1、第六章第六章 数值分析模型数值分析模型 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院弦截法和抛物线法弦截法和抛物线法数值分析模型数值分析模型第六章非线性方程求根非线性方程求根迭代法迭代法重点重点:插值法和非线性方程求根插值法和非线性方程求根难点难点:利用数值分析方法建立数学模型利用数值分析方法建立数学模型插值法插值法 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院建模举例建模举例 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院 数值分析（数值分析（numerical analysis）是研究用计算机）是研究用计算机求解各种数学计算问题的数值计算方法及其理论与软件实求解各种数
2、学计算问题的数值计算方法及其理论与软件实现的学科。数值分析就是介绍如何用计算机来解决数学问现的学科。数值分析就是介绍如何用计算机来解决数学问题，以各种各样的程序语言来设计出数值计算程序，然后题，以各种各样的程序语言来设计出数值计算程序，然后依靠计算机的强大计算能力来求解这些数学问题，数值分依靠计算机的强大计算能力来求解这些数学问题，数值分析对数学理论与程序设计并重。析对数学理论与程序设计并重。 运用数值分析解决问题的过程可分为如下几步：实运用数值分析解决问题的过程可分为如下几步：实际问题际问题数学模型数学模型数值计算方法数值计算方法程序设计程序设计上机计算上机计算求出结果。求出结果。 数值分析
3、这门学科有如下特点：数值分析这门学科有如下特点：（1）面向计算机）面向计算机（2）有可靠的理论分析）有可靠的理论分析（3）要有好的计算复杂性）要有好的计算复杂性（4）要有数值实验）要有数值实验（5）要对算法进行误差分析）要对算法进行误差分析函数逼近问题设设y = f(x)，若对以函数，若对以函数y = f(x)来说来说 其值是通过实验或观测得到，不知其解其值是通过实验或观测得到，不知其解析表达式；析表达式； 解析表达式很复杂，不便分析。解析表达式很复杂，不便分析。问题：问题：能否构造一个较为简单的函数能否构造一个较为简单的函数P(x)近近似地表示似地表示f(x)。这就是函数逼近问题。这就是函数
4、逼近问题。 上述函数上述函数f(x)称为被逼近函数，称为被逼近函数，P(x)称为逼称为逼近函数。近函数。 逼近方式有两种：插值和拟合。逼近方式有两种：插值和拟合。 理学院理学院 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 在生产和科学研究中,经常出现这样的问题:由实验或测量得到的某一函数 在一系列点 处的值 ,需要构造一个简单函数 作为函数 的近似表达式: ,使得 这类问题称为插值问题插值问题. ( )yf x01,nx xx01,nyyy( ) x( )yf x( )( )yfxx0011(),(),()nnxyxyxy(6 1)( )f x-被插值函数被插值函数( ) x-插值函数插值函数01
5、,nx xx-插值节点插值节点-插值条件插值条件(6 1) 6.1 插值法插值法插值函数：插值函数：有各种类型，如代数多项式，三有各种类型，如代数多项式，三角函数，有理函数等。当插值函数为多项式角函数，有理函数等。当插值函数为多项式时，称为（代数）插值多项式。时，称为（代数）插值多项式。minminx xi i, ,maxxmaxxi i = a,b- = a,b-插值区间插值区间x0 xixy0yiyyf(x)o从几何上看，插值法就是要求一条曲线从几何上看，插值法就是要求一条曲线 它它通过已知的通过已知的n+1n+1个点个点(xi,yi)(i=0,1, (xi,yi)(i=0,1, ,n),
6、n)，并用，并用 近似表示近似表示 f(x).f(x).（下图）（下图） 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院( )yx( )x 一、一、插值基函数与插值基函数与LagrangeLagrange插值插值1. 1. 简单情形简单情形 (1) (1) n n = 1 = 1时时. . 设设 y yi i = = f f( (x xi i) ) i i = 0 = 0，1.1.作直线方程：作直线方程： 令：令：称称 为为两点式插值两点式插值或或线性插值线性插值。nnyyyxfyxxxx1010)( )(001010 xxxxyyyy )()()(1000101001xxyxxyxxy
7、xx )()(1011001xxyxxyxx .101001011yxxxxyxxxxx 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院）（x1 (2) (2) n n = 2 = 2时时. . 设设y yi i = = f f( (x xi i) )i i = 0 = 0，1 1，2 2. . 令：令：称称 为为三点式插值三点式插值或或抛物插值抛物插值。 2120210121012002010212)()()()()()(yxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxx 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院）（x12. 推广推广 n = 1时，记时，记 则则 n
