1、第七章 位移法7-1 位移法的基本概念7-2 等截面直杆的刚度方程7-3 无侧移刚架和有侧移刚架的计算7-4 位移法的基本体系7-5 对称结构的计算27-1 位移法的基本概念一、关于位移法的简例只要求出结点只要求出结点B位移，各杆伸长变形即可求出。然位移，各杆伸长变形即可求出。然后进一步可以求出杆件内力后进一步可以求出杆件内力第一步，分析单杆第一步，分析单杆iiiNiulEAF（刚度方程）（刚度方程） 3第二步，组装结构第二步，组装结构 变形协调条件：变形协调条件： iiusin节点平衡条件：节点平衡条件： )5( sin1nFFniPiNi即即 512siniPiiiFlEA于是得于是得 5
2、12siniiiiPlEAF基本未知量求出后，每根杆件的位移和轴力可求出。基本未知量求出后，每根杆件的位移和轴力可求出。 4上述方法既可用于超静定结构上述方法既可用于超静定结构（n3），又可用于静），又可用于静定结构（定结构（n=2）。）。位移法要点如下：位移法要点如下：1.基本未知量是结构的结点位移基本未知量是结构的结点位移2.基本方程是平衡方程基本方程是平衡方程3.建立基本方程的过程分为两步：建立基本方程的过程分为两步：a.离散结构，进行离散结构，进行杆件分析，得出杆件的刚度方程；杆件分析，得出杆件的刚度方程；b.组装结构，得到组装结构，得到基本方程。基本方程。4.杆件分析是结构分析的基础
3、。（刚度法）杆件分析是结构分析的基础。（刚度法）5二位移法计算刚架基本思路二位移法计算刚架基本思路分别分析杆分别分析杆AB和和AC.相对于杆相对于杆AB和和AC, A点分点分别视为固定支座别视为固定支座. 杆杆AB和和AC分别受载荷和分别受载荷和支座位移作用支座位移作用.基本未知量取为基本未知量取为A点水平线位移和转角点水平线位移和转角.6结点位移是处于关键地位的未知量。结点位移是处于关键地位的未知量。基本思路：基本思路：首先把刚架首先把刚架拆拆成杆件，进行成杆件，进行杆件分析杆件分析杆件在已知杆件在已知端点位移和已知荷载作用下的计算；端点位移和已知荷载作用下的计算；其次把杆件其次把杆件组合组
4、合成刚架，利用成刚架，利用平衡条件平衡条件，建立位移法，建立位移法基本方程，借以求出基本未知量。基本方程，借以求出基本未知量。 77-2 等截面直杆的刚度方程一、符号规则1杆端弯矩 规定顺时针方向为正，逆时针方向为负。杆端弯矩的双重身份：1）对杆件隔离体，杆端弯矩是外力偶，顺时针方向为正，逆时针方向为负。2）若把杆件装配成结构，杆端弯矩又成为内力，弯矩图仍画在受拉边。MBAMCB ABCMBC两个问题两个问题：已知端点位移下求杆端弯矩；已知荷：已知端点位移下求杆端弯矩；已知荷载作用下求固端弯矩。载作用下求固端弯矩。 82结点转角顺时针为正，逆时针为负。 杆件两端相对侧移，其与弦转角 的正负号一
5、致。而以顺时针方向为正，逆时针方向为负。3杆件两端相对侧移BAlABlABCDC( )B( )Fp91. 两端固定梁二、等截面直杆的刚度方程EIilABEIABlABEIMABMBAABl6ABBAiMMlAiBA4ABAMi2BAAMiAiBBABiMABMBA2ABBMi4BABMi10642ABABiMiil624BAABiMiil由上图可得：即为:此外，可得杆端剪力为此外，可得杆端剪力为 )(1BAABQBAQABMMlFF21266lililiFFBAQBAQAB11 以上矩阵为刚度矩阵, 系数称为刚度系数刚度系数, 该系数只与截面尺寸和材料性质有关的常数, 称为形常形常数数. .以
6、上就是弯曲杆件的刚度方程。为紧凑起见，可写成矩阵形式为紧凑起见，可写成矩阵形式BAQABBAABlilililiiiliiiFMM21266642624122. 一端固定、一端辊轴支座的梁 33ABAiMilBAEIAlEIilBAiA3ABAMiBAi3ABiMl ABM133. 一端固定、一端滑动支座的梁ABAMiBAAMi BAEIMABMBAAEIil144. 等截面直杆只要两端的杆端位移对应相同， 则相应的杆端力也相同。 64ABAiMil62BAAiMil1)BAMABMBAEIilABAMABMBAEIilA1533ABAiMilABAMiBAAMi 2)BAMABMBAAEIi
