1、5.2 双群扩散理论双群扩散理论所谓双群就是把堆内中子按能量分成两群：所谓双群就是把堆内中子按能量分成两群：热群、快群热群、快群分界能分界能Ec：0.61eV(水堆水堆)、2.5eV(高温气冷堆高温气冷堆)。Ec以下是以下是热群，热群，Ec以上是快群。以上是快群。 大量实践证明，对热中子反应堆，双群理论就可以得到大量实践证明，对热中子反应堆，双群理论就可以得到满意的计算结果满意的计算结果。 双群理论一般需要数值方法求解，但一些简单的问题，双群理论一般需要数值方法求解，但一些简单的问题，如如裸堆和只在一个方向有反射层的反应堆，双群理论也可以得裸堆和只在一个方向有反射层的反应堆，双群理论也可以得到
2、解析解。到解析解。 先利用双群理论解析求解一侧有反射层的反应堆并讨论其先利用双群理论解析求解一侧有反射层的反应堆并讨论其应用。然后，再介绍多群扩散方程数值求解方法。应用。然后，再介绍多群扩散方程数值求解方法。5.2.1 双群方程双群方程快群中子通量密度快群中子通量密度热群中子通量密度热群中子通量密度Ec ，E0分别为裂变中子的最高能量和分界能，分别为裂变中子的最高能量和分界能，?1 ?2的下标的下标1和和2 分别代表分别代表快群和热群。快群和热群。p芯部双群扩散方程芯部双群扩散方程 在热堆中，在热堆中，快群中子主要热中子引起的裂变产生，它又快群中子主要热中子引起的裂变产生，它又通过慢化吸收和泄
3、漏而消失；热中子来源于快中子的慢化，通过慢化吸收和泄漏而消失；热中子来源于快中子的慢化，并通过吸收和泄漏消失并通过吸收和泄漏消失。 则根据多群扩散方程（则根据多群扩散方程（5-12），堆芯稳态时，快群和），堆芯稳态时，快群和热群的扩散方程为：热群的扩散方程为：ccEEEdEErrdEErr021),()(),()(0)195()()()()185()()(1)()(, 1,21,2,2,22,2,2,2, 1, 1, 1, 12, 1rrrDrrkrrDccccaccccfccfeffccrcc式中r,c=a1,c+12， r,c ?1，c代表单位时间体积内由于吸收代表单位时间体积内由于吸收和
4、散射作用而和散射作用而“移出移出”快群的中子数。快群的中子数。 p反射层双群扩散方程反射层双群扩散方程 根据多群扩散方程（根据多群扩散方程（5-12），堆芯），堆芯稳态稳态时热群扩散方程为：时热群扩散方程为：)215()()()()205(0)()(, 1,21,2,2,22,2, 1, 12, 1rrrDrrDrrrrarrrrrrr0)()()(0)()(, 1, 2, 21, 22, 2, 22, 12, 1, 12rDrkrrkrrrrcrrrrr其中：其中：2,2,22,2,1,2,11rrrarrrrrLDkDk这里这里r,r 反射层的快中子移出截面，上面方程可改写为：反射层的快中
5、子移出截面，上面方程可改写为：5.2.2 双群方程的解双群方程的解p 芯部方程的解芯部方程的解 这里先讨论双群方程的解析求解，由方程（这里先讨论双群方程的解析求解，由方程（5-19）得：）得：代入（代入（5-18）便得到热群中子通量密度的四阶偏微分方程：）便得到热群中子通量密度的四阶偏微分方程：其中：其中：)()(1)(,2,2,22,2,21, 1rrDrccacccc0)(1)(11)(,22,222,24rLkrLrccccccceffacfctccfcrctcaccctcckkkDLD1)()(2, 2, 1, 21, 1, 1, 2, 22, 1, 1采用因式分解法得采用因式分解法得
6、 (5-26)同理，若消去同理，若消去 2,c,可得可得 (5-27)式中式中对于临界反应堆，对于临界反应堆，k 大于大于1， 2、 2为正的实数。由为正的实数。由(5-26)及及(5-27)看出，看出， 1,c及及 2,c均满足波动方程均满足波动方程其中其中B2等于等于 2、- 2。下面用。下面用-B2 代替代替 2 ，联立解，联立解(5-18)、(5-19)可得双群扩散理论的有效增殖因子可得双群扩散理论的有效增殖因子:0, 22222c0, 12222c2222222222)1(4111121)1(4111121ccccccccccccLkLLLkLL022B)()()(,22,2,2,
7、1,21,2,2, 1, 1caccrcccfcrccfeffBDBDBDk如果假设快群不发生裂变，则如果假设快群不发生裂变，则 f1,c=0，则上式可，则上式可简化为双群简化为双群临界方程临界方程的形式的形式: 其中其中方程方程(5-26)及及(5-27)的解是下列两个波动方程组解的线性组合的解是下列两个波动方程组解的线性组合其解其解X, Y一般都是由两个独立的函数组成。利用中心处中子一般都是由两个独立的函数组成。利用中心处中子通量密度对称性和有限性，两个函数通常只有一个可用。通量密度对称性和有限性，两个函数通常只有一个可用。1)1)(1 (222BBLkkcceffcacrcfck,2,2
