1、1第3章 时域分析法时域分析法31 时域分析基础32 一、二阶系统分析与计算33 系统稳定性分析34 稳态误差分析计算基本要求2 基本要求基本要求1 熟练掌握一、二阶系统的数学模型和阶跃响应的特点。熟练计算性能指标和结构参数， 特别是一阶系统和典型欠阻尼二阶系统动态性能的计算方法。2 了解一阶系统的脉冲响应和斜坡响应的特点。3 正确理解系统稳定性的概念，能熟练运用稳定性判据判定系统的稳定性并进行有关的参数计算、分析。34正确理解稳态误差的概念，明确终值定理的应用条件。5熟练掌握计算稳态误差的方法。6掌握系统的型次和静态误差系数的概念。 4控制系统的数学模型是分析、研究和设计控制系统的基础，经典
2、控制论中三种分析（时域，根轨迹，频域）、研究和设计控制系统的方法，都是建立在这个基础上的。53 31 1 时域分析基础时域分析基础 一、时域分析法的特点一、时域分析法的特点 它根据系统微分方程，通过拉氏变换，直接求出系统的时间响应。依据响应的表达式及时间响应曲线来分析系统控制性能，并找出系统结构、参数与这些性能之间的关系。 这是一种直接方法，而且比较准确，可以提供系统时间响应的全部信息。6二、典型初始状态，典型外作用二、典型初始状态，典型外作用1. 典型初始状态典型初始状态通常规定控制系统的初始状态为通常规定控制系统的初始状态为零零状态。状态。即在外作用加于系统之前，被控量及其各阶导数相对即在
3、外作用加于系统之前，被控量及其各阶导数相对于平衡工作点的增量为零，系统处于相对平衡状态。于平衡工作点的增量为零，系统处于相对平衡状态。72. 典型外作用典型外作用单位阶跃函数单位阶跃函数1(t)1(t)tf(t)f(t)0 0 = = =0t00t1)t (1)t (f其拉氏变换为：其拉氏变换为：s1dte1)s(F)t (fL0st= = = = - - 其数学表达式为：其数学表达式为：8t 单位斜坡函数单位斜坡函数0t0t0t)t (1t)t (f = =. .= =其拉氏变换为：其拉氏变换为：20sts1dtet)s(F)t (fL= = = = - -f(t)f(t)0 0 其数学表达
4、式为：其数学表达式为：9单位脉冲函数单位脉冲函数000)()(= = = = =ttttfd d 其数学表达式为：其数学表达式为：其拉氏变换为：其拉氏变换为：1)()(= = =sFtfL + - -= = 1)(dttd d定义：定义：图中1代表了脉冲强度。单位脉冲作用在现实中是不存在的，它是某些物理现象经数学抽象化的结果。10正弦函数正弦函数其拉氏变换为：其拉氏变换为：220sin)()(sdte tsFtfLst+ += = = = - -000sin)( = =ttttf 其数学表达式为：其数学表达式为：f(t)11三、典型时间响应q初状态为零的系统，在典型输入作初状态为零的系统，在典
5、型输入作用下输出量的动态过程，称为典型用下输出量的动态过程，称为典型时间响应。时间响应。121. 单位阶跃响应单位阶跃响应定义：系统在单位阶跃输入r(t)=1(t)作用下的响应，常用h(t)表示。( ) s若系统的闭环传函为 则h(t)的拉氏变换为1( )( )h tLH s-=故1( )( )( )( )H ssR sss= = (3 1 1)- -132. 单位斜坡响应单位斜坡响应定义：系统在单位斜坡输入r(t)=t1(t)作用下的响应，常用 表示。( )tc t故1( )( )ttc tLC s-=则有21( )( )( )( )tC ssR sss= = (3 1 2)- -143.