7、lBAMABMBAAEIil3)BAMABEIilABAMABEIilA161. 两端固定梁8pFFABBAF lMM三、固端弯矩212FFABBAqlMMqABlFpAB/2l/2l212ql224ql8PF l8PF l8PF l212ql 单跨超静定梁在荷载作用下产生的杆端弯矩称为固端弯矩。固端弯矩以顺时针方向为正，逆时针方向为负。172. 一端固定、一端辊轴支座的梁28FABqlM 316FPABF lM ABl216qlFpBA/2l/2l532PF lq28ql316PF l183. 一端固定、一端滑动支座的梁23FABqlM 26FBAqlM 2FPABF lM 2FPBAF l
8、M 各种单跨超静定梁的固端弯矩可查教材附表。ABl23ql26qlABlFp2PF l2PF lq19在既有荷载作用，又有端点位移情况下，在既有荷载作用，又有端点位移情况下， 杆端弯矩为：杆端弯矩为： FBABABAFABBAABMliiiMMliiiM642624杆端剪力为：杆端剪力为： FQBABAQBAFQABBAQABFlililiFFlililiF22126612662028FABqlM 28FBAqlM四、正确判别固端弯矩的正负号ABlABlqq28FABqlM28FABqlMqBABAq217-3 无侧移刚架和有侧移刚架的计算一、无侧移刚架的位移法求解建立位移法方程有两种方法：1
9、）直接利用平衡条件建立位移法方程。2）利用位移法基本体系建立位移法方程。22解解:取结点角位移取结点角位移B B作为基本未知量作为基本未知量（铰支座（铰支座C角位移可不选），角位移可不选），由上节表可求各杆固端弯矩：由上节表可求各杆固端弯矩： mkN158m6kN20FBAFABMMmkN98m)6(kN/m22FBCM故各杆杆端弯矩如下（各故各杆杆端弯矩如下（各杆的线刚度相等）：杆的线刚度相等）： mkN93mkN154mkN152BBCBBABABiMiMiM23取结点取结点B为隔离体，列出力矩平衡方程（位移法为隔离体，列出力矩平衡方程（位移法基本方程）：基本方程）： 00BCBABMMM
10、，代入，平衡方程写为代入，平衡方程写为 0mkN67Bi由此可求出基本未知量由此可求出基本未知量 iB7mkN6至此，位移法关键问至此，位移法关键问题得到解决。最后可题得到解决。最后可求出各杆杆端弯矩：求出各杆杆端弯矩： m-11.57kNmkN9)7mkN6(3m11.57kNmkN15)7mkN6(4m-16.72kNmkN15)7mkN6(2iiMiiMiiMBCBAAB24组装原则：组装原则：1. 结点处各杆变形要协调一致，选取基本未知量时保结点处各杆变形要协调一致，选取基本未知量时保证结点处的变形协调条件；证结点处的变形协调条件；2. 装配好的结点满足平衡条件，由基本方程满足。装配好
11、的结点满足平衡条件，由基本方程满足。 25解： 令例7-3-1 用位移法求图示刚架的M图，各杆EI 相同。EIil1. 利用平衡条件建立位移法方程ABCDE8kN/miii4m4m4mi1）未知量：B D( ) ( )262）列出杆端弯矩表达式44210.67BABBDBDMiMii32410.6742.67DCDDBBDDEDMiMiiMi2ABBMi21.33EDDMi a) 固端弯矩ABCDE8kN/miiii0B0Db) B 产生杆端弯矩iABCDEiii0DB( )c) D 产生杆端弯矩iABCDEiiiD0BD( )B273）建立位移法方程并求解0BM0BABDMM0DM0DBDC
