1、第四章第四章 梁的内力梁的内力4-1 4-1 工程中的弯曲问题工程中的弯曲问题起重机大梁起重机大梁4-1 4-1 工程中的弯曲问题工程中的弯曲问题起重机大梁起重机大梁车削工件车削工件4-1 4-1 工程中的弯曲问题工程中的弯曲问题车削工件车削工件4-1 4-1 工程中的弯曲问题工程中的弯曲问题火车轮轴火车轮轴4-1 4-1 工程中的弯曲问题工程中的弯曲问题火车轮轴火车轮轴4-1 4-1 工程中的弯曲问题工程中的弯曲问题弯曲特点弯曲特点以弯曲变形为主的杆件通常称为梁以弯曲变形为主的杆件通常称为梁4-1 4-1 工程中的弯曲问题工程中的弯曲问题力与轴线垂直，直线变曲线力与轴线垂直，直线变曲线平面弯
2、曲平面弯曲平面弯曲平面弯曲: 弯曲变形后的轴线为平面曲线弯曲变形后的轴线为平面曲线, 且该且该 平面曲线仍与外力共面平面曲线仍与外力共面。对称弯曲对称弯曲（1）具有纵向对称面；）具有纵向对称面；（2）外力都作用在此平）外力都作用在此平面内；面内；（3）弯曲变形后轴线变）弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线成对称面内的平面曲线常见弯曲构件截面常见弯曲构件截面4-1 4-1 工程中的弯曲问题工程中的弯曲问题梁梁的荷载与的荷载与支座支座集中力（载荷）集中力（载荷）分布荷载分布荷载集中力偶集中力偶固定铰支座固定铰支座可动可动铰支座铰支座固定支座固定支座4-2 4-2 梁的荷载和支座反力梁的荷载和支座反
3、力FRxFRyFRyFRyFRxM目录4-2 4-2 梁的荷载和支座反力梁的荷载和支座反力火车轮轴简化火车轮轴简化4-2 4-2 梁的荷载和支座反力梁的荷载和支座反力4-2 4-2 梁的荷载和支座反力梁的荷载和支座反力4-2 4-2 梁的荷载和支座反力梁的荷载和支座反力钢筋混凝土柱：插入基础部分较深，柱下被钳固的很牢，钢筋混凝土柱：插入基础部分较深，柱下被钳固的很牢，不能发生转动和移动不能发生转动和移动固定支座固定支座楼板梁：嵌入长度较浅，楼板梁：嵌入长度较浅，钳固不牢，可能发生微小钳固不牢，可能发生微小转动转动固定铰支座固定铰支座吊车大梁简化吊车大梁简化均匀分布荷载均匀分布荷载简称简称均布荷
4、载均布荷载目录4-2 4-2 梁的荷载和支座反力梁的荷载和支座反力非均匀分布载荷非均匀分布载荷4-2 4-2 梁的荷载和支座反力梁的荷载和支座反力简支梁简支梁外伸梁外伸梁悬臂梁悬臂梁FAxFAyFByFAxFAyFByFAxFAyMA静定梁的基本形式静定梁的基本形式4-2 4-2 梁的荷载和支座反力梁的荷载和支座反力例例4-1简支梁受力如图，试求该梁支座反力。简支梁受力如图，试求该梁支座反力。4-2 4-2 梁的荷载和支座反力梁的荷载和支座反力FRAxFRDyFRBy4q解：因无水平荷载，解：因无水平荷载， FRAx=0将分布荷载用合力来代替，合力位于将分布荷载用合力来代替，合力位于CD中点处
5、，其值为中点处，其值为4q。考虑梁的平衡：考虑梁的平衡：kN15FRDy符号为正，说明方向向上符号为正，说明方向向上, 0MA0m) 114(Fm) 112(q4MeRDy0m) 114(Fm) 112(mkN64mkN6RDy4-2 4-2 梁的荷载和支座反力梁的荷载和支座反力符号为正，说明方向向上符号为正，说明方向向上, 0Fy0m/kN64kN15kN9q4FFRDyRAy校核：校核：kN9FRAy, 0MD0m2q4Mem) 114(FRAy0m2mkN64mkN6m) 114(FRAy反力无误。反力无误。例例4-2承受三角形分布荷载的简支梁如图所示，试求该承受三角形分布荷载的简支梁如
6、图所示，试求该梁支座反力。梁支座反力。4-2 4-2 梁的荷载和支座反力梁的荷载和支座反力解：将三角形分布荷载用合力来代替，合力值为解：将三角形分布荷载用合力来代替，合力值为1/2q0l(即三角形的面积），合力的位置如图中所示。即三角形的面积），合力的位置如图中所示。考虑梁的平衡：考虑梁的平衡：, 0MA03llq21lF0RBlq61F0RB例例4-2承受三角形分布荷载的简支梁如图所示，试求该承受三角形分布荷载的简支梁如图所示，试求该梁支座反力。梁支座反力。4-2 4-2 梁的荷载和支座反力梁的荷载和支座反力, 0MB03l 2lq21lF0RAlq31F0RA校核：校核：0lq21lq61
