线 x2 2py(p 0)的焦点，且与抛物线交于 A， B 两点，若线段 AB 的长是 6
3、， AB 的中点到 x 轴的距离是 1，则此抛物线方程是 _ 解析：设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 |AB| y1 y2 p 2 p 6， p 4.即抛物线方程为 x2 8y. 答案： x2 8y 练常考题点 检验高考能力 一、填空题 1抛物线 y2 2px(p 0)的准线截圆 x2 y2 2y 1 0 所得弦长为 2，则 p _. =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析：抛物线 y2 2px(p 0)的准线为 x p2，而圆化成标准方程为 x2 (y 1)2 2，圆心 M(0,1)，半径 r 2，圆心到准线的距离为 p2，所以 ? ?p2 2 ? ?22 2 ( 2)2，解
4、得 p 2. 答案： 2 2已知抛物线 C： y2 x 的焦点为 F， A(x0， y0)是 C 上一点， |AF| 54x0，则 x0 _. 解析：由题意知抛物线的准线为 x 14.因为 |AF| 54x0，根据抛物线的定义可得 x0 14|AF| 54x0，解得 x0 1. 答案： 1 3已知抛物线 y2 8x 的焦点为 F，直线 y k(x 2)与此抛物线相交于 P， Q 两点，则 1|FP| 1|FQ| _. 解析：设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)，由题意可知直线 y k(x 2)过抛物线焦点 (2,0)，所以|PF| x1 2， |QF| x2 2，则 1|FP| 1|F
5、Q| 1x1 2 1x2 2 x1 x2 4x1x2 2?x1 x2? 4.联立直线与抛物线方程消去 y，得 k2x2 (4k2 8)x 4k2 0，可知 x1x2 4，故 1|FP| 1|FQ|x1 x2 4x1x2 2?x1 x2? 4x1 x2 42?x1 x2? 812. 答案： 12 4设抛物线 C： y2 2px(p 0)的焦点为 F，点 M 在 C 上， |MF| 5.若以 MF 为直径的圆过点 (0,2)，则抛物线 C 的方程为 _ 解析：由已知得抛物线的焦点 F? ?p2， 0 ，设点 A(0,2)，抛物线上点 M(x0， y0)，则 AF ?p2， 2 ， AM ?y202
6、p， y0 2 .由已知得， AF AM 0，即 y20 8y0 16 0，因而 y0 4，M? ?8p， 4 .由 |MF| 5 得， 8p p2 5，又 p 0，解得 p 2 或 p 8，所以抛物线 C 的方程为 y2 4x 或 y2 16x. 答案： y2 4x 或 y2 16x 5 (2018 长春模拟 )过抛物线 y2 2px(p 0)的焦点 F 且倾斜角为 120 的直线 l 与抛物线在第一、四象限分别交于 A， B 两点，则 |AF|BF|的值等于 _ =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析：记抛物线 y2 2px 的准线为 l ，如图，作 AA1 l ， BB1 l ， AC
7、BB1，垂足分别是 A1， B1， C，则有 cos ABB1 |BC|AB| |BB1| |AA1|AF| |BF| |BF| |AF|AF| |BF|，即 cos 60 |BF| |AF|AF| |BF|12，由此得|AF|BF|13. 答案： 13 6 (2017 天津高考 )设 抛物线 y2 4x 的焦点为 F，准线为 l.已知点 C 在 l 上，以 C 为圆心的圆与 y 轴的正半轴相切于点 A.若 FAC 120 ，则圆的方程为 _ 解析：由题意知该圆的半径为 1， 设圆心坐标为 C( 1， a)(a 0)，则 A(0， a) 又 F(1,0)，所以 AC ( 1,0)， AF (1
8、， a)， 由题意得 AC 与 AF 的夹角为 120 ， 故 cos 120 11 1 ? a?2 12，解得 a 3， 所以圆的方程为 (x 1)2 (y 3)2 1. 答案： (x 1)2 (y 3)2 1 7 (2017 全国卷 改编 )过抛物线 C： y2 4x 的焦点 F，且斜率为 3的直线交 C 于点M(M 在 x 轴的上方 )， l 为 C 的准线，点 N 在 l 上且 MN l，则 M 到直线 NF 的距离为 _ 解析：法一：由题意，得 F(1,0)， 则直线 FM 的方程是 y 3(x 1) 由 ? y 3?x 1?，y2 4x， 得 x 13或 x 3. 由 M 在 x