6、单位脉冲响应单位脉冲响应定义：系统在单位脉冲输入 r(t)=(t)作用下的响应，常用k(t)表示。注：关于正弦响应，将在第五章里讨论故11( )( )( )k tLK sLs-=( )( )( )( ) 1( )K ssR sss= = = (3 1 3)- -154.三种响应之间的关系三种响应之间的关系由式(3-1-3)可将式(3-1-1)和式(3-1-2)写为：11( )( )( )H ssK sss= =22111( )( )( )( )tC ssK sH ssss= =相应的时域表达式为0( )( )th tkd=0( )( )ttc thd=16四、阶跃响应的性能指标t)(th)(p
7、th1ptst误差带误差带0171、峰值时间、峰值时间tp：指：指h(t)曲线中超过其稳态值曲线中超过其稳态值而达到第一个峰值所需的时间。而达到第一个峰值所需的时间。2、超调量、超调量 ：指：指h(t)中对稳态值的最大超中对稳态值的最大超出量与稳态值之比。出量与稳态值之比。3、调节时间、调节时间ts：指响应曲线中，：指响应曲线中，h(t)进入稳态进入稳态值附近值附近 5%h( )或或 2%h( )误差带，而不再超误差带，而不再超出的最小时间。出的最小时间。4、稳态误差、稳态误差ess：指响应的稳态值与期望值之：指响应的稳态值与期望值之差。差。18一阶系统数学模型微分方程：微分方程：动态结构图：
8、动态结构图：传递函数：传递函数：)()()(trtcdttdcT= =+ +11)()(+ += =TssRsCTs1)(sR)(sC32 一、二阶系统分析与计算q定义：由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。定义：由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。一、一阶系统的数学模型及单位阶跃响应一、一阶系统的数学模型及单位阶跃响应19一阶系统单位阶跃响应输入：输入：输出：输出：)( 1)(ttr= =ssR1)(= =sTssRssC111)()()( + += = = = TtetC- - -= =1)(20单位阶跃响应曲线初始斜率：0( )1|tdh tdtT=211. 平稳性平稳性：2. 快速性
9、快速性ts：3.准确性准确性 ess：非周期、无振荡，非周期、无振荡， 0%595. 0)(3误差带误差带对应对应时，时，= = =tcTt%298. 0)(4误差带误差带对应对应时，时，= = =tcTt0)(1=-=cess22二阶系统数学模型二阶系统的微分方程一般式为：二阶系统的微分方程一般式为：-阻尼比无阻尼振荡频率无阻尼振荡频率- -n 2222( )( )2( )( )nnnd c tdc tc tr tdtdt+=(0)n二、二阶系统的数学模型及单位阶跃响应二、二阶系统的数学模型及单位阶跃响应l定义：由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。定义：由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统
10、。23二阶系统的反馈结构图二阶系统的传递函数开环传递函数：开环传递函数：222( )( )2nnnC sR sss=+2( )(2)nnG ss s=+闭环传递函数：闭环传递函数：2(2)nns s+)(sR)(sC24二阶系统的特征方程为二阶系统的特征方程为2220nnss+=解方程求得特征根：当输入为阶跃信号时，则微分方程解的形式为：12012( )s ts tc tAAeA e=+式中 为由r(t)和初始条件确定的待定的系数。 012,AAAs1,s2完全取决于完全取决于 ， n两个参数。两个参数。21,21nns= -25q此时此时s1,s2为为一对共轭复一对共轭复根，且位于根，且位于
11、复平面的左复平面的左半部。半部。01特征根分析 （欠阻尼）21,21nnssj= -26特征根分析 （临界阻尼）q此时此时s1,s2为为一对相等的一对相等的负实根。负实根。 s1=s2=- n21,21nnns= -= -1=27特征根分析 （过阻尼）q此时此时s1,s2为为两个负实根，两个负实根，且位于复平且位于复平面的负实轴面的负实轴上。上。21,21nns= -128特征根分析 （零阻尼）q此时此时s1,s2为为一对纯虚根，一对纯虚根，位于虚轴上。位于虚轴上。qS1,2= j n21,21nnnsj= -= 0=29特征根分析 （负阻尼）q此时此时s1,s2为一为一对实部为正的对实部为正
12、的共轭复根，位共轭复根，位于复平面的右于复平面的右半部。半部。21,21nnsj= -10- 30特征根分析 （负阻尼）q此时此时s1,s2为为两个正实根，两个正实根，且位于复平且位于复平面的正实轴面的正实轴上。上。21,21nns= -1 -31二阶系统单位阶跃响应21111/nnsT= -+-= -1.过阻尼过阻尼 二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应22211/nnsT= - = -21212111( )()()(1)(1)nC ss s s ssTsTss= =-+取C(s)拉氏反变换得：1211211211( )1,(0)/1/1ttTTh teetTTT T-= +-(3