12、DEMMM由结点B和结点D的平衡条件可得：8210.670BDii28320BDii120.356/ ()Bi3.911/ ()DiMBDMBABMDBMDCMDED284）作弯矩图0.71.ABMKN m1.42.BAMKN m1.42.BDMKN m 27.02.DBMKN m11.73.DCMKN m38.76.DEMKN m 25.24.EDMKN m 将求得的 B 、 D 代入杆端弯矩表达式得：M 图(kN.m)ABCDE0.711.7827.0225.2438.761.4211.7329（1）在基本未知量中，要包括结点线位移；）在基本未知量中，要包括结点线位移；（2）在杆件计算中，
13、要考虑线位移的影响；）在杆件计算中，要考虑线位移的影响；（3）在建立平衡方程时，要增加与结点线位移对应）在建立平衡方程时，要增加与结点线位移对应的平衡方程。的平衡方程。1.基本未知量的选取基本未知量的选取只分析线位移的选取：只分析线位移的选取：不忽略轴向变形，则平面刚不忽略轴向变形，则平面刚架每个结点有两个线位移，上架每个结点有两个线位移，上图各有图各有2、3、4个结点，故分别个结点，故分别有有4、6、8个结点线位移。个结点线位移。二、有侧移刚架的位移法求解30引入假设：引入假设：(1). 忽略轴力产生的轴向变形；忽略轴力产生的轴向变形；(2). 结点转角和各杆弦转角都很微小。结点转角和各杆弦
14、转角都很微小。则尽管杆件发生弯曲变形，但杆件两端结点之间则尽管杆件发生弯曲变形，但杆件两端结点之间的距离仍保持不变。的距离仍保持不变。 31因不考虑各杆长度的改变，还可以用几何构造分析因不考虑各杆长度的改变，还可以用几何构造分析的方法确定结点的独立线位移的个数。把所有刚结的方法确定结点的独立线位移的个数。把所有刚结点（包括固定支座）改为铰结点，则此铰结体系的点（包括固定支座）改为铰结点，则此铰结体系的自由度数就是原结构的独立节点线位移的数目。自由度数就是原结构的独立节点线位移的数目。（为了使此铰结体系成为几何不变而需添加的链杆（为了使此铰结体系成为几何不变而需添加的链杆数）数） 322基本方程
15、的建立基本方程的建立基本未知量分为刚结点角位移刚结点角位移和独立结点线位移独立结点线位移两类，与此对应，基本方程也分为两类。如图，基本未知量为刚结点B的转角和柱顶的水平位移。 33分析各杆两端的位移，可写出各杆的杆端弯矩如下：分析各杆两端的位移，可写出各杆的杆端弯矩如下： 34基本未知量中，每一个转角有一个每一个转角有一个相应的节点力矩平衡方程相应的节点力矩平衡方程，每一个每一个独立结点线位移有一个相应的截面独立结点线位移有一个相应的截面平衡方程平衡方程。平衡方程个数与基本未知量个数相等，正好求解全部基本未知量。 0 xF35例例7-2，求刚架弯矩图，忽略横梁轴向变形。，求刚架弯矩图，忽略横梁
16、轴向变形。 解：（解：（1）基本未知量）基本未知量只有一个独立线位移，本例没有刚结点，没有转角只有一个独立线位移，本例没有刚结点，没有转角基本未知量。基本未知量。 （2）各柱的杆端弯矩和剪力）各柱的杆端弯矩和剪力 各柱线刚度为各柱线刚度为 333222111hEIihEIihEIi，36由此知杆端弯矩为由此知杆端弯矩为 ，332211333hiMhiMhiMFEDCBA由每柱的平衡求得杆端剪力为由每柱的平衡求得杆端剪力为 ，233222211333hiFhiFhiFQEFQCDQAB（3）位移法方程）位移法方程取柱顶以上横梁部分为隔离体，由水平方向平衡取柱顶以上横梁部分为隔离体，由水平方向平衡
17、条件条件 ，得，得 0 xF0)(QEFQCDQABPFFFF37代入可求得代入可求得 223322221133hiFhihihiFPP（4）杆端弯矩和剪力）杆端弯矩和剪力 （5）根据杆端弯矩可画出弯矩图）根据杆端弯矩可画出弯矩图（6）讨论）讨论 剪力按刚度分配剪力按刚度分配, 然后求弯矩然后求弯矩3824EIi DE1）未知量：4m1m4m2kN/m14kNEEIABCD2EI4EI(i)(i/2)(2i)例7-3-2 用位移法求图示刚架内力图。解：( )( )2）列出杆端弯矩表达式3921414620.75224320.750.75213 2241.5484DCDADEDEDEDADDED