8、=2时，记时，记则则01011010)(,)(xxxxxlxxxxxl 11001)()(yxlyxlxL )()()(,)()()(,)()()(120210221012012010210 xxxxxxxxxlxxxxxxxxxlxxxxxxxxxl 2211002)()()(yxlyxlyxlx 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院一般地令一般地令 则则l lj j(x)(x) (j = 0 (j = 0，1 1，2 2，n)n)为为n n次多项式次多项式称为称为LagrangeLagrange插值基函数插值基函数， 为为LagrangeLagrange插插值多项式值多项式
9、。 njiiijinjjjjjjnjjjxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxl1110110)()()()()()()()()(.)()(010 njnjiiijijnjjjnxxxxyxlyx njiiijijxxxxxl1)()()( 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院)(xn 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院例例6.1.1 给定数组xy3.1533.0622.9792.9032.8332.768907978777675( )x（1）作一分段线性插值函数75.5x 78.3x （2）用上述插值函数计算和的函数值。 黑龙江科技学院 数数 学学 建建
10、 模模 理学院理学院0175,76xx100176( )767576xxxlxxxx011075( )757675xxxl xxxx10 01 1( )( )( )xy lxy l x=2.768 76x2.833 x7565x2107 /100075,76解解 由插值基函数的表达式，在75到80的6个点间有5个线性插值函数，以区间为例，此时75,76则在区间上有. 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院Matlab代码如下:function Y,Phi=FenDuanXianXingChaZhi(xx)clc x1=75:80; y=2.768,2.833,2.903,2.97
11、9,3.062,3.153; n=size(x1,2); syms x positivefor i=1:(n-1)Phi(i)=y(i)*(x-x1(i+1)/(x1(i)-x1(i+1)+y(i+1)*(x-x1(i)/(x1(i+1)-x1(i);endPhi=Phi; l=find(x1xx); Y=subs(Phi(l(1)-1),xx); end 函数的调用格式为xx=75.5Y,Phi=FenDuanXianXingChaZhi(xx) 得到的结果为：Y =2.8005Phi =(13*x)/200 - 2107/1000 (7*x)/100 - 2487/1000 (19*x)/
12、250 - 2949/1000 (83*x)/1000 - 699/200 (91*x)/1000 - 4127/1000 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院75.5x 78.3x Y=2.8005的值就是的函数值。的函数值是3.0039。同理可得到 理学院理学院例例6.1.2 由函数z( )1xesin yy生成以下离散数据，并利用其计算函数在 x=1.98，y=0.36处的函数值。并与真值作比较。y x0.10.20.30.40.50.60.50.8485551.9181153.6815226.5888911.3823319.285371.01.0473912.11695
13、13.8803586.78772511.5811619.484211.51.2442412.3138024.0772096.98457611.7780119.681062.01.438142.50774.2711077.17847411.9719119.874962.51.6281472.6977074.4611157.36848212.1619220.06496 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模(0.36,1.98)z使用了matlab系统函数 interp2，代码如下，x=0.5:0.5:3.00.1:0.1:0.6;y=0.5:0.5:3.0;x,y=meshgrid(x,y);z
14、=exp(x)+sin(y)+y-1;z_spline=interp2(x,y,z,1.98,0.36,spline)计算结果为z_spline=6.9554，即对函数使用二次插值后在点计算出的而实际值是6.9550，二次插值的绝对误差为0.0004。值是6.9554。 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模二、牛顿插值二、牛顿插值 在理论上，利用插值基函数求出Lagrange插值多项式是很重要的。但用 来计算 的近似值却不大方便，特别是达不到要求的精度，这就要求增加插值节点，插值节点的增加意味着要重新计算全部的插值基函数。Lagrange