13、1 4)- -(1)32过阻尼系统分析l衰减项的幂指数的绝对值一个大，一个小。绝衰减项的幂指数的绝对值一个大，一个小。绝对值大的离虚轴远，衰减速度快，绝对值小的对值大的离虚轴远，衰减速度快，绝对值小的离虚轴近，衰减速度慢；离虚轴近，衰减速度慢；l衰减项前的系数一个大，一个小；衰减项前的系数一个大，一个小；l二阶过阻尼系统的动态响应呈非周期性，没有二阶过阻尼系统的动态响应呈非周期性，没有振荡和超调，但又不同于一阶系统；振荡和超调，但又不同于一阶系统；l离虚轴近的极点所决定的分量对响应产生的影离虚轴近的极点所决定的分量对响应产生的影响大，离虚轴远的极点所决定的分量对响应产响大，离虚轴远的极点所决定
14、的分量对响应产生的影响小，有时甚至可以忽略不计。生的影响小，有时甚至可以忽略不计。33与一阶系统阶跃响应的比较t tc(t)c(t)0 0二阶过阻尼系统二阶过阻尼系统一阶系统响应一阶系统响应1 1过阻尼系统单位阶跃响应34二阶过阻尼系统阶跃响应指标分析0. 2= =响响应应没没有有振振荡荡 0)()(lim. 1= =- -= = tctretss误差误差对对于于过过阻阻尼尼二二阶阶系系统统的的响响应应指指标，标，只只着着重重讨讨论论 ，它它反反映映了了系系统统响响应应过过渡渡过过程程的的长长短，短，是是系系统统响响应应快快速速性性的的一一个个方方面，面，但但确确定定 的的表表达达式式是是很很
15、困困难难的，的，一一般般根根据据（314）取取相相对对量量 及及 经经计计算算机机计计算算后后制制成成曲曲线线或或表表格。格。352.欠阻尼欠阻尼 二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应(01)21,21nnsj= -dj - -= =222( )( )2nnnC sR sss=+n=为根的实部的模值；21dn=-为阻尼振荡角频率36二阶欠阻尼系统的输出2221( )2nnnc ssss=+22221()()nnndndssss+=-+拉氏反变换得：拉氏反变换得：21( )1sin(arccos )1ntdc tet-= -+-37二阶欠阻尼系统输出分析q二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应由稳
16、态分二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应由稳态分量和暂态分量组成。稳态分量值等于量和暂态分量组成。稳态分量值等于1，暂，暂态分量为衰减过程，振荡频率为态分量为衰减过程，振荡频率为d。38下图为二阶系统单位阶跃响应的通用曲线。39下面根据上图来分析系统的结构参数 、 对阶跃响应的影响nl平稳性（平稳性（ ）21nteA-=-暂态分量的振幅为：结论：结论： 越大，越大，d越小，幅值也越小，响应的越小，幅值也越小，响应的振荡倾向越弱，超调越小，平稳性越好。反之，振荡倾向越弱，超调越小，平稳性越好。反之， 越小，越小， d 越大，振荡越严重，平稳性越差。越大，振荡越严重，平稳性越差。21dn=-振荡角频率为：
17、40当当 0时，为零阻尼响应，具有频率为时，为零阻尼响应，具有频率为 的的不衰减（等幅）振荡。不衰减（等幅）振荡。n阻尼比和超调量的关系曲线如下图所示4121dn=-结论：对于二阶欠阻尼系统而言，结论：对于二阶欠阻尼系统而言， 大，大， 小，系统响应的平稳性好。小，系统响应的平稳性好。nl在在 一定的情况下，一定的情况下， 越大，振荡频率越大，振荡频率 也也越高，响应平稳性也越差。越高，响应平稳性也越差。nd42l快速性快速性从图中看出，对于5误差带，当 时，调节时间最短，即快速性最好。同时，其超调量5，平稳性也较好，故称 为最佳阻尼比。0.707=0.707=总结：总结： 越大，调节时间 越
18、短；当 一定时， 越大，快速性越好。 nstn43l稳态精度稳态精度21( )1sin(arccos )1ntdh tet-= -+-从上式可看出，瞬态分量随时间t的增长衰减到零，而稳态分量等于1，因此，上述欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应稳态误差为零。44欠阻尼二阶系统欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标单位阶跃响应性能指标1.上升时间上升时间 ：令 ，则st( )1rh t=211sin(arccos )11ntdet-+=-所以：arccosrdt-=45根据极值定理有：根据极值定理有：0)(= = =pttdttdc该项不可能为零该项不可能为零2sin1npt-21n ptne-0= =2.
