1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 39 讲 直线、平面平行的判定及其性质 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理 2能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题 . 2017 全国卷 ， 18 2017 山东卷，18 与直线、平面平行有关的命题判断；线线平行的证明；线面平行的证明；面面平行的证明；由线面平行或面面平行探求动点的位置 . 分值： 4 6 分 1直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号 语言 判 定 定 理 平面外一条直线与 ！ _此平面内 _#的一条直线
2、平行，则该直线与此平面平行 (线线平行 ?线面平行 ) ！ _l a_#， ！ _a? _#， ！ _l? _#? l 性 质 定 理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的 ！ _交线 _#与该直线平行(简记为 “ 线面平行 ?线线平行 ”) ！ _l _#， ！ _l? _#， ！ _ b_#? l b 2平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判 定 定 理 一个平面内的两条 ！_相交直线 _#与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为 “ 线面平行 ?面面平行 ”) ！ _a _#， ！ _b _#， ！ _a b P_#， ！ _a? ，
3、b? _#? =【 ;精品教育资源文库 】 = 性 质 定 理 如果两个平行平面同时和第三个平面 ！ _相交_#，那么它们的 ！ _交线 _#平行 ！ _ _#， ！ _ a_#， ！ _ b_#? a b 1思维辨析 (在括号内打 “” 或 “ ”) (1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行 ( ) (2)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面 ( ) (3)若直线 a 与平面 内无数条直线平行，则 a .( ) (4)平行于同一平面的两条直线平行 ( ) (5)若 ，且直线 a ，则直线 a .( ) 解析 (1)错误当这两条直线为相 交直线
4、时，才能保证这两个平面平行 (2)正确如果两个平面平行，则在这两个平面内的直线没有公共点，则它们平行或异面 (3)错误若直线 a 与平面 内无数条直线平行，则 a 或 a? . (4)错误两条直线平行或相交或异面 (5)错误直线 a 或直线 a? . 2下列条件中，能作为两平面平行的充分条件的是 ( D ) A一个平面内的一条直线平行于另一个平面 B一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 解析 由面面平行 的定义可知，一平面内所有的直线都平行于另一个平面时，两平面才能平行，故 D 项正确 3若一直线上有相异三个
5、点 A， B， C 到平面 的距离相等，那么直线 l 与平面 的位置关系是 ( D ) A l B l C l 与 相交且不垂直 D l 或 l? 解析 由于 l 上有三个相异点到平面 的距离相等，则 l 与 可以平行， l? 时也成立 4已知直线 a， b，平面 ，则以下三个命题： 若 a b， b? ，则 a ； 若 a b， a ，则 b ； 若 a ， b ，则 a b. =【 ;精品教育资源文库 】 = 其中真命题的个数是 ( A ) A 0 B 1 C 2 D 3 解析 对于命题 ，若 a b， b? ，则应有 a 或 a? ， 所以 不正确； 对于命题 ，若 a b， a ，则应
6、有 b 或 b? ， 因此 也不正确； 对于命题 ，若 a ， b ，则应有 a b 或 a 与 b 相交或 a 与 b 异面， 因此 也不正确 5在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E 是 DD1的中点，则 BD1与平面 ACE 的位置关系为 ！_平行 _#. 解析 如图连接 AC， BD 交于点 O，连接 OE，因为 OE BD1，而 OE?平面 ACE， BD1?平面 ACE，所以 BD1 平面 ACE. 一 直线与平面平行的判定与性质 判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义 (无公共点 ) (2)利用线面平行的判定定理 (a? ， b? ， a b?a ) (3)
7、利用面面平行的性质定理 ( ， a? ?a ) (4)利用面面平行的性质 ( ， a? ， a? ， a ?a ) 【例 1】 如图，四棱锥 P ABCD 中， AD BC， AB BC 12AD， E， F， H 分别为线段 AD，PC， CD 的中点， AC 与 BE 交于点 O， G 是线段 OF 上一点 (1)求证： AP 平面 BEF； (2)求证： GH 平面 PAD. 证明 (1)连接 EC. =【 ;精品教育资源文库 】 = AD BC， BC 12AD， BC AE， 四边形 ABCE 是平行四边形， O 为 AC 的中点 又 F 是 PC 的中点， FO AP，且 FO?平
