1、教学过程巩固练习、布置作业 巩固练习巩固练习泛指整个教学过程中，和训练有关的口答题、笔答题、板演题、教师讲解泛指整个教学过程中，和训练有关的口答题、笔答题、板演题、教师讲解的例题以及所布置的作业题等。的例题以及所布置的作业题等。 使学生牢固地掌握数学知识；使学生牢固地掌握数学知识； 使学生巩固所学知识，掌握有关的基本技能和进一步培养能力。使学生巩固所学知识，掌握有关的基本技能和进一步培养能力。（1 1）例题的选择和挖掘）例题的选择和挖掘 具有目的性具有目的性 设计例题主要从巩固知识和获取技能两方面考虑。同时还要考设计例题主要从巩固知识和获取技能两方面考虑。同时还要考虑学生的未来发展。选择例题要
2、目的明确，分层设计来组织例题，虑学生的未来发展。选择例题要目的明确，分层设计来组织例题，一般可采用题组形式，围绕目的，层层展开。一般可采用题组形式，围绕目的，层层展开。 在讨论在讨论“指定区间上二次函数的极值与最值指定区间上二次函数的极值与最值”时可设计这样一组例题。时可设计这样一组例题。 例例1 1 已知函数已知函数y yf(x)=x2f(x)=x22x2x2 2，试求函数在下列区间上的极值，试求函数在下列区间上的极值与最值：（与最值：（， ）；）；00，33；-1-1，00；22，33。 这里既需要作一般的考虑，又要在有限区间的情况下，特别考虑区这里既需要作一般的考虑，又要在有限区间的情况
3、下，特别考虑区间的端点。间的端点。 具有启发性具有启发性 通过典型例题的讨论，学生对这类问题的条件、解题方法的理解通过典型例题的讨论，学生对这类问题的条件、解题方法的理解深刻了，不仅能思考问题的本身，而且还可以思考更广泛更深远的深刻了，不仅能思考问题的本身，而且还可以思考更广泛更深远的一般性问题。一般性问题。 例例2 求证求证lg3lg331。问题本身启发问题本身启发: i）33399；ii）lg3lg33lg99lg100=2；iii要证不等式左边为和式要证不等式左边为和式可考虑用可考虑用“a0，b0，则，则 来证明。来证明。2abab 具有延伸性具有延伸性 为使例题延伸，可通过对例题的挖掘
4、深化，使问题在更大范围内延伸展为使例题延伸，可通过对例题的挖掘深化，使问题在更大范围内延伸展开。开。 横向延伸横向延伸: 例题的一题多解；例题的一题多解； 纵向延伸纵向延伸: 改变例题的条件和结论，采取有层次的改变例题的条件和结论，采取有层次的“题组式题组式”教学，其教学，其优点是思路流畅，脉络清晰，规律性强，也有利于学生推广、归纳、分类优点是思路流畅，脉络清晰，规律性强，也有利于学生推广、归纳、分类从而加强探索能力从而加强探索能力 具有典型性具有典型性 具有典型性的例题即具有代表性。研究它的典型意义，可以具有典型性的例题即具有代表性。研究它的典型意义，可以“以点代以点代面面”使学生举一反三、
5、触类旁通。使学生举一反三、触类旁通。 例例4 4 在解析几何中用代入法求动点轨迹问题。在解析几何中用代入法求动点轨迹问题。 如图如图10103 3设设A A的坐标为（的坐标为（2 2，0 0），）， Q Q为圆为圆 上任一点，上任一点， OPOP是是AOQAOQ中中AOQAOQ的平分线，求的平分线，求P P点轨迹。点轨迹。 从这类问题中可以抽象出利用从这类问题中可以抽象出利用“代入法代入法” 求动点轨迹的一般模型和方法。求动点轨迹的一般模型和方法。221xy（2）学生的课内练习题）学生的课内练习题 使学生将所学得的基础知识及时得到巩固，掌握有关的基本技能使学生将所学得的基础知识及时得到巩固，掌
6、握有关的基本技能并趋向熟练。并趋向熟练。安排练习时应注意以下几点：安排练习时应注意以下几点：要紧扣重点，有利于基础知识的巩固和规律的掌握；要紧扣重点，有利于基础知识的巩固和规律的掌握；事先演算，明确目的；事先演算，明确目的；要注意题型的多样性，要重视变式训练和探索性的训练，以培养能力；要注意题型的多样性，要重视变式训练和探索性的训练，以培养能力；安排板演，共同评议；安排板演，共同评议；循序渐进，逐步提高，以发展学生的智力；循序渐进，逐步提高，以发展学生的智力；题量适度，难度适中。题量适度，难度适中。（3）课外作业题的布置和配备）课外作业题的布置和配备对于课外作业可布置适量的选做题，以体现因材施
7、教的原则，还要避免大对于课外作业可布置适量的选做题，以体现因材施教的原则，还要避免大量的机械模仿性的题目。量的机械模仿性的题目。区别哪些习题是主要的，次要的，哪些是巩固性的，哪些是创造性的，哪区别哪些习题是主要的，次要的，哪些是巩固性的，哪些是创造性的，哪些是单纯性的，哪些是综合性的，哪些学生可以独立完成，哪些需要提示，些是单纯性的，哪些是综合性的，哪些学生可以独立完成，哪些需要提示，哪些可作为教材讲授，对每道题的难度与演算时间做到心中有数。哪些可作为教材讲授，对每道题的难度与演算时间做到心中有数。首先教师需按照对学生的要求，将教材上全部习题演算一遍，明确各题的首先教师需按照对学生的要求，将教