19、峰值时间：峰值时间：pt462sin10npt-=21(0 1, 2)nptnn-=，取n=1得:21pdnt=-473.超调量：超调量：%将峰值时间 代入下式/pdt =21( )1sin(arccos )1ntdh tet-= -+-22/ 1/ 1max2( )( )1sin(arccos )11peh th te-= -+= +-所以:2/ 1()( )%100%100%( )ph theh-=484.调节时间调节时间st写出调节时间的表达式相当困难。在分析设计系统时，经常采用下列近似公式。当阻尼比 时0.83.5(snt=取5误差带）4.5(snt=取2误差带）49三、二阶系统举例q
20、设位置随动系统，其结构图如图所示，当给定输入为设位置随动系统，其结构图如图所示，当给定输入为单位阶跃单位阶跃时，试计算放大器增益时，试计算放大器增益KA200，1500，13.5时，输出位置响应特性的性能指标：峰值时间时，输出位置响应特性的性能指标：峰值时间tp，调节时间调节时间ts和超调量和超调量，并分析比较之。，并分析比较之。)5 .34(5+ +ssKARC50例题解析(1)l输入：单位阶跃输入：单位阶跃)(1)(ttr = =ssR1)(= =系统的闭环传递函数：系统的闭环传递函数：AAKssKs55 .345)(2+ + += = 51例题解析(2)当当KA 200时时10005 .
21、341000)(2+ + += =sss 系统的闭环传递函数：系统的闭环传递函数：与标准的二阶系统传递函数对照得：与标准的二阶系统传递函数对照得：34.50.5452n=20.121pdnt=-峰值时间：秒2113%e-=超调量： 3.00.17snt=调节时间：秒6 .311000 = = =n 1rad s-52例题解析(3)当当KA 1500时时75005 .3415005)(2+ + + = =sss 系统的闭环传递函数：系统的闭环传递函数：与标准的二阶系统传递函数对照得：与标准的二阶系统传递函数对照得：6 .867500 = = =n 34.50.22n=20.03784.851pn
22、t=-峰值时间：秒2152.7%e-=超调量： 3.00.17snt=调节时间：秒1rad s-53例题解析(4)当当KA 13.5时时5 .675 .345 .67)(2+ + += =sss 系统的闭环传递函数：系统的闭环传递函数：与标准的二阶系统传递函数对照得：与标准的二阶系统传递函数对照得：21. 85 .67= = =n 34.52.12n=?= =pt峰值时间：峰值时间：0= =超调量：超调量： 1(6.451.7)1.44snt=-=调节时间：秒无无1rad s-54系统在单位阶跃作用下的响应曲线c(t)c(t)1 10 0t tK KA A=1500=1500K KA A=20
23、0=200K KA A=13.5=13.555四四 改善二阶系统响应的措施改善二阶系统响应的措施1.误差信号的比例微分控制误差信号的比例微分控制56系统开环传函为：2(1)( )( )( )(2)ndnT sC sG sE ss s+=+闭环传函为：2222(1)( )( )( )(2)ndndnnT sC ssR ssTs+=+等效阻尼比：12ddnT=+可见，引入了比例微分控制，使系统的等效阻尼比可见，引入了比例微分控制，使系统的等效阻尼比加大了，从而抑制了振荡，使超调减弱，可以改善系加大了，从而抑制了振荡，使超调减弱，可以改善系统的平稳性。微分作用之所以能改善动态性能，因为统的平稳性。微
24、分作用之所以能改善动态性能，因为它产生一种早期控制（或称为超前控制），能在实际它产生一种早期控制（或称为超前控制），能在实际超调量出来之前，就产生一个修正作用。超调量出来之前，就产生一个修正作用。57前面图的相应的等效结构由此知道：12( )( )( )c tc tc t=+58和 及 的大致形状如下1( )c t2( )c t( )c t一方面，增加 项，增大了等效阻尼比 ，使 曲线比较平稳。另一方面，它又使 加上了它的微分信号 ，加速了c(t)的响应速度，但同时削弱了等效阻尼比 的平稳作用。dTd1( )c t1( )c t2( )c td59总结：引入误差信号的比例微分控制，能否真正总结
