1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 5.3 平面向量的平行与垂直及平面向量的应用 考纲解读 考点 内容解读 要求 五年高考统计 常考题型 预测热度 2013 2014 2015 2016 2017 1.平面向量的平行与垂直 1.平面向量平行与垂直的判断 2.平面向量平行与垂直关系的应用 B 填空题 解答题 2.平面向量的综合应用 1.与解三角形相结合 2.与函数、不等式相结合 B 填空题 解答题 分析解读 平面向量的平行与垂直是平面向量中的重要内容 ,一般与三角函数、解三角形等 知识交汇考查 . 五年高考 考点一 平面向量的平行与垂直 1.(2017课标全国 文 ,13,5 分 )已知向量 a=
2、(-1,2),b=(m,1).若向量 a+b与 a垂直 ,则 m= . 答案 7 2.(2016课标全国 ,13,5 分 )已知向量 a=(m,4),b=(3,-2),且 ab, 则 m= . 答案 -6 3.(2016山东 ,13,5分 )已知向量 a=(1,-1),b=(6,-4).若 a(ta+b), 则实数 t的值为 . 答案 -5 4.(2016课标全国 ,13,5 分 )设向量 a=(x,x+1),b=(1,2),且 ab, 则 x= . 答案 - 5.(2014湖北 ,11,5分 )设向量 a=(3,3),b=(1,-1).若 (a+b)(a -b), 则实数 = . 答案 3
3、考点二 平面向量的综合应用 1.(2017浙江 ,15,5分 )已知向量 a,b满足 |a|=1,|b|=2,则 |a+b|+|a-b|的最小值是 ,最大值是 . 答案 4;2 2.(2015福建改编 ,9,5分 )已知 ,| |= ,| |=t.若点 P是 ABC 所在平面内的一点 ,且 = + ,则 的最大 值等于 . 答案 13 3.(2013福建理改编 ,7,5分 )在四边形 ABCD中 , =(1,2), =(-4,2),则该四边形的面积为 . 答案 5 4.(2014陕西 ,18,12分 )在直角坐标系 xOy中 ,已知点 A(1,1),B(2,3),C(3,2),点 P(x,y)
4、在 ABC 三边围成的区域 (含边界 )上 . (1)若 + + =0,求 | |; =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)设 =m +n (m,nR), 用 x,y 表示 m-n,并求 m-n的最大值 . 解析 (1)解法一 : + + =0, 且 + + =(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y), 解得 x=2,y=2, 即 =(2,2),故 | |=2 . 解法二 : + + =0, 即 ( - )+( - )+( - )=0, = ( + + )=(2,2), | |=2 . (2) =m +n ,(x,y)=(m+2n,2m+n), 两式
5、相减得 ,m-n=y-x, 令 y-x=t,由图知 ,当直线 y=x+t过点 B(2,3)时 ,t 取得最大值 1,故 m-n的最大值为 1. 三年模拟 A组 2016 2018 年模拟 基础题组 考点一 平面向量的平行与垂直 1.(2017江苏南京学情检测 ,6)设向量 a=(1,-4),b=(-1,x),c=a+3b.若 ac, 则 实数 x 的值是 . 答案 4 2.(2017江苏徐州沛县中学质检 ,11)已知向量 a=(x-1,2),b=(4,y),若 ab, 则 16x+4y的 最小值为 . 答案 8 3.(2017江苏无锡期末 ,7)已知向量 a=(2,1),b=(1,-1),若
6、a-b与 ma+b垂直 ,则 m的值为 . 答案 4.(2018江苏淮安、宿迁高三 (上 )期中 )设 ABC 的内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,向量 m=(a, b),n=(sin B,-cos A),且 mn. =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)求 A的大小 ; (2)若 |n|= ,求 cos C的值 . 解析 (1)mn, mn=asin B - bcos A=0, sin Asin B - sin Bcos A=0, 又 sin B0, tan A= , A(0, ), A= . (2)|n|= = , sin 2B+ = , 解得 sin2B= , B(0, ),
7、 sin B= , 当 B为锐角时 ,cos B= = , cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B=- + = , 当 B为钝角时 ,cos B=- , cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B=- + = , 综上 ,cos C的值为 或 . 5.(2018江苏无锡高三期中 )已 知 a=(-3,1),b=(1,-2),c=(1,1). (1)求 a与 b的夹角的大小 ; (2)若 c(a+kb), 求 k的值 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 (1)设 a与 b的夹角为 , 因为 cos = = =- ,0