7、lq31lq21FF0000RBRA反力无误。反力无误。FNFSM 0 xF0N F 0yF1ASFFFy 0cM)(1axFxFMAy F FS S剪力剪力，平行于，平行于横截面的内力合力横截面的内力合力 M M 弯矩弯矩，垂直于，垂直于横截面的内力系的横截面的内力系的合力偶矩合力偶矩FByFNFSM4-3 梁的内力及其求法FAyFAyFNFSMFByFNFSM 截面上的剪力对所选梁截面上的剪力对所选梁段上任意一点的矩为段上任意一点的矩为顺时针顺时针转向时，转向时，剪力为正；剪力为正；反之反之为为负。负。+_ 截面上的弯矩截面上的弯矩使得梁呈使得梁呈凹形凹形为为正；正；反之反之为负。为负。
8、左上右下左上右下为正；为正；反之反之为负为负 左顺右逆左顺右逆为正；为正；反之反之为负为负目录+_4-3 梁的内力及其求法解：解： 1. 确定支反力确定支反力FAyFBy 0yFFFFByAy2 0AMaFFaaFBy233FFBy35FFAy2. 用截面法研究内力用截面法研究内力FAyFSEME 0yF352FFFSE0OM233522aFMaFE3FFSE23FaME目录例题例题FAy4-3 梁的内力及其求法FByFByFAyFSEMEO3FFBy35FFAy分析右段得到：分析右段得到：FSEMEO 0yF0BySEFF3FFFBySE 0oMFaaFMByE2323FaME目录4-3 梁
9、的内力及其求法FAyFBy3FFBy35FFAy 截面上的剪力等于截截面上的剪力等于截面任一侧外力的代数和。面任一侧外力的代数和。目录FAyFSE35FFSE2FFSEF23F4-3 梁的内力及其求法FAyFBy3FFBy35FFAy 截面上的弯矩等于截面任截面上的弯矩等于截面任一侧外力对截面形心力矩的代一侧外力对截面形心力矩的代数和。数和。目录MEFAy2335aFME22aF Fa232FME4-3 梁的内力及其求法4-3 梁的内力及其求法例例4-4 一悬臂梁，一悬臂梁，其尺寸及梁上荷其尺寸及梁上荷载如图所示。试载如图所示。试求截面求截面1-1上的剪上的剪力和弯矩。力和弯矩。解：为避免求左
10、端固定支座反力，解：为避免求左端固定支座反力，取右段脱离体。分布荷载用合力取右段脱离体。分布荷载用合力代替。代替。, 0Fy0aqFF1S0m/kN42kN5F1SkN13F1S4-3 梁的内力及其求法例例4-4 一悬臂梁，一悬臂梁，其尺寸及梁上荷其尺寸及梁上荷载如图所示。试载如图所示。试求截面求截面1-1上的剪上的剪力和弯矩。力和弯矩。, 0MO02aaqFaM102m2m/kN4m2m2kN5M1mkN18M1负号表示与假定方向相反负号表示与假定方向相反 8/2qlq悬臂梁受均布载荷作用。悬臂梁受均布载荷作用。试写出试写出剪力和弯矩方程，并剪力和弯矩方程，并画出剪力画出剪力图图和弯矩和弯矩
11、图。图。解：解：任选一截面任选一截面x x ，写出，写出剪力和弯矩方程剪力和弯矩方程x lxqxxFS0 lxqxxM02/2依方程画出依方程画出剪力剪力图图和弯矩和弯矩图图FSxMxql2/2qll由剪力由剪力图、弯矩图可见。最图、弯矩图可见。最大剪力和弯矩分别为大剪力和弯矩分别为qlFSmax2/2maxqlM例题例题4-24-2qx xM xFS4-4 内力图剪力图和弯矩图剪力方程剪力方程弯矩方程弯矩方程 BAlFAYFBY图示简支梁图示简支梁C C点受集中力作用。点受集中力作用。试写出试写出剪力和弯矩方程，并剪力和弯矩方程，并画画出剪力出剪力图图和弯矩和弯矩图。图。解：解：1 1确定约
12、束力确定约束力00，BAMMF FAyAyFb/l F FByByFa/l2 2写出剪力和弯矩方程写出剪力和弯矩方程x2FSxMxlFb/lFa/lFab/x1AC axlFbxFS110/ axlFbxxM1110/CB lxalFaxFS22/ lxalxlFaxM222/3. 3. 依方程画出剪力图和弯矩图。依方程画出剪力图和弯矩图。CFab目录例题例题4-4 内力图剪力图和弯矩图 BAl图示简支梁图示简支梁C C点受集中力偶作用。点受集中力偶作用。试写出剪力和弯矩方程，并画试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。出剪力图和弯矩图。解：解：1 1确定约束力确定约束力00，BAMMFA