25、：引入误差信号的比例微分控制，能否真正改善二阶系统的响应特性，还需要适当选择微分时改善二阶系统的响应特性，还需要适当选择微分时间常数间常数 。若。若 大一些，使大一些，使 具有过阻尼的具有过阻尼的形式，而闭环零点的微分作用，将在保证响应特性形式，而闭环零点的微分作用，将在保证响应特性平稳的情况下，显著地提高系统的快速性。平稳的情况下，显著地提高系统的快速性。dTdT1( )c t602.输出量的速度反馈控制输出量的速度反馈控制将输出量的速度信号c(t)采用负反馈形式，反馈到输入端并与误差信号e(t)比较，构成一个内回路，称为速度反馈控制。如下图示。61闭环传函为：2222( )( )( )(2
26、)nntnnC ssR ssKs=+等效阻尼比：12ttnK=+等效阻尼比增大了，振荡倾向和超调量减小，改善了系统的平稳性。623.比例微分控制和速度反馈控制比较比例微分控制和速度反馈控制比较从实现角度看，比例微分控制的线路结构比较简单，成本低；而速度反馈控制部件则较昂贵。从抗干扰来看，前者抗干扰能力较后者差。从控制性能看，两者均能改善系统的平稳性，在相同的阻尼比和自然频率下，采用速度反馈不足之处是其会使系统的开环增益下降，但又能使内回路中被包围部件的非线性特性、参数漂移等不利影响大大削弱。63五五 高阶系统的时域分析高阶系统的时域分析定义：用高阶微分方程描述的系统称为高阶系统。由于求高阶系统
27、的时间响应很是困难，所以通常总是将多数高阶系统化为一、二阶系统加以分析。通常对于高阶系统来说，离虚轴最近的一个或两个闭环极点在时间响应中起主导作用，而其他离虚轴较远的极点，他们在时间响应中相应的分量衰减较快，只起次要作用，可以忽略。64这时，高阶系统的时域分析就转化为相应的一、二阶系统。这就是所谓的主导极点主导极点的概念，将在第四章中详细介绍。一、二阶系统的极点分布如下：65本节主要内容：本节主要内容：q线性定常系统稳定的概念线性定常系统稳定的概念q系统稳定的条件和稳定性的判定方法。系统稳定的条件和稳定性的判定方法。66一、系统稳定的概念q是指系统当扰动作用消失后，由初始偏差状态是指系统当扰动
28、作用消失后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能。恢复到原平衡状态的性能。q若系统能恢复平衡状态，就称该系统是稳定的，若系统能恢复平衡状态，就称该系统是稳定的，若系统在扰动作用消失后不能恢复平衡状态，若系统在扰动作用消失后不能恢复平衡状态，且偏差越来越大，则称系统是不稳定的。且偏差越来越大，则称系统是不稳定的。33 系统稳定性分析系统稳定性分析67l系统稳定的充分必要条件是：系统稳定的充分必要条件是：系统的特征方程的所有根都具有负实部，系统的特征方程的所有根都具有负实部，或者说都位于或者说都位于S平面的虚轴之左。平面的虚轴之左。注：拉氏变换性质中的终值定理的适用条件：注：拉氏变换性质中的终值定
29、理的适用条件： SE(S)在在S平面的右半平面解析，就是上面稳定条平面的右半平面解析，就是上面稳定条件的另一种表示，即特征方程的所有根件的另一种表示，即特征方程的所有根Si位于位于S平平面的虚轴之左。面的虚轴之左。68二、稳定性判据l劳斯劳斯(Routh)判据判据系统稳定的充分必要条件是：系统稳定的充分必要条件是：劳斯表劳斯表中第一列中第一列所有元素的计算值均大于零。所有元素的计算值均大于零。01110= =+ + + + +- - -nnnnasasasa若系统的特征方程为：若系统的特征方程为：69则劳思表中各项系数如下图：则劳思表中各项系数如下图：1302113aaaaac- -= =2-
30、 -ns1504123aaaaac- -= =1706133aaaaac- -= =3- -ns1323131314ccaacc- -= =1313351324cacacc- -= =2s1, 1- -nc1,2- -ncnc, 10snnac= =+ +1,1024611357 nnsaaaasaaaa-s70关于劳斯判据的几点说明l如果第一列中出现一个小于零的值，系统如果第一列中出现一个小于零的值，系统就不稳定；就不稳定；l如果第一列中有等于零的值，说明系统处如果第一列中有等于零的值，说明系统处于临界稳定状态；于临界稳定状态；l第一列中数据符号改变的次数等于系统特第一列中数据符号改变的次数