15、插值法的计算量就变得很大了为此我们需要另一种便于计算的插值多项式。)(xf)(xn 理学院理学院 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院( )() ,ijijijf xf xf x xxx, , ,jkijijkkif xxf x xf x xxxx1011010 ,.,.,.,nnnnf xxf xxxf xxxxxf定义定义6.1.1函数的一阶均差定义为,ijx x称为函数关于点的一阶均差.n一般地，记阶均差为f01,.,nx xxn称为关于点的阶均差.类似地，可以定义二阶均差 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院x , a b根据均差定义，把看成上一点，可得
16、0000010110110( )() ,() , ,(). ,., ,., ,.,()nnnnf xf xf x xxxf x xf x xf x x xxxf x xxf x xxf x xxxx只要把后一式代入前一式，就得到牛顿插值多项式( )nx0010012010101( )(),(),()().,().()( )( )nnnnf xf xf x xxxf x x xxxxxf x x xxxxxxR x0010012010101( )(),(),()().,.,().()nnnxf xf x xxxf x x xxxxxf x xxxxxx( )( )( )nnR xf xx其中我们
17、称( )nx为Newton均差插值多项式。. 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院注意注意: 因此Newton插值多项式与Lagrange插值多项式只是形式不同，它们都是同一个多项式。(2)由于插值点固定时插值多项式是存在唯一的。 (1) 牛顿法比Lagrange插值的计算量少，且便于程序设计浮力问题浮力问题一个半径为一个半径为r，密度为，密度为的球重的球重 ，高为，高为h的球冠体体积为的球冠体体积为 ，求，求 的球浸的球浸在水中部分的深度是半径的几分之几（见图在水中部分的深度是半径的几分之几（见图1）。）。334r)3(332hrh 6 . 0 6.2 非线性方程求根非线性方
18、程求根 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院图图1 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院)3(334323hrhr)3(33433223rkrkrr0415523kk问题分析问题分析设设=0.6的球浸在水中部分的深度为的球浸在水中部分的深度为h由物理学中知识，漂浮时，重力等于浮力可知：由物理学中知识，漂浮时，重力等于浮力可知：令令h=kr即：即：问题：如何求解问题：如何求解k的值？的值？ 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模工程实际与科学计算中都遇到大量求解非线性方程的问题。设非线性方程为( )0f x 求
19、数 使得 ( )0,f则称 为方程（6.2.1）的根，也称函数 ( )f x的零点。求解非线性方程在初等代数中就有研究。例如， 代数方程（二次、三次方程等）、超越方程（三角方程，指数、对数方程等）。 但是我们发现即使是最基本的代数方程， 当次数超过4时，一般情况下就不能 用公式表示方程的根，至于 超越方程那 就更难了。 （6.2.1） 研究用数值方法计算非线性方程的根非常必要。 在求根时通常假设非线性方程 ( )0f x x是关于 的连续函数 若令( )yf x 它在坐标系下的图像为连续曲线，因此，求 ( )0f x 的根就是求与x轴的交点. 如果 ( )0f x 在区间 , a b仅有一个根
20、，则称 , a b为方程 ( )f x的单根区间；如果 ( )0f x 在区间 , a b上有不止一个根，则称 , a b为方程 ( )f x的多根区间。方程的单根区间和多根区间统称为方程的有根区间。为了研究方便，我们主要研究方程在单根区间上的求解方法。 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模abx0 x1a1b2x*一、区间对分法（二分法）一、区间对分法（二分法）1. 确定有根区间确定有根区间:2. 逐次对分区间：逐次对分区间：3. 取根的近似值取根的近似值:b1a2 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院 .,),(, 0)()(,)(称其为有根区间称其为有根区间的根的根内必
21、有方程内必有方程则则若若 babfafbaCxf( )0f x nnbabababa,2211, 0)()( ,2 nnnnnbfafabab:二二分分法法的的误误差差122 nnnnababxx其误差为其误差为: xbaxnnn2根的近似值根的近似值:逐逐次次对对分分区区间间得得区区间间套套abx0 x1a1b2x*b1a2 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院.),(limlim的根的根是方程是方程 baxbannnn用对分区间法求根步骤：用对分区间法求根步骤：), 1 , 0(2. 2 nbaxnnn似似根根逐逐次次对对分分求求根根区区间间求求近近0)()( nnxfaf
22、若若nnnnxbaa 11,则则nnnnbbxa 11,否否则则0)()( ,. 1 bfafba确确定定求求根根区区间间12lnln)ln( abn ln2ln) 1()ln(21 nababn.直直到到满满足足精精度度估估计计等等分分区区间间的的次次数数误误差差公公式式可可以以用用于于事事先先 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院确确定定有有根根区区间间解解 : 为为有有根根区区间间2 , 13 .135 . 0ln10ln4 n.,1414似似解解即即为为满满足足精精度度要要求求的的近近故故xn )(1021 ,02010)( :43精确到小数后第四位要求误差不超过的一实