8、材上全部习题演算一遍，明确各题的要求，解题关键，解题技巧，解题的格式。要求，解题关键，解题技巧，解题的格式。编制习题对教师的要求：编制习题对教师的要求： 突破常规，认真学习研究，掌握独立地创造新题的方法和技巧；突破常规，认真学习研究，掌握独立地创造新题的方法和技巧； 不仅需具备广博的专业知识，还要有良好的思维品质；不仅需具备广博的专业知识，还要有良好的思维品质； 不仅要谙熟初等数学知识，而且不仅要谙熟初等数学知识，而且对数学知识体系也对数学知识体系也有较高的造诣；有较高的造诣； 同时要善于想象，从不同的角度去思考问题，防止思维定势。同时要善于想象，从不同的角度去思考问题，防止思维定势。相同：基
9、础能力相同：基础能力严密的逻辑思维能力严密的逻辑思维能力, 一定深度和广度的知识结构一定深度和广度的知识结构, 灵活的数学技巧灵活的数学技巧,以及对多种数学方法的理解和掌握。以及对多种数学方法的理解和掌握。不同：目的不同：目的解题：在给定的条件下去求出问题的答案；解题：在给定的条件下去求出问题的答案；制题：在设定条件的同时制题：在设定条件的同时, 也设定要证明的结论也设定要证明的结论. 制题与解题的异同制题与解题的异同“好好”的数学问题的标准：的数学问题的标准： 应当具有较强的探索性；应当具有较强的探索性； 具有一定的启示；具有一定的启示； 具有一定的开放性；具有一定的开放性； 具有一定的发展
10、余地；具有一定的发展余地； 具有一定的现实意义。具有一定的现实意义。一个好的题目的特点：一个好的题目的特点： 文字叙述简洁明了；文字叙述简洁明了； 假设的条件恰到好处假设的条件恰到好处( (若增多若增多, ,则嫌多余则嫌多余, , 若减少若减少, , 则不能保证结论成则不能保证结论成立立) )； 解题所用到的知识不超出解题者的知识范围。解题所用到的知识不超出解题者的知识范围。（1）成题改编：对原有习题进行加工、改造、深化）成题改编：对原有习题进行加工、改造、深化例例1 1 原题：已知原题：已知 三点，动点三点，动点P P到到 之距离为之距离为 且且 求求P P点的动点轨迹方程。点的动点轨迹方程
11、。改编题：（改编题：（1 1）设等腰）设等腰OABOAB的顶角为的顶角为2 2，高为，高为h h，在，在OABOAB内有一动点内有一动点P P到三边到三边 之距离分别是之距离分别是 且满足且满足 求求P P点轨迹。点轨迹。（2 2）上题中的）上题中的P P为改在为改在OABOAB之外，把之外，把改为改为 ，求点轨迹。，求点轨迹。9 12912( 5,0), (,), (,)5 555MAB,AB MA MB,PCPDPE2,ACPD PE,OA OB AB,PDPFPE,PEPDPFPEPDPFPEPDPF（2 ）高等数学成果初等化）高等数学成果初等化 在高等数学研究成果中，常常包含着一些初等
12、的结论，如恒等式、在高等数学研究成果中，常常包含着一些初等的结论，如恒等式、不等式等。不等式等。 高等数学中的一些问题经过简单化、特殊化、具体化之后，常可高等数学中的一些问题经过简单化、特殊化、具体化之后，常可用初等方法来解决，这些题无范本可循，往往是公认的好题。以高用初等方法来解决，这些题无范本可循，往往是公认的好题。以高观点研制数学题目，可以编制出有新意的题目。观点研制数学题目，可以编制出有新意的题目。121212B12121212题型1 : 以李普希茨条件为设计背景例1 对于a函数y =f(x),如果存在一个正的常数a，使得定义域D内任意两个不等的值x ,x ,都有|f(x )-f(x
13、)|a|x -x |成立，则称函数y =f(x)为D上的李普希茨函数.已知集合M 是满足下列性质的函数f(x)的全体：对于定义域B中的任何两个字变量x，x （x x），有|f(x )-f(x )| 0 0, ,则则a a+ +a a2 2; ;如如果果a a 0 0, ,则则a a+ +a a- -2 2仿仿造造题题：1) 2k1) 2ka (2k+1)a (2k+1)(k(k是是整整数数) )2 22 2求求证证： sinsin+csc+csc2 22)2) 设设2k2k-a 2k-a 2k, (k, (k是是整整数数) )，求求证证tantan+cot+cot-2-22 2a +4a +43)3) 设设a a是是任任意意实实数数，求求证证2.2.a +3a +3