31、等于系统特征方程正实部根的数目，即系统中不稳定征方程正实部根的数目，即系统中不稳定根的个数。根的个数。71例1设系统特征方程如下：设系统特征方程如下：05432234= =+ + + + +ssss试用劳斯判据判断该系统的稳定性，并确试用劳斯判据判断该系统的稳定性，并确定正实部根的数目。定正实部根的数目。72解：解：特征方程特征方程4s1353s2402s24132 - - 1= =20152 - - 5= =01s15241 - - 6- -= =00s5+ +- - -+ +结论：系统不稳定；系统特征方程有两个正实部的根。结论：系统不稳定；系统特征方程有两个正实部的根。05432234=
32、=+ + + + +ssss73劳斯表判据的特殊情况劳斯表判据的特殊情况l在劳斯表的某一行中，第一列项为零。l在劳斯表的某一行中，所有元素均为零。 在这两种情况下，都要进行一些数学处理，原则是不影响劳斯判据的结果。74例例2设系统的特征方程为：设系统的特征方程为：0433=+- ss试用劳斯判据确定正实部根的个数。试用劳斯判据确定正实部根的个数。75解：解： 将特征方程系数列成劳斯表将特征方程系数列成劳斯表321 1 0 4s ss3由表可见，第二行中的第一列项为零，所以第三行的第一列项出现无穷大。为避免这种情况，可可用因子用因子(s+a)乘以原特征式，其中乘以原特征式，其中a可为任意正数可为
33、任意正数，这里取a=1。3340ss-+=76于是得到新的特征方程为：043) 1)(43(2343=+-+=+-sssssss将特征方程系数列成劳斯表：43210 1 3 4 1 14 4 2 4sssss-结论：第一列有两次符号变化，故方程有两个正实部根。77例例3 3设系统的特征方程为：设系统的特征方程为：试用劳思判据确定正实部根的个数。试用劳思判据确定正实部根的个数。65432237440ssssss+-=78解：解：将特征方程系数列成劳斯表将特征方程系数列成劳斯表65432237440ssssss+-=劳思表中出现全零行，表明特征方程中存在一些大小相等，但位置相反的根。这时，可用全零
34、行上一行的这时，可用全零行上一行的系数构造一个辅助方程，对其求导，用所得方程的系系数构造一个辅助方程，对其求导，用所得方程的系数代替全零行，继续下去直到得到全部劳思表。数代替全零行，继续下去直到得到全部劳思表。6543 1 -2 -7 -4s 1 -3 -4s 1 -3 -4s 0 0 0s79用 行的系数构造系列辅助方程 4s42F(s)=s34s-求导得：用上述方程的系数代替原表中全零行，然后按正常规则计算下去，得到3( )460dF sssds=-=806543210 1 -2 -7 -4s 1 -3 -4s 1 -3 -4s 4 -6 0s -1.5 -4 s -16.7 0s -4s
35、65432237440ssssss+-=6543 1 -2 -7 -4s 1 -3 -4s 1 -3 -4s 0 0 0s3( )460dF sssds=-=81表中的第一列各系数中，只有符号的变化，所以该特征方程只有一个正实部根。求解辅助方程，可知产生全零行的根为 。再可求出特征方程的其它两个根为 。(-1j 3)/22 , j82四四. .结构不稳定及改进措施结构不稳定及改进措施l某些系统，仅仅靠调整参数仍无法稳定，称结构不稳定系统结构不稳定系统。如下图液位可能控制系统。83消除结构不稳定的措施有两种 改变积分性质 引入比例微分控制，补上特征方程中的缺项。该系统的闭环特征方程为：32100
36、mpmT ssK K K K+=系数缺项，显然不满足系统稳定的必要条件，且无论怎么调整系统参数，都不能使系统稳定。841. 1. 改变积分性质改变积分性质 用反馈 包围积分环节或者包围电动机的传递函数，破坏其积分性质。 2010HXsKXssK K=+ 211mmmHXsKXsT ssK K=+852.引入比例微分控制引入比例微分控制在原系统的前向通路中引入比例微分控制。 20111mH sKsHssT sKs+=+86其闭环特征方程为：023=+KsKssTm由稳定的充分必要条件：引入比例微分控制后，补上了特征方程中s的一次项系数。只要适当匹配参数，满足上述条件，系统就可以稳定。221203
37、,0,0,0immaKDDa aa aKKTT=-m则T均大于零；故873 34 4 稳态误差分析计算稳态误差分析计算一一.误差与稳态误差误差与稳态误差系统的误差e(t)常定义为：e(t)=期望值实际值误差:(1) e(t)=r(t)-c(t)(2) e(t)=r(t)-b(t)88稳态误差定义：稳定系统误差的终值称为稳态系统。当时间t趋于无穷时，e(t)极限存在，则稳态误差为 teetss= lim二二.稳态误差的计算稳态误差的计算若e(t)的拉普拉斯变换为E(s) ，且0lim ( )lim( )sstsee tsE s=0lim ( ),lim( )tse tsE s存在，则有890li