18、EBEEEMiiMiiMiiMiiiiMi a）固端弯矩b）D 产生的杆端弯矩2kN/m14kNEABCDii/22i0D0E EABCDii/22iDD0E ( )EEEABCDii/22i0DE( )c） 产生的杆端弯矩E403）建立位移法方程并求解0DM0DCDADEMMMMDCMDAMDED由结点D平衡：50.75140DEii B2kN/mA14kNECDFQDAMDAMADFQEBMBE0AM1()41 (31.5)4 0.750.375QDADAADDEDEFMMiiii DA柱：作CE梁隔离体，求柱剪力。1410BM1242441 ( 1.54)44 0.3753QEBBEEE
19、FMii EB柱2kN/mA14kNECDBFQDAMDAMADFQEBMBE0 xF 0QDAQEBFF( 0.750.375)(0.3753)0DEEiii 0.750.7530DEii CE梁2428()Ei 解方程组、，得4()Di 4）作内力图16.BEMkN m4820.752 ()0.75 ()862.DADEMiiiiiikN m 14.DCMkN m12.DEMkNm2.ADMkN m43EABCD1412216EABCD1438.MkN m图()()QFkN图3EFNEB=3kN14141433DFNDA= -17kNEABCD17FN=03()NFkN图44 7-4 位移
20、法基本体系1位移法基本体系、基本结构基本未知量统一用 表示。（1）位移法的）位移法的基本体系基本体系：在刚结点在刚结点B加约束控制加约束控制B的转角（不控制线位移）；在结的转角（不控制线位移）；在结点点C加水平支杆控制结点加水平支杆控制结点C的水平位移。的水平位移。（2）基本结构基本结构：在结点：在结点B加约束使结点加约束使结点B不能转动；在结不能转动；在结点点C加水平支杆使结点加水平支杆使结点C不能水平移动。不能水平移动。45（3）基本体系）基本体系原结构：简化计算，与力法措原结构：简化计算，与力法措施相反，效果相同。施相反，效果相同。 2利用基本体系建立基本方程：利用基本体系建立基本方程：
21、（1）基本体系）基本体系原结构的条件原结构的条件第一步，控制附加约束，使结点位移全部为第一步，控制附加约束，使结点位移全部为0，刚架，刚架处于锁住状态，即基本结构。施加荷载，可求出基本结处于锁住状态，即基本结构。施加荷载，可求出基本结构中内力，同时附加约束产生约束反力（约结构没有）；构中内力，同时附加约束产生约束反力（约结构没有）；第二步，控制附加约束，使基本结构发生结点位移，第二步，控制附加约束，使基本结构发生结点位移，这时附加约束中的约束反力将随之改变。当结点位移与这时附加约束中的约束反力将随之改变。当结点位移与原结构实际值相等，则附加约束的约束力即完全消失，原结构实际值相等，则附加约束的
22、约束力即完全消失，附加约束将不起作用，基本体系与原结构完全相同。附加约束将不起作用，基本体系与原结构完全相同。46b.单位位移单位位移 单独作用单独作用相应约束力为相应约束力为 基本体系转化为原结构的条件是：基本体系转化为原结构的条件是：基本结构在给定荷载以及给定结点位移共同作用下，基本结构在给定荷载以及给定结点位移共同作用下，附加约束中产生的总约束力等于零。附加约束中产生的总约束力等于零。 即即 为建立位移法基本方程的条件。为建立位移法基本方程的条件。 0021FF（2）基本方程，利用叠加原理）基本方程，利用叠加原理 a.荷载单独作用荷载单独作用相应约束力为相应约束力为 PPFF21和112
23、111kk 和c.单位位移单位位移 单独作用单独作用相应约束力为相应约束力为 122212kk 和47叠加得叠加得 002222121212121111PPFkkFFkkF，即为位移法基本方程。，即为位移法基本方程。 3计算过程计算过程（1）基本结构在荷载作用下的计算）基本结构在荷载作用下的计算先求各杆固端弯矩，作基本结构在荷载作用下的弯矩图先求各杆固端弯矩，作基本结构在荷载作用下的弯矩图取结点取结点B为隔离体，求得为隔离体，求得 mkN41PF“先锁住后放松先锁住后放松”、“先拆后搭先拆后搭” 48495051具有具有n个基本未知量的问题，位移法基本方程为个基本未知量的问题，位移法基本方程为
