1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时达标检测 (四十一）直线与圆、圆与圆的位置关系 练基础小题 强化运算能力 1 (2018 淮安清江中学模拟 )直线 (a 1)x (a 1)y 2a 0(a R)与圆 x2 y2 2x2y 7 0 的位置关系是 _ 解析： x2 y2 2x 2y 7 0 化为圆的标准方程为 (x 1)2 (y 1)2 9，故圆心坐标为(1， 1)，半径 r 3，圆心到直线的距离 d |?a 1? ?a 1? 2a|?a 1?2 ?a 1?2 |2a 2|2a2 2 .则 r2 d29 4a2 8a 42a2 2 7a2 4a 7a2 1 ，而 7a2 4a 7 0 的判别
2、式 16 196 180 0，即 7a2 4a 7 0 恒成立，故有 r2 d2，即 d r，故直线与圆相交 答案：相交 2平行于直线 2x y 1 0 且与圆 x2 y2 5 相切的直线的方程是 _ 解析： 所求直线与直线 2x y 1 0 平行， 设所求的直线方程为 2x y m 0.所求直线与圆 x2 y2 5 相切， |m|1 4 5， m 5. 即所求的直线方程为 2x y 5 0或 2x y 5 0. 答案： 2x y 5 0 或 2x y 5 0 3 (2018 江都中学月考 )过点 ( 2,3)的直线 l 与圆 x2 y2 2x 4y 0 相交于 A， B两点，则 |AB|取得
3、最小值时 l 的方程为 _ 解析：由题意得圆的标准方程为 (x 1)2 (y 2)2 5，则圆心 C( 1,2)过圆心与点 (2,3)的直线 l1的斜率为 k 3 2 2 ? 1? 1.当直线 l 与 l1垂直时， |AB|取得最小值，故直线 l 的斜率为 1，所以直线 l 的方程为 y 3 x ( 2)，即 x y 5 0. 答案： x y 5 0 4 (2018 常州期中 )已知圆 O： x2 y2 1，圆 M： (x a)2 (y a 4)2 1.若圆 M 上存在点 P，过点 P 作圆 O 的两条切线，切点为 A， B，使得 APB 60 ，则实数 a 的取值范围为 _ 解析：连结 OP
4、，要使得 APB 60 ，则 OPA 30 ，在直角三角形 OPA 中， OP 2，所以必有以原点 O 为圆心，半径为 2 的圆与圆 M 有公共点， 即 2 1 OM2 1,1 a2 ?a 4?23 ，所以 2 22 a2 22 . 答案： ? ?2 22 ， 2 22 练常考题点 检验高考能力 =【 ;精品教育资源文库 】 = 一、填空题 1直线 y x 4 与圆 (x a)2 (y 3)2 8 相切，则 a 的值为 _ 解析：因为 (x a)2 (y 3)2 8 的圆心为 (a,3)，半径为 2 2，所以由直线 y x 4 与圆 (x a)2 (y 3)2 8 相切， 知圆心到直线的距离等
5、于半径，所以 |a 3 4|12 ? 1?2 2 2，即|a 1| 4，解得 a 3 或 5. 答案： 3 或 5 2 (2018 盐城中学模拟 )直线 l 与圆 x2 y2 2x 4y a 0(a 3)相交于 A， B 两点，若弦 AB 的中点为 ( 2,3)，则直线 l 的方程为 _ 解析：设直线的斜率为 k，又弦 AB 的中点为 ( 2,3)，所以直线 l 的方程为 kx y 2k 3 0，由 x2 y2 2x 4y a 0 得圆的圆心坐标为 ( 1,2)，所以圆心到直线的距离 为? 1 2?2 ?2 3?2 2，所以 | k 2 2k 3|k2 1 2，解得 k 1，所以直线 l 的方
6、程为 x y 5 0. 答案： x y 5 0 3 (2018 如东中学月考 )已知圆 O： x2 y2 4，点 M(1,0)是圆内定点，过 M 作两条互相垂直的直线与圆 O 交于 AB， CD，则弦长 AC 的取值范围是 _ 解析：设 AC 的中点为 P(x， y)，则 OP AC， |PA| |PM|， 4 x2 y2 ?x 1?2 y2，即 ? ?x 12 2 y2 74，则点 P 是以 ? ?12， 0 为圆心， 72 为半径的圆， |PM|max 7 12 ， |PM|min 7 12 ， |AC|max 7 1， |AC|min 7 1， 故 |AC|的取值范围为 7 1， 7 1
7、 答案： 7 1， 7 1 4 (2018 徐州中学期末 )圆心在直线 x y 4 0 上，且经过两圆 x2 y2 6x 4 0和 x2 y2 6y 28 0 的交点的圆的方程为 _ 解析：设经过两圆的交点的圆的方程为 x2 y2 6x 4 (x2 y2 6y 28) 0，即 x2 y2 61 x 61 y 4 281 0，其圆心坐标 为 ? ? 31 ， 31 ，又圆心在直线 x y 4 0 上，所以 31 31 4 0，解得 7，故所求圆的方程为 x2 y2 x7y 32 0. 答案： x2 y2 x 7y 32 0 =【 ;精品教育资源文库 】 = 5 (2018 温州期初 )设圆 C：
8、 (x k)2 (y 2k 1)2 1，则圆 C 的圆心的轨迹方程为_；若 k 0，则直线 l： 3x y 1 0 截圆 C 所得的弦长为 _ 解析：由题可得，圆心 C(k,2k 1)，令 x k， y 2k 1，解得 y 2x 1.所以圆 C 的圆心的轨迹方程为 y 2x 1.因为 k 0，所以 C： x2 (y 1)2 1.所以圆心 C(0， 1)到直线 l 的距离为 d |0 1 1|32 1 210，所以弦长为 2 1 410 2 155 . 答案： y 2x 1 2 155 6已知圆 C1： x2 y2 4ax 4a2 4 0 和圆 C2： x2 y2 2by b2 1 0 只有一条