23、根求方程例xxxf08)2(,09)1( ff12, nnabx误误差差为为做做为为近近似似值值取取,10214 为为使使误误差差不不超超过过10ln45 . 0ln5 . 0ln) 1( n41102121 n只只需需 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院 6.3 迭代法迭代法 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院将方程 ( )0f x 等价变形为 ( )xx，若要求满足 *()0f x的根 *x，等价的是求 *x使得 *()xx，称 ( )0f x 与 ( )xx同解；反之亦然。这时的 *x称为是函数 ( )x的一个不动点。求方程 ( )0f x 的根等价于
24、求 ( )x的不动点。 不动点迭代关系式(也称简单迭代法)为1(),0,1,2,.kkxxk(6.3.1) 其中函数 ( )x称为迭代函数.如果对任意 1(),0,1,2,.kkxxk由式（6.3.1）产生的序列 nx有极限 *limkkxx则称不动点迭代法（6.3.1）收敛. 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模1 1、简单迭代法简单迭代法xyo)(xyxy 是否对于任意的等价形式是否对于任意的等价形式 该迭该迭代法都是收敛的？什么情况下收敛？代法都是收敛的？什么情况下收敛？)(xx 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院xyy = xxyy = xxyy = xxyy =
25、xx*x*x*x*x0p0 x1p1 x0p0 x1p1 x0p0 x1p1x0p0 x1p1)(xy )(xy)(xy )(xy 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院定理定理6.3.1 (不动点存在性定理不动点存在性定理) 设 ( ) , xC a b满足以下两个条件: （1）对任意 , xa b，有 ( ) , xa b（2）存在正常数 1L 使对任意 , , x ya b都有 ( )( )xyyx则 ( )x在 , a b上存在惟一的不动点 *x定理定理6.3.2 （不动点迭代法的全局收敛性定理）（不动点迭代法的全局收敛性定理）设 ( ) , xC a b满足定理6.3.
26、1中的两个条件,则对任意 0 , xa b得到的迭代序列 由(6.3.1)式nx收敛到 ( )x的不动点，并有 误差估计 式*11kkkLxxxxL*101kkLxxxxL和 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院定理定理6.3.3（不动点迭代法的局部收敛性定理）（不动点迭代法的局部收敛性定理） 设 *x为 ( )x的不动点, ( ) x在 *x的某个邻域连续，且 ( )1x，则迭代法(6.3.1)局部收敛. 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模例例6.3.2 求方程 0133 xx要求结果精确到10-5。 在0, 0.5内的根，解解 将方程变形 )() 1(313xxx,因为
27、 0,0.5x0)( 2 xx在0, 0.5内为增函数，所以 125. 05 . 0)( max2PointSize0.01gp=ListPlotd1,PlotStylePointSize0.01 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院运行得到如下图象运行得到如下图象： 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院2）分析数据散布图）分析数据散布图由上图可见，取正弦级数为拟合曲线较为合适由上图可见，取正弦级数为拟合曲线较为合适。3）选择函数关系形式）选择函数关系形式. 为此这里令为此这里令205sin)(,203sin)(,20sin)(321tttttt用用Mathem
28、atica计算计算中的参数中的参数a1,a2,a3。输入命令：输入命令：f=Fitd1,SinPi*t/20,Sin3*Pi*t/20,Sin5*Pi*t/20,tfp=Plotf,t,0,10Showgp,fp )()()()(332211tatatatP 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院运行后显示运行后显示435379. 320325799. 1202317.352tPiSintPiSintPiSinout从上图可见，拟合效果很好。从上图可见，拟合效果很好。 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院本章小结 本章介绍常用的数值分析算法，插值法、曲线拟合和非线性方程求根的迭代法，利用这些数值方法解决实际问题。旨在使大家对数值分析方法解决实际问题有一个初步的了解。 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院