24、上式也称为位移法典型方程位移法典型方程。nnnnnnkkkkkkkkk212222111211称为结构的刚度矩阵结构的刚度矩阵。 刚度系数，对称矩阵，主系数大于刚度系数，对称矩阵，主系数大于0，副系数，副系数 52 7-5 对称结构的计算 结构对称是指结构的几何形状、支座条件、材料性质及各杆刚度EA、EI、GA均对称。 利用结构对称性简化计算，基本思路是减少位移法的基本未知量。一、奇数跨刚架 分析与对称轴相交截面的位移条件，在根据对称性取半边结构时，该截面应加上与位移条件相应的支座。1. 对称荷载53 对称结构在对称荷载作用下，其内力和变形均对称。000BBHBV 在取半边结构时，B截面加上滑
25、动支座，但横梁线刚度应加倍。 与对称轴相交截面B的位移条件为:未知量C FP FP B i2 i1i12i2 i1BC FP54 B i i1 i2 i i1 i2i FP FP0 ,0 ,0BBHBVi i1 i22 iBC A未知量,AC FP550,0,0,0BHBVBB左右2反对称荷载 对称结构在反对称荷载作用下，其内力和变形均反对称。 FPi2 i1BC未知量C FP FP B i2 i1 i1 i2560,0,0BBHBV B i2 i1 i1 FP FPB 2i2 i1 C未知量,CCH FP570,0,0BBHBV二、偶数跨刚架偶数跨刚架不存在与对称轴相交的截面。1. 对称荷载
26、 FP FPBi2i ii2i1 FP Bi2 i582. 反对称荷载FPBII1/2I2 将中柱改为跨度为 的小跨，则原结构变为奇数跨。利用奇数跨结构在反对称荷载作用下的结论就可以得到图示简化结果。dlFPFPBIII1I2 I2 dlFPFPBIII1/2 I1/2I2 I2 FPBII1/2I2 59例7-4-1 作图示结构 M 图。三、举例FPi0i0i1i12i1解： i0i0i1i12i1FP/2FP/2M=0FN= -FP/2 FN= -FP/2 2i1i0i0i1i1FP/2FP/260M图（FP h）FP/2i0i1i1i0i1i1FP/4FP/4M=0FN= -FP/4 i
27、0i1i1FP/4FP/4BFP/42i0i13FP h/28FP h/7AChFP32832832831427171732801)ii(令61例例7-4，求吊桥结构内力图。，求吊桥结构内力图。解解: 取半边结构如图取半边结构如图基本未知量取基本未知量取B点点转角转角和和线位移线位移求固端力求固端力62求杆端力求杆端力杆杆BC杆杆BD63列位移法方程列位移法方程整理得整理得求解得求解得计算杆端力计算杆端力64绘制内力图绘制内力图657-5 支座移动结构的计算一、支座移动时的位移法求解解题思路：1）锁住结点，即令结点位移未知量等于零；2）令结构产生已知的支座移动，此时各杆产生固端弯矩；3）令结构
28、分别产生结点位移，此时各杆产生杆端弯矩；4）叠加2)、3)的结果就求得各杆最终的杆端弯矩。66例7-5-1 作下图示结构 M 图。解：( )未知量BEIil。1）杆端弯矩表达式64BABiMil62ABBiMil33BCBiMilABCEIEIllA0BBCEIEIllABCEIEIllB672）建立位移法方程并求解0BABCMM370Biil 63430BBiiiill 0BM3()7Bl3）作弯矩图263630444.28677BABiiiEIMiilllll 233330334.28677BCBiiiEIMiilllll 263636225.14377ABBiiiEIMiilllll 68 在支座移动作用下，超静定结构内力与杆件EI的绝对值成正比。M 图2()EIlABC5.1434.286 结构弯矩图如下图示。 CABCEI、lEI、lAEI、lD思考题:下图示刚架结点B、C有向右位移动 , 作结构内力图。