9、公切线，若 a， b R 且 ab0 ，则 1a2 1b2的最小值为 _ 解析：圆 C1的标准方程为 (x 2a)2 y2 4，其圆心为 ( 2a， 0)，半径为 2；圆 C2的标准方程为 x2 (y b)2 1，其圆心为 (0， b)，半径为 1.因为圆 C1和圆 C2只有一条公切线，所以圆 C1 与圆 C2 相内切，所以 ? 2a 0?2 ?0 b?2 2 1，得 4a2 b2 1，所以 1a2 1b2?1a21b2 (4a2 b2) 5 b2a24a2b2 5 2b2a24a2b2 9，当且仅当b2a24a2b2 ，且 4a2 b2 1，即a2 16， b2 13时等号成立所以 1a2
10、1b2的最小值为 9. 答案： 9 7已知 圆 C 的圆心是直线 x y 1 0 与 x 轴的交点，且圆 C 与圆 (x 2)2 (y 3)2 8 相外切，则圆 C 的方程为 _ 解析：由题意知圆心 C( 1,0)，其到已知圆圆心 (2,3)的距离 d 3 2，由两圆相外切可得 R 2 2 d 3 2，即圆 C 的半径 R 2，故圆 C 的标准方程为 (x 1)2 y2 2. 答案： (x 1)2 y2 2 8圆 x2 y2 2y 3 0 被直线 x y k 0 分成两段圆弧，且较短弧长与较长弧长之比为 1 3，则 k _. 解析：由题意知，圆的标准方程为 x2 (y 1)2 4.较短弧所对圆
11、心角是 90 ，所以圆心 (0， 1)到直线 x y k 0 的距离为 22 r 2.即 |1 k|2 2，解得 k 1 或 3. 答案： 1 或 3 9 (2018 苏北四市期末 )已知 A， B 是圆 C1： x2 y2 1 上的动点， AB 3， P 是圆 C2：(x 3)2 (y 4)2 1 上的动点，则 | PA PB |的取值范围为 _ 解析：因为 A， B 是圆 C1： x2 y2 1 上的动点， AB 3，所以线段 AB 的中点 H 在圆 O：=【 ;精品教育资源文库 】 = x2 y2 14上，且 | PA PB | 2| PH |.因为点 P 是圆 C2： (x 3)2 (
12、y 4)2 1 上的动点，所以 5 32| PH |5 32，即 72| PH | 132 ，所以 72| PH |13 ，从而 | PA PB |的取值范围是 7,13 答案： 7,13 10过点 M(1,2)的直线 l 与圆 C： (x 3)2 (y 4)2 25 交于 A， B 两点， C 为圆心，当 ACB 最小时，直线 l 的方程是 _ 解析 ：由题意知，当 ACB 最小时，圆心 C(3,4)到直线 l 的距离达到最大，此时直线 l与直线 CM 垂直，又直线 CM 的斜率为 4 23 1 1，所以直线 l 的斜率为 11 1，因此所求的直线 l 的方程是 y 2 (x 1)，即 x
13、y 3 0. 答案： x y 3 0 二、解答题 11 (2018 河南中原名校联考 )已知圆 C 的方程为 x2 (y 4)2 1，直线 l 的方程为 2x y 0，点 P 在直线 l 上，过点 P 作圆 C 的切线 PA， PB，切点为 A， B. (1)若 APB 60 ，求点 P 的坐标； (2)求证：经过 A， P， C(其中点 C 为圆 C 的圆心 )三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标 解： (1)由条件可得圆 C 的圆心坐标为 (0,4)， PC 2，设 P(a， 2a)，则 a2 ?2a 4?22，解得 a 2 或 a 65，所以点 P 的坐标为 (2,4)或 ? ?65
14、， 125 . (2)证明：设 P(b,2b)，过点 A， P， C 的圆即是以 PC 为直径的圆，其方程为 x(x b)(y 4)(y 2b) 0，整 理得 x2 y2 bx 4y 2by 8b 0， 即 (x2 y2 4y) b(x 2y 8) 0. 由? x2 y2 4y 0，x 2y 8 0 得 ? x 0，y 4 或 ? x 85，y 165 ， 该圆必经过定点 (0,4)和 ? ?85， 165 . 12 (2016 江苏高考 )如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 M 为圆心的圆 M： x2y2 12x 14y 60 0 及其上一点 A(2,4) =【 ;精品教育资源文库
15、】 = (1)设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 x 6 上，求圆 N 的标准方程； (2)设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B， C 两点，且 BC OA，求直线 l 的方程； (3)设点 T(t,0)满足：存在圆 M 上的两点 P 和 Q，使得 TA TP TQ ，求实数 t 的取值范围 解：圆 M 的标准方程为 (x 6)2 (y 7)2 25， 所以圆心 M(6,7)，半径为 5. (1)由圆心 N 在直线 x 6 上，可设 N(6， y0) 因为圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切， 所以 0 y0 7，圆 N 的半径为 y0，从而 7 y0 5 y0，解得 y0 1. 因此，圆 N 的标准方程为 (x 6)2 (y 1)2 1. (2) 因为直线 l OA， 所以直线 l 的斜率为 4 02 0 2. 设直线 l 的方程为 y 2x m， 即 2x y m 0， 则圆心 M 到直线 l 的距离