38、m ( ),lim( )tse tsE s在计算系统误差的终值(稳态误差)时，遇到的误差的象函数 一般是s的有理分式函数，这时当且仅当 的极点均在左半面，就可保证( )sE s( )E s存在，式就成立。sE E(s)的极点均在左半面的条件中，蕴涵了闭环系统稳定的条件。0lim ( )lim( )sstsee tsE s=90对上述系统，若定义e(t)=r(t)-b(t),则E(s)=R(s)-B(s)( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )BRBNBRBNB ss R ss N sssB sN s= +其中为B(s)对R(s)的闭环传函，为对干扰信号的闭环传函。E( )( )
39、( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( )BRBNBRBNsR ss R ss N ss R ss N s=-从而得1-91121212( )( )( )1( )1( )1( )( )( )1( )( )( )BRERG s G s H sssG s G s H sG s G s H s= -= +1-称之为系统对输入信号的误差传递函数系统对输入信号的误差传递函数。212( )( )( )( )1( )( )( )BNENG s H sssG s G s H s= -+称 为系统对干扰的误差传递函数系统对干扰的误差传递函数。( )ENs000 lim( )lim( )lim( )s
40、sRNssrssnsssesE ssEssEsee=+=+若具备应用终值定理条件，则( )( ) ( )( )( )ERENE ss R ss N s= +综合上述各式有：92例：例：系统结构如下图。当输入信号r(t)=1(t),干扰n(t)=1(t)时，求系统的总的稳态误差sse解：解： 判别稳定性。由于是一阶系统，所以只要参数 大于零，系统就稳定。12,K K 求E(s)。( )( ) ( )( )( )ERENE ss R ss N s= +93根据结构图可以求出：121( )1( )ERssG ssK K=+212( )( )ENCNKsssK K-= -=+依题意：R(s)=N(s)
41、=1/s,则 应用终值定理得稳态误差sse94三三 输入信号作用下的稳态误差与系统结构参数的关系输入信号作用下的稳态误差与系统结构参数的关系l当系统只有输入当系统只有输入r(t)作用时，系统的开环传作用时，系统的开环传递函数为：递函数为：)(sGREC)(sHB)()()()(sHsGsEsB= =95将将G(s)H(s)写成典型环节串联形式：写成典型环节串联形式：为为积积分分环环节节的的个个数数。为为开开环环增增益益；式式中中， K当sE(s)的极点全部在s平面的左半平面时，可用终值定理求得：100000( )lim( )lim( )( )( )sssssD sesE sR ss D sKN
42、s+=+上式表明：系统的稳态误差除与输入有关外，只与系上式表明：系统的稳态误差除与输入有关外，只与系统的开环增益统的开环增益K和积分环节的个数有关。和积分环节的个数有关。220122221220( )(1)(21)( )( )(1)(21)( )KNsKsssG s H ss TsT sT ss D s +=+961.阶跃信号作用下的稳态误差)( 1)(0trtr = =srsR0)(= =Kress+ += = =100时，时，当当 01= = =sse时，时，当当 02= = =sse时，时，当当 要消除要消除阶跃信号阶跃信号作用下的作用下的稳态误差，开环传递函数稳态误差，开环传递函数中至
43、少要有一个积分环节。中至少要有一个积分环节。但是，积分环节多会导致但是，积分环节多会导致系统不稳定。系统不稳定。10000000000( )( )limlim( )( )( )( )sssssD srs D sres D sKNsss D sKNs+=+972. 斜坡信号作用下的稳态误差)( 1)(0ttVtr = =20)(sVsR= =0sse= 当时，KVess01= = = 时，时，当当 02= = =sse时，时，当当 要消除要消除斜坡信号斜坡信号作用下作用下的稳态误差，开环传递的稳态误差，开环传递函数中至少要有两个积函数中至少要有两个积分环节。分环节。1100002000000(