13、yM / l FBy -M / l2 2写出写出剪力和弯矩方程剪力和弯矩方程x2lMa/x1AC axlMxFS110/ axlMxxM1110/CBbxlMxFS220/bxlMxxM2220/3. 3. 依方程画出依方程画出剪力剪力图图和弯矩和弯矩图。图。lM /lMb/CMab目录例题例题4-44-44-4 内力图剪力图和弯矩图 32/32ql32/32qlBAl简支梁受均布载荷作用简支梁受均布载荷作用试写出试写出剪力和弯矩方程，并剪力和弯矩方程，并画画出剪力出剪力图图和弯矩和弯矩图。图。解：解：1 1确定约束力确定约束力00，BAMMFAy FBy ql/22 2写出写出剪力和弯矩方程
14、剪力和弯矩方程yxCx lxqxqlxFS02/ lxqxqlxxM02/2/23.3.依方程画出依方程画出剪力剪力图图和弯矩和弯矩图。图。FSxMx2/ql2/ql8/2ql 目录例题例题4-54-54-4 内力图剪力图和弯矩图作业：P864-1 (1)、（2）（6）4-7 (2)、（4）4-5小结小结1 1、熟练求解各种形式静定梁的支、熟练求解各种形式静定梁的支座反力座反力2 2、明确剪力和弯矩的概念，理解、明确剪力和弯矩的概念，理解剪力和弯矩的正负号规定剪力和弯矩的正负号规定3 3、熟练计算任意截面上的剪力和、熟练计算任意截面上的剪力和弯矩的数值弯矩的数值4 4、熟练建立剪力方程、弯矩方
15、程，、熟练建立剪力方程、弯矩方程，正确绘制剪力图和弯矩图正确绘制剪力图和弯矩图目录第六章第六章 梁的应力梁的应力第五章第五章 弯曲应力弯曲应力5-2 5-2 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力5-3 5-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力5-4 5-4 弯曲切应力弯曲切应力5-6 5-6 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施目录5-1 5-1 纯弯曲纯弯曲回顾与比较回顾与比较内力内力NFA应力应力PITFSM?目录5-1 5-1 纯弯曲纯弯曲纯弯曲纯弯曲梁段梁段CDCD上，只有弯矩，没有剪力上，只有弯矩，没有剪力纯弯曲纯弯曲梁段梁段ACAC和和BDBD上，既有弯矩，又有剪力上，既有弯矩，又
16、有剪力横力弯曲横力弯曲5-1 5-1 纯弯曲纯弯曲目录5-2 5-2 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力一、变形几何关系一、变形几何关系xaabbmnnmmaabbmnn平面假设：平面假设： 横截面变形后保持为平面，且仍横截面变形后保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线，只是绕截然垂直于变形后的梁轴线，只是绕截面内某一轴线偏转了一个角度。面内某一轴线偏转了一个角度。凹入凹入一侧纤维一侧纤维缩短缩短突出突出一侧纤维一侧纤维伸长伸长中间一层纤维长度不变中间一层纤维长度不变中性层中性层中间层与横截面的交线中间层与横截面的交线中性轴中性轴5-2 5-2 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力目录 设想梁是由无
17、数设想梁是由无数层纵向纤维组成层纵向纤维组成胡克定理胡克定理EyE5-2 5-2 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力目录建立坐标建立坐标二、物理关系二、物理关系(a)(b)dxaabbmnnmooy三、静力学关系三、静力学关系Z1EIM5-2 5-2 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力目录(c)FN、My、Mz正应力公式正应力公式变形几何关系变形几何关系物理关系物理关系yEyE静力学关系静力学关系Z1MEIZIMy为梁弯曲变形后的曲率为梁弯曲变形后的曲率1为曲率半径，为曲率半径，5-2 5-2 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力目录正应力分布正应力分布ZIMyZmaxmaxIMymaxZMWZmax
18、ZIWy5-2 5-2 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力目录MM 与中性轴距离相等的点，与中性轴距离相等的点， 正应正应力相等；力相等；正应力大小与其到中性轴距离正应力大小与其到中性轴距离成正比；成正比；中性轴上中性轴上,正应力等于零正应力等于零minZMW 常见截面的常见截面的 IZ 和和 WZ Z圆截面圆截面矩形截面矩形截面空心圆截面空心圆截面空心矩形截面空心矩形截面AdAyI2ZZmaxyzIW 644ZdI332zdW)1 (6444ZDI34(1)32zDW123ZbhI 26zbhW 12123300ZbhhbI33000()/(/2)1212zb hbhWh5-2 5-2 纯弯曲