8、面 BEF， AP?平面 BEF， AP 平面 BEF. (2)连接 FH， OH. F， H 分别是 PC， CD 的中点 FH PD， FH 平面 PAD. 又 O 是 BE 的中点， H 是 CD 的中点， OH AD， OH 平面 PAD. 又 FH OH H， 平面 OHF 平面 PAD. 又 GH?平面 OHF， GH 平面 PAD. 二 平面与平面平行的判定与性质 判定面面平行的四种方法 (1)利用定义，即证两个平面没有公共点 (2)利用面面平行的判定定理 (3)利用垂直于同一条直线的两平面平行 (4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行 【例
9、2】 如图所示，在三棱柱 ABC A1B1C1中， E， F， G， H 分别是 AB， AC， A1B1， A1C1的中点，求证： (1)B， C， H， G 四点共面； (2)平面 EFA1 平面 BCHG. =【 ;精品教育资源文库 】 = 证明 (1) G， H 分别是 A1B1， A1C1的中点， GH 是 A1B1C1的中位线， GH B1C1. 又 B1C1 BC， GH BC， B， C， H， G 四点共面 (2) E， F 分别是 AB， AC 的中点， EF BC. EF?平面 BCHG， BC?平面 BCHG， EF 平面 BCHG. A1G EB， 四边形 A1EBG
10、 是平行四边形， A1E GB. A1E?平面 BCHG， GB?平面 BCHG， A1E 平面 BCHG. A1E EF E， 平面 EFA1 平面 BCHG. 三 空间 平行关系的探索性问题 解决探索性问题一般先假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了使结论成立的充分条件，则存在；如果找不到使结论成立的充分条件(出现矛盾 )，则不存在而对于探求点的问题，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明 【例 3】 如图所示，四边形 ABCD 为矩形，设点 M 在线段 AB 上，且满足 AM 2MB，试在线段 CE 上确定一点 N
11、，使得 MN 平面 ADE. 解析 在 ABE 中，过点 M 作 MG AE 交 BE 于点 G， 在 BEC 中，过点 G 作 GN BC 交 CE 于点 N，连接 MN， =【 ;精品教育资源文库 】 = 则由 CNCE BGBE MBAB 13， 得 CN 13CE. 因为 MG AE， AE?平面 ADE， MG?平面 ADE， 所以 MG 平面 ADE. 又 GN BC， BC AD， AD?平面 ADE， GN?平面 ADE. 所以 GN 平面 ADE， 又 MG GN G，所以平面 MGN 平面 ADE， 因为 MN?平面 MGN，所以 MN 平面 ADE. 故当点 N 为线段
12、CE 上靠近 C 的一个三等分点时， MN 平面 ADE. 1有下列命题： 若直线 l 平行于平面 内的无数条直线，则直线 l ； 若直线 a 在平面 外，则 a ； 若直线 a b， b ，则 a ； 若直线 a b， b ，则 a 平行于平面 内的无数条直线 其中真命题的个数是 ( A ) A 1 B 2 C 3 D 4 解析 命题 ， l 可以在平面 内，不正确；命题 ，直线 a 与平面 可以是相交关系，不正确；命题 ， a 可以在平面 内，不正确；命题 正确 2已知 m， n 是两条直线， ， 是两个平面，给出下列命题： 若 n ， n ，则 ； 若平面 上有不共线的三点到平面 的距离
13、相等，则 ； 若 m， n 为异面直线， n? ， n ， m? ， m ，则 . 其中正确命题的个数是 ( B ) A 3 B 2 C 1 D 0 解析 若 n ， n ，则 n 为平面 与 的公垂线，则 ，故 正确； 若平面 上有不共线的三点到平面 的距离相等，三点可能在平面 的异侧，此时 与 相交，故 错误； 若 n， m 为异面直线， n? ， n ， m? ， m ，根据面面平行的判定定理，可=【 ;精品教育资源文库 】 = 得 正确故选 B 3如图，已知四棱锥 P ABCD 的底面为直角梯形， AB CD， DAB 90 ， PA 底面ABCD，且 PA AD DC 12AB 1，
14、 M 是 PB 的中点 (1)求证： AM CM； (2)若 N 是 PC 的中点，求证： DN 平面 AMC. 证明 (1) 在直角梯形 ABCD 中， AD DC 12AB 1， AC 2， BC 2， AB 2， 则 AC2 BC2 AB2， BC AC， 又 PA 平面 ABCD， BC?平面 ABCD， BC PA，又 PA AC A， BC 平面 PAC， BC PC. 在 Rt PAB 中， M 为 PB 的中点，则 AM 12PB， 在 Rt PBC 中， M 为 PB 的中点，则 CM 12PB， AM CM. (2)如图，连接 DB 交 AC 于点 F. DC 12AB， DF 12FB. 取 PM 的中点 G，连接 DG， FM， 则 DG FM， 又 DG?平面 AMC