44、)( )limlim( )( )( )( )sssssD sVsD seVs D sKNsss D sKNs+-=+983.等加速信号作用下的稳态误差)( 12)(20ttatr = =30)(sasR= =0sse= 当时，1sse= 当时，Kaess02= = = 时，时，当当 要消除等加速信号作用下要消除等加速信号作用下的稳态误差，开环传递函的稳态误差，开环传递函数中至少要有三个积分环数中至少要有三个积分环节。节。但是，积分环节多会但是，积分环节多会导致系统不稳定。导致系统不稳定。1200003000000( )( )limlim( )( )( )( )sssssD sasD seas
45、D sKNsss D sKNs+-=+99由以上分析可见，要消除系统在幂函数输入信号作用下的稳态误差，则要求增加积分环节的数目，要减小系统的稳态误差，则要求提高开环增益。l系统型别是针对系统的系统型别是针对系统的开环传递开环传递函数中积函数中积分环节的个数而言的。分环节的个数而言的。 =的系统称为型系统；的系统称为型系统； 的系统称为的系统称为型系统；型系统； 的系统称为的系统称为型系统；型系统；100例：例：系统结构如下图：若输入信号为21( )12r ttt= + +，试求系统的稳态误差。解：解： 判别稳定性。系统的闭环特征方程为232111(1)(1)00mmmmms T sK KsT
46、ssK KsK K+=+=1 mmmTKKT稳定条件：（1）， 均应大于零；（2） 101 根据系统结构与稳态误差之间的关系，可以直接求sse从结构图看出，该系统为单位反馈且属型系统。因此12203112310( )011ssssssmssssssssmer tteateKK KeeeeK K=+=当输入r(t)=1(t)时，；当输入时，；1当输入r(t)=时，2所以系统的稳态误差102注意事项q系统必须是稳定的，否则计算稳态误差没有意义；系统必须是稳定的，否则计算稳态误差没有意义；q以上结论仅适用于输入信号作用下系统的稳态误差，以上结论仅适用于输入信号作用下系统的稳态误差，不适用于干扰作用下
47、系统的稳态误差；不适用于干扰作用下系统的稳态误差；q上述公式中必须是系统的开环增益，也即开环传递上述公式中必须是系统的开环增益，也即开环传递函数中，各典型环节的常数项均为时的系数。函数中，各典型环节的常数项均为时的系数。q以上规律是根据误差定义以上规律是根据误差定义E(s)=R(s)-B(s)推得的。推得的。103四四 干扰作用下的稳态误差与系统结构参数的关系干扰作用下的稳态误差与系统结构参数的关系用一待定的 来代替上图中的 ，然后找出消除系统在干扰n(t)作用下的误差时， 需具备的条件。 1( )G s1K1( )G s12012( )( )lim ( ),( )( )NssnsG ssEs
48、sKesN sn tsG s K-=+选择首先要保证的所有极点在 平面的左半平面。这时当为单位阶跃干扰时，有2012, lim( )ssnsKesG s K-=+1N(s)=则s10410,( )1sseG s=要使则中至少要有一个积分环节，即111(1)( ) (0,0)KsG sKs+=为保证系统稳定，取在满足稳定性前提下，就可使系统在阶跃干扰作用下的稳态误差为零。105以上分析表明， 是误差信号到干扰作用点之间的传递函数，系统在时间幂函数干扰作用下的稳态误差 与干扰作用点到误差信号之间的积分环节数目和增益大小有关，而与干扰干扰作用点后面的积分环节数目和增益大小无关。1( )G sssne
49、106例：例：系统结构图如下，已知干扰n(t)=1(t),试求干扰作用下的稳态误差解：解： 判断稳定性。系统开环传函为ssne121212(1)( )(1)K K TsG ss T T s+=+107所以闭环特征方程为32212121/0T ssK K sK KT+=121212 1, 2T T K KTT稳定条件：（） 均应大于零。（ ） 求稳态误差ssne从图中可以看出，误差信号到干扰作用点之前的传递函数中含有一个积分环节，所以可得出 ，系统在阶跃干扰作用下的稳态误差 为零。ssne10822212110 ( )(1)(/)(1)lim( )sK sss T sK KTTsss-=+=ENssnEN实际上在满足稳定性的条件下，因N(s)=1/s,所以有eN(s)=0