8、, 所以 = . 即 a与 b的夹角为 . (2)a+kb=(-3+k,1-2k). 因为 c(a+kb), 所以 1-2k+3-k=0, 解得 k= . 考点二 平面向量的综合应用 6.(苏教必 4,二 ,5,变式 )在 ABC 中 ,有如下命题 ,其中正确的是 . - = ; + + =0; 若 ( + )( - )=0,则 ABC 为等腰三角形 ; 若 0,则 ABC 为锐角三角形 . 答案 7.(苏教必 4,二 ,5,变式 )如图 ,ABC 是边长为 2 的等边三角形 ,P是以 C为圆心 ,1为半径的圆上的任意一点 ,则 ( )min= . 答案 1 8.(苏教必 4,二 ,5,变式
9、)如图所示 ,点 O为 ABC 的外心 ,以 OA、 OB为邻边作平行四边形 ,第四个顶点为 D,再以OC、 OD 为邻边作平行四边形 ,它的第四个顶点为 H. (1)若 =a, =b, =c, =h,用 a、 b、 c表示 h; (2)证明 ; (3)若 ABC 中 ,BAC=60,ABC=45, 外接圆的半径为 R,用 R表示 |h|. 解析 (1)由向量加法的平行四边形法则可得 = + =a+b, =【 ;精品教育资源文库 】 = = + =c+a+b,h=a+b+c. (2)证明 : 点 O是 ABC 的外心 , | |=| |=| |, 即 |a|=|b|=|c|. 而 = - =h
10、-a=b+c, = - =b-c, =(b+c)(b -c)=|b|2-|c|2=0. . (3)在 ABC 中 ,O 是外心 ,BAC=60,ABC=45, BOC=120, AOC=90. 于是 AOB=150. |h|2=hh=(a+b+c)(a+b+c) =|a|2+|b|2+|c|2+2ab+2ac+2bc =3R2+2|a|b|cos 150+2|a|c|co s 90+2|b|c|cos 120 =3R2- R2-R2=(2- )R2. |h |= R. 9.(2017江苏镇江一模 ,15)已知向量 m=(cos ,-1),n=(2,sin ),其中 ,且 mn. (1)求 co
11、s 2 的值 ; (2)若 sin( - )= ,且 ,求角 的值 . 解析 (1)由 mn 得 ,2cos -sin =0,sin =2cos , 代入 cos2 +sin2 =1,得 5cos2 =1, 因为 , 所以 cos = , 则 cos 2=2cos 2 -1=2 -1=- . (2)由 (1)可得 sin = ,由 , ,得 - . 因为 sin( -)= ,所以 cos( -)= . 所以 sin =sin -( -)=sin cos( -) -cos sin( -) =【 ;精品教育资源文库 】 = = - = , 因为 ,所以 = . B组 2016 2018 年模拟 提
12、升题组 (满分 :20分 时间 :10分钟 ) 一、填空题 (每小题 5分 ,共 5分 ) 1.(2017江苏南京、盐城二模 ,11)在 ABC 中 ,BAC=120,AB=4. 若点 D在边 BC上 ,且 =2 ,AD= ,则 AC的长为 . 答案 3 二、解答题 (共 15分 ) 2.(2018江苏台东安丰高级中学月考 )平面直角坐标系 xOy中 ,已知向量 =(6,1), =(x,y), =(-2,-3),且 . (1)若 M(1,1),N(y+1,2),y0,2, 求 的范围 ; (2)若 ,求四边形 ABCD的面积 . 解析 (1) = + + =(x+4,y-2), =(x,y),
13、 因为 ,所以 (x+4)y-(y-2)x=0. 即 x+2y=0. =(x+1)y=(-2y+1)y=-2y2+y=-2 + ,y0,2, 所以 的取值范围是 . (2) = + =(x+6,y+1), = + =(x-2,y-3), 因为 , 所以 (x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0, 即 x2+y2+4x-2y-15=0, 由 解得 或 =【 ;精品教育资源文库 】 = 当 时 , =(8,0), =(0,-4). S 四边形 ABCD= |AC|BD|=16, 当 时 , =(0,4), =(-8,0), S 四边形 ABCD= |AC|BD|=16. 综上 ,四边形 AB
14、CD的面积为 16. C组 2016 2018 年模拟 方法题组 方法 平面向量与三角函数综合问题的解决方法 (2017江苏南京模拟 ,16)已知向量 a=(2cos ,sin 2),b=(2sin ,t), . (1)若 a-b= ,求 t 的值 ; (2)若 t=1,且 ab=1, 求 tan 的值 . 解析 (1)因为向量 a=(2cos ,sin 2),b=(2sin ,t), 且 a-b= ,所以 cos -sin = ,t=sin2. 由 cos -sin = 得 (cos -sin ) 2= , 即 1-2sin cos = ,从而 2sin cos = . 所以 (cos +sin ) 2=1+2sin cos = . 因为 ,所以 cos +sin = . 所以 sin = = , 从而 t=sin2= . (2)因为 t=1,且 ab=1, =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 4sin cos +sin 2=1, 即 4sin cos =cos 2. 因为 ,所以 cos 0, 从而 tan = . 所以 tan 2= = . 所以 tan = = = .