8、,21)(0)()(0)()(2222rYrYrXrX因而，因而， 1,c, 2,c的一般的一般解可写为解可写为这里这里A,C, A, C为为4个个待定常数。待定常数。X, Y的解可以参看的解可以参看表表5-1。可以证明上述可以证明上述4个个待定待定常数中只有两个是独立常数中只有两个是独立的的)()()()()()(, 2, 1rYCrXArrCYrAXrcc)()()()(, 2, 1rXArrAXrcc和都是方程的允许解，因而都是方程的允许解，因而根据方程根据方程(5-19)可得可得)()()(22, 22rXArXArc)()()(, 21, 22, 2rAXrXArXADccac令令
9、s1=A/A，由上式可得，由上式可得同理可求得同理可求得s1、s2叫做耦合系数，其值由芯部材料性质决定叫做耦合系数，其值由芯部材料性质决定，不是任意，不是任意规定的。因此：待定常数规定的。因此：待定常数A,C, A, C中只有两个是独立的。中只有两个是独立的。芯部中子通量密度的普遍解为：芯部中子通量密度的普遍解为：2,2,2,2122,2,21111ccaccccDLDAAs2, 2, 2, 2122, 2, 21211ccaccccDLDCCs)()(),()()(),(21, 2, 1rCYsrAXszrrCYrAXzrcc式中：式中：A,C为待定常数，可以由边界条件确定为待定常数，可以由
10、边界条件确定。 对于侧面带有反射层的圆柱形反应堆，根据表对于侧面带有反射层的圆柱形反应堆，根据表5-1它的它的中子通量密度可以写为：中子通量密度可以写为：其中其中zBrCIsrAJszrzBrCIrAJzrzczccos)()(),(cos)()(),(0201,200, 122222222;HBBBzzzp反射层方程的解反射层方程的解齐次方程齐次方程(5-22) ，解为，解为不同形状仅在一个坐标方向有反射层的堆芯不同形状仅在一个坐标方向有反射层的堆芯Z1(r)列于表列于表5-1。方程方程(5-23)为非齐次方程，解可写为为非齐次方程，解可写为 s3为反射层的耦合系数，上式代入（为反射层的耦合
11、系数，上式代入（5-23）得）得)235(0)()()()225(0)()(, 1, 2, 21, 22, 2, 22, 12, 1, 12rDrkrrkrrrrcrrrrr)()(1, 1rFZrr)()()()(),(132, 132, 2rFZsrGZrsrGZzrrr2, 12,2,2,213, 12, 1, 12, 1,2,21, 12,23, 1231)()(0)()()(rrrrrrrrrrrrrkkDsrkrrDrksrs，代入上式并整理得：由于对于侧面带无限厚度反射层的圆柱形反应堆，反射层中子对于侧面带无限厚度反射层的圆柱形反应堆，反射层中子通量密度为：通量密度为：zBrkG
12、KzrzBrkFKzrzrrzrrcos)(),(cos)(),(, 20, 2, 10, 12222, 2, 2222, 1, 12;HBBkkBkkzzrrzrr5.2.3 双群临界方程及中子通量密度分布双群临界方程及中子通量密度分布p 双群临界方程双群临界方程 前面我们求出的芯部和反射层中子通量密度的解含有四个前面我们求出的芯部和反射层中子通量密度的解含有四个待定常数待定常数A、C、F、G,它们由双群临界方程的四个边界条它们由双群临界方程的四个边界条件来确定件来确定利用利用(5-40),(5-41),(5-42),(5-43),根据边界条件得下列方程根据边界条件得下列方程,2,2,2,2
13、,1,1,1,1,2,2,1,1rrccrrccrcrcDDDD 0000221232111213211ZGZFsYCsXAsZFYCXAZGZFsYCsXAsZFYCXA其中其中 以上线性方程有非零解的条件是，其系数行列式判别式须以上线性方程有非零解的条件是，其系数行列式判别式须为零，即：为零，即：这便是双群理论解这便是双群理论解一个坐标方向一个坐标方向有反射层反应堆的双群临界有反射层反应堆的双群临界方程方程，它给出了一个临界反应堆所必须满足的条件。，它给出了一个临界反应堆所必须满足的条件。crcrDDDD, 2, 22, 1, 11, 000221322111213211ZZsYsXsZYXZZsYsXsZYXp中子通量密度分布中子通量密度分布 芯部及反射层内快中子通量密度分布已由前面给出，而芯部及反射层内快中子通量密度分布已由前面给出，而待定常数待定常数A、C、F、G之间的比例关系由线性方程（之间的比例关系由线性方程（5-40）-（5-48）给出，若要得到中子通量密度分布的具体数值还）给出，若要得到中子通量密度分布的具体数值还需要反应堆的运行功率。中子通量密度分布如图所示。需要反应堆的运行功率。中子通量密度分布如图所示。