9、轴的上方，得 M(3,2 3)， 由 MN l，得 |MN| |MF| 3 1 4. 又 NMF 等于直线 FM 的倾斜角，即 NMF 60 ， 因此 MNF 是边长为 4 的等边三角形， 所以点 M 到直线 NF 的距离为 4 32 2 3. 法二：依题意，得直线 FM 的倾斜角为 60 ， 则 |MN| |MF| 21 cos 60 4. 又 NMF 等于直线 FM 的倾斜角，即 NMF 60 ， 因此 MNF 是边长为 4 的等边三角形， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以点 M 到直线 NF 的距离为 4 32 2 3. 答案： 2 3 8 (2018 邢台模拟 )已知抛物线 x2
10、 4y 上有一条长为 6 的动弦 AB，则 AB 的中点到 x轴的最短距离为 _ 解析：由题意知，抛物线的准线 l： y 1，过 A 作 AA1 l 于 A1，过 B 作 BB1 l 于 B1，设弦 AB 的中点为 M，过 M 作 MM1 l 于 M1.则 |MM1| |AA1| |BB1|2 .|AB| AF| |BF|(F 为抛物线的焦点 )，即 |AF|BF|6 ，则 |AA1| |BB1|6 ，即 2|MM1|6 ，所以 |MM1|3 ，故 M 到 x 轴的最短距离为 3 1 2. 答案： 2 9 (2018 镇江质检 )已知 F 是抛物线 y2 4x 的焦点， A， B 是抛物线上两
11、点，若 AFB是正三角形，则 AFB 的边长为 _ 解析：由题意可知 A， B 两点一定关于 x 轴对称，且 AF， BF 与 x 轴夹角均为 30 ，由于 y2 4x 的焦点 为 (1,0)，由? y 33 ?x 1?，y2 4x，化简得 y2 4 3y 4 0，解得 y 2 34 或 y 2 3 4，所以 AFB 的边长为 8 4 3或 8 4 3. 答案： 8 4 3或 8 4 3 10经过抛物线 C 的焦点 F 作直线 l 与抛物线 C 交于 A， B 两点，如果 A， B 在抛物线 C的准线上的射影分别为 A1， B1，那么 A1FB1 _. 解析：由抛物线定义可知 |BF| |BB
12、1|， |AF| |AA1|，故 BFB1 BB1F， AFA1 AA1F.又 OFB1 BB1F， OFA1 AA1F，故 BFB1 OFB1， AFA1 OFA1，所以 OFA1 OFB1 12 2 ，即 A1FB1 2. 答案： 2 二、解答题 11已知抛物线 y2 2px(p 0)的焦点为 F， A 是抛物线上横坐标为 4，且位于 x 轴上方的点， A 到抛物线准线的距离等于 5，过 A 作 AB 垂直于 y 轴，垂足为 B， OB 的中点为 M. (1)求抛物线的方程； (2)若过 M 作 MN FA，垂足为 N，求点 N 的坐标 解： (1)抛物线 y2 2px 的准线为 x p2
13、，于是 4 p2 5， p 2， 抛物线方程为 y2=【 ;精品教育资源文库 】 = 4x. (2)由 (1)知点 A 的坐标是 (4,4)， 由题意得 B(0,4)， M(0,2) 又 F(1,0)， kFA 43. MN FA， kMN 34. FA 的方程为 y 43(x 1)， MN 的方程为 y 34x 2， 联立? y 43?x 1?，y 34x 2，解方程组得 x 85， y 45， 点 N 的坐标为 ? ?85， 45 . 12.如图，已知抛物线 C： y2 2px(p 0)，焦点为 F，过点 G(p,0)作直线 l 交抛物线 C于 A， M 两点，设 A(x1， y1)， M
14、(x2， y2) (1)若 y1y2 8，求抛物线 C 的方程； (2)若直线 AF 与 x 轴不垂直，直线 AF 交抛物线 C 于另一点 B，直线 BG 交抛物线 C 于另一点 N.求证：直线 AB 与直线 MN 斜率之比为定值 解： (1)设直线 AM 的方程为 x my p，代入 y2 2px 得 y2 2mpy 2p2 0， 则 y1y2 2p2 8，得 p 2. 抛物线 C 的方程为 y2 4x. (2)证明 ：设 B(x3， y3)， N(x4， y4) 由 (1)可知 y3y4 2p2， y1y3 p2. 又直线 AB 的斜率 kAB y3 y1x3 x1 2py1 y3， 直线 MN 的斜率 kMN y4 y2x4 x2 2py2 y4， kABkMN y2 y4y1 y3 2p2y1 2p2y3y1 y3 2p2y1y3 ?y1 y3?y1 y3 2. 故直线 AB 与直线 MN 斜率之比为定值
