1、 第 11章 算法、复数、 推理与证明 11.5 数学归纳法 基础知识过关 知识梳理 数学归纳法的定义 一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行： 1 ( 归纳奠基 ) 证明当 n 取第一个值 n0( n0 N*) 时命题成立； 2 ( 归纳递推 ) 假设 n k ( k n0， k N*) 时命题成立，证明当 n 时命题也成立 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0开始的所有正整数 n 都成立，上述证明方法叫做数学归纳法 k 1 诊断自测 1 概念思辨 ( 1 ) 用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当 n 1 时结论成立 ( ) ( 2 ) 不论是等式还是不等式，用
2、数学归纳法证明时，由 n k 到 n k 1 时，项数都增加了一项 ( ) ( 3 ) 用数学归纳法证明等式： 1 2 3 ? n2n4 n22( n N*) 时，从 n k 到 n k 1 左边应添加的项为 ( k 1)2.( ) ( 4 ) 用数学归纳法证明等式 “ 1 2 22 ? 2n 2 2n 3 1 ” ，验证 n 1 时，左边式子应为 1 2 22 23.( ) 2 教材衍化 ( 1 ) ( 选修 A2 2P99B 组 T1) 在应用数学归纳法证明凸 n边形的对角线为12n ( n 3) 条时，第一步检验 n 等于 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 解析 三角形是边数最少的
3、凸多边形，故第一步应检验 n 3. 故选 C. ( 2 ) ( 选修 A2 2P96T1) 用数学归纳法证明不等式 1 1214 ? 12n 112764( n N*) 成立时，其初始值至少应取 ( ) A 7 B 8 C 9 D 10 解析 左边 1 1214 ? 12n 1 1 12n1 12 2 12n 1 ，代入验证可知 n 的最小值是 8. 故选 B. 3 小题热身 ( 1 ) 已知 f ( n ) 1n1n 11n 2 ? 1n2，则 ( ) A f ( n ) 中共有 n 项，当 n 2 时， f ( 2 ) 1213B f ( n ) 中共有 n 1 项，当 n 2 时， f ( 2 ) 121314C f ( n ) 中共有 n2 n 项，当 n 2 时， f ( 2 ) 1213D f ( n ) 中共有 n2 n 1 项，当 n 2 时， f ( 2 ) 121314解析 分母为首项为 n ，公差为 1 的等差数列，故 f ( n )共有 n2 n 1 项，当 n 2 时，1n12，1n2 14，故 f ( 2 ) 121314. 故选 D.
