1、第三章三角函数3.1三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式及诱导公式,高考数学,一、任意角1.象限角(1)象限角的定义:当角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合时,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角.(2)象限角的集合:第一象限角:?;第二象限角:?;,知识清单,第三象限角:?;第四象限角:?.2.终边相同的角所有与角终边相同的角,连同角在内,构成的角的集合是|=k360+,kZ.二、弧度制及常用公式1.1弧度的角:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.,2.规定:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零,|=?,l是半径为r的圆的圆心角所对弧
2、的长.3.弧长公式:l=|r,扇形面积公式:S扇形=?lr=?|r2.三、任意角的三角函数1.定义:设是一个任意角,角的终边与单位圆交于点P(x,y),那么角的正弦、余弦、正切分别是sin =y,cos =x,tan =?(x0).它们都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数.,2.三角函数值在各象限的符号口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦,为正值.四、三角函数线设角的顶点在坐标原点,始边与x轴非负半轴重合,终边与单位圆相交于点P,过点P作PM垂直x轴于点M.过点A(1,0)作单位圆的切线,设它与的终边(当为第一、四象限角时)或其反向延长线(当为第二、三象限,角时)相交
3、于点T.由三角函数的定义知,有向线段OM、MP、AT分别叫做的余弦线、正弦线、正切线.,五、同角三角函数的基本关系式1.平方关系:sin2+cos2=1(R).2.商数关系:tan =?.,六、诱导公式,角“?+(kZ)”的三角函数记忆口诀为“奇变偶不变,符号看象限”,“奇变偶不变”是指“当k为奇数时,正弦变余弦,余弦变正弦;当k为偶数时,函数名不变”.“符号看象限”是指“在的三角函数值前面加上当为锐角时,原函数值的符号”.拓展延伸同角三角函数的基本关系式与诱导公式(1)应用同角三角函数的基本关系式及诱导公式,要注意象限角对三角函数符号的影响,尤其在利用平方关系求三角函数值时,要根据角所在象限
4、或范围判断符号后,再正确取舍.,(2)求值、化简是三角函数的基础,在求值与化简时,常用方法有:弦切互化法:利用公式tan =?进行转化;和积转换法:利用(sin cos )2=12sin cos 进行变形、转化;巧用“1”的变换:1=sin2+cos2=cos2(1+tan2)=sin2?.注意求值与化简的结果一般要尽可能有理化、整式化.,三角函数概念的应用1.已知角终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距离r,然后用三角函数的定义解决相关问题.2.已知角的终边所在直线的方程,则可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离,然后用三角函数的定义来解决相关问题,若直线的倾斜角为特殊角,也可
5、直接写出角的值.例1已知角的终边在直线y=?x上,则sin =.,方法技巧,解题导引角的终边在直线y=?x上,则的终边位置有两种情况.,解析设P(a,?a)(a0)是角终边上一点,若a0,则是第一象限角,r=2a,此时sin =?=?.,答案,“sin cos ”与“sin cos ”的互化借用sin2+cos2=1,利用(sin cos )2=12sin cos 实现sin +cos ,sin -cos ,sin cos 的互通互求.例2(2016江苏启东中学阶段测试)已知sin +cos =-?,?,则tan =.,解析由sin +cos =-?,得2sin cos =-?,(sin -c
6、os )2=1-2sin cos =?.又?,sin -cos =-?,进而可求得sin =-?,cos =?,tan =-?.,答案-,借tan =? 实现“双弦齐次式”与“正切”的互化 “共赢”“双弦齐次式”的化简往往要换“1”与“二倍角”.注意sin2+cos2=1及cos 2=2cos2-1=1-2sin2的使用.例3(1)(2015四川,13,5分)已知sin +2cos =0,则2sin cos -cos2的值是.(2)已知tan =2,则?=.,解析(1)sin +2cos =0,tan =-2,2sin cos -cos2=?=?=-1.(2)原式=?=?,将tan =2代入得,原式=?=1.,答案(1)-1(2)1,
