1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时达标检测 (二十三） 正弦定理和余弦定理 练基础小题 强化运算能力 1在 ABC 中，若 sin Aa cos Bb ，则 B 的值为 _ 解析：由正弦定理知， sin Asin A cos Bsin B， sin B cos B， B 45. 答案： 45 2在 ABC 中，已知 AB 3， A 120 ，且 ABC 的面积为 15 34 ，则 BC _. 解析：由 S ABC 15 34 得 123 ACsin 120 15 34 ，所以 AC 5， 因此 BC2 AB2 AC2 2AB ACcos 120 9 25 235 12 49，解得 BC 7
2、. 答案： 7 3在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 asin A bsin B csin C，则 ABC 的形状是 _ 解析：根据正弦定理可得 a2 b2 c2.由余弦定理得 cos C a2 b2 c22ab 0，故 C是钝角即 ABC 是钝角三角形 答案：钝角三角形 4已知在 ABC 中， sin A sin B sin C 3 5 7，那么这个三角形的最大内角的大小为 _ 解析：由 sin A sin B sin C 3 5 7 知，三角形的三边之比 a b c 3 5 7，最大的角为 C.由余弦定理得 cos C 12， C 120. 答案： 12
3、0 5在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c.已知 ABC 的面积为 3 15， b c 2， cos A 14，则 a 的值为 _ 解析：在 ABC 中，由 cos A 14可得 sin A 154 ， 所以有? 12bc 154 3 15，b c 2，a2 b2 c2 2bc ? ? 14 ，解得? a 8，b 6，c 4.=【 ;精品教育资源文库 】 = 答案： 8 练常考题点 检验高考能力 一、填空题 1在 ABC 中，若 sin Csin A 3， b2 a2 52ac，则 cos B 的值为 _ 解析：由题意知， c 3a， b2 a2 52ac c2
4、 2accos B，所以 cos Bc2 52ac2ac 9a2 152a26a2 14. 答案： 14 2在 ABC 中，三内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，面积为 S，若 S a2 (b c)2，则 cos A _. 解析：由 S a2 (b c)2，得 a2 b2 c2 2bc14sin A 1，由余弦定理可得 14sin A 1 cos A，结合 sin2A cos2A 1，可得 cos A 1517或 cos A 1(舍去 ) 答案： 1517 3 (2018 苏州实验中学模拟 )在 ABC 中，已知 b 40， c 20， C 60 ，则此三角形的解的情况是 _
5、(填 “ 有一解 ” 、 “ 有两解 ” 、 “ 无解 ”) 解析：由正弦定理得 bsin B csin C， sin B bsin Cc 40 3220 3 1. 角 B 不存在，即满足条件的三角形不存在 答案：无解 4 (2018 南京模拟 )已知 ABC 中，内角 A， B， C 所对边长分别为 a， b， c，若 A 3 ，b 2acos B， c 1，则 ABC 的 面积为 _ 解析 ： 由正弦定理得 sin B 2sin Acos B， 故 tan B 2sin A 2sin 3 3， 又 B (0， )， 所以 B 3 ， 又 A 3 B，则 ABC 是正三角形， =【 ;精品教
6、育资源文库 】 = 所以 S ABC 12bcsin A 1211 32 34 . 答案： 34 5 (2018 昆山模拟 )在 ABC 中，若 a2 b2 3bc 且 A Bsin B 2 3，则 A_. 解析：因为 A Bsin B 2 3，故 sin Csin B 2 3，即 c 2 3b，则 cos A b2 c2 a22bc 12b2 3bc4 3b2 6b24 3b232 ，所以 A6. 答案： 6 6已知 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 c bc a sin Asin C sin B，则 B_. 解析：根据正弦定理 asin A bsin B c
7、sin C 2R，得 c bc a sin Asin C sin B ac b，即 a2 c2 b2 ac，所以 cos B a2 c2 b22ac 12，故 B3. 答案： 3 7在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c，若 c 1， B 45 ， cos A 35，则 b _. 解析：因为 cos A 35，所以 sin A 1 cos2A 1 ? ?35 2 45，所以 sin C sin180 (A B) sin(A B) sin Acos B cos Asin B 45cos 45 35sin 45 7 210 .由正弦定理 bsin B csin C，得
8、b 17 210sin 45 57. 答案： 57 8 (2017 浙江高考 )已知 ABC， AB AC 4， BC 2.点 D 为 AB 延长线上一点， BD 2，连结 CD，则 BDC 的面积是 _， cos BDC _. 解析：在 ABC 中， AB AC 4， BC 2，由余弦定理得 cos ABC AB2 BC2 AC22AB BC =【 ;精品教育资源文库 】 = 42 22 42242 14， 则 sin ABC sin CBD 154 ， 所以 S BDC 12BD BCsin CBD 1222 154 152 . 因为 BD BC 2，所以 CDB 12 ABC， 则 co
9、s CDB cos ABC 12 104 . 答案： 152 104 9在 ABC 中， a 4， b 5， c 6，则 sin 2Asin C _. 解析：由正弦定理得 sin Asin C ac，由余弦定理得 cos A b2 c2 a22bc ， a 4， b 5， c 6， sin 2Asin C 2sin Acos Asin C 2 sin Asin Ccos A 2 ac b2 c2 a22bc 24652 62 42256 1. 答案： 1 10在 ABC 中， B 120 ， AB 2， A 的角平分线 AD 3，则 AC _. 解析：如图，在 ABD 中，由正弦定理，得 AD
10、sin B ABsin ADB， sin ADB 22 . 由题意知 0 ADB 60 ， ADB 45 ， BAD 180 45 120 15. BAC 30 ， C 30 ， BC AB 2. 在 ABC 中，由正弦定理，得 ACsin B BCsin BAC， AC 6. 答案： 6 二、解答题 11 (2018 苏南三市联考 )在 ABC 中， a， b， c 分别为内角 A， B， C 的对边，且 asin B bsin? ?A 3 . (1)求 A； (2)若 ABC 的面积 S 34 c2，求 sin C 的值 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解： (1) asin B bsi
11、n? ?A 3 ， 由正弦定理得 sin Asin B sin Bsin? ?A 3 ，则 sin A sin? ?A 3 ， 即 sin A 12sin A 32 cos A， 化简得 tan A 33 ， A (0， )， A 56 . (2) A 56 ， sin A 12， 由 S 12bcsin A 14bc 34 c2， 得 b 3c， a2 b2 c2 2bccos A 7c2，则 a 7c， 由正弦定理得 sin C csin Aa 714. 12 (2017 天津高考 )在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c.已知 a b，a 5， c 6， s
12、in B 35. (1)求 b 和 sin A 的值； (2)求 sin? ?2A 4 的值 解： (1)在 ABC 中，因为 a b， 故由 sin B 35，可得 cos B 45. 由已知及余弦定理，得 b2 a2 c2 2accos B 13， 所以 b 13. 由正弦定理 asin A bsin B，得 sin A asin Bb 3 1313 . 所以 b 的值为 13， sin A 的值为 3 1313 . (2)由 (1)及 a c，得 cos A 2 1313 ， 所以 sin 2A 2sin Acos A 1213， cos 2A 1 2sin2A 513. =【 ;精品教育资源文库 】 = 故 sin? ?2A 4 sin 2Acos 4 cos 2Asin 4 22 ? ?1213 513 7 226 .