19、时的正应力纯弯曲时的正应力目录5-3 5-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力目录 弹性力学精确分析表明，弹性力学精确分析表明，当跨度当跨度 l 与横截面高度与横截面高度 h 之之比比 l / h 5 （细长梁）时，（细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。弯曲近似成立。 横力弯曲横力弯曲横力弯曲正应力公式横力弯曲正应力公式ZIMymaxmaxmaxmaxZZMyMIW横力弯曲最大正应力横力弯曲最大正应力目录5-3 5-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力细长梁的细长梁的纯弯曲纯弯曲或或横力弯曲横力弯曲横截面惯性积横截面惯性积 I IYZ YZ =0=
20、0弹性变形阶段弹性变形阶段公式适用范围公式适用范围弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件 ZWmaxmaxmaxmaxzMyMI1.1.等截面梁弯矩最大的截面上等截面梁弯矩最大的截面上2.2.离中性轴最远处离中性轴最远处4.4.脆性材料脆性材料抗拉和抗压性能不同，两方面都要考虑抗拉和抗压性能不同，两方面都要考虑ttmax,ccmax,3.3.变截面梁要综合考虑变截面梁要综合考虑 与与MzI目录5-3 5-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力BAl = 3mq=60kN/mxC1mMxm67.5kN8/2ql 30zy180120K1.1.C 截面上截面上K点正应力点正应力2.2.C 截面上截
21、面上最大最大正应力正应力3.3.全梁全梁上上最大最大正应力正应力4.4.已知已知E=200GPa，C 截面的曲率半径截面的曲率半径 FSx90kN90kNmkN605 . 0160190CM1. 求支反力求支反力kN90AyFkN90ByF4533Zm10832. 51218. 012. 012bhIMPa7 .61Pa107 .6110832. 510)302180(10606533ZKCKIyM（压应力）（压应力）解：解：例题5-1目录5-3 5-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力BAl = 3mq=60kN/mxC1mMxm67.5kN8/2ql 30zy180120K FSx90
22、kN90kN2.2.C C 截面最大正应力截面最大正应力C C 截面弯矩截面弯矩mkN60CMC C 截面惯性矩截面惯性矩45Zm10832. 5IMPa55.92Pa1055.9210832. 510218010606533ZmaxmaxIyMCC目录5-3 5-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力BAl = 3mq=60kN/mxC1mMxm67.5kN8/2ql 30zy180120K FSx90kN90kN3. 全梁最大正应力全梁最大正应力最大弯矩最大弯矩mkN5 .67maxM截面惯性矩截面惯性矩45m10832. 5zIMPa17.104Pa1017.10410832. 5102180105 .676533ZmaxmaxmaxIyM目录5-3 5-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力BAl = 3mq=60kN/mxC1mMxm67.5kN8/2ql 30zy180120K FSx90kN90kN4. C 截面曲率半径截面曲率半径C 截面弯矩截面弯矩mkN60CMC 截面惯性矩截面惯性矩45Zm10832. 5Im4 .194106010832. 510200359CZCMEIEIM1目录5-3 5-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力
