1、6.4.3.3余弦定理、正弦定理应用举例温故知新温故知新; sin2 , sin2 sin2(1)CRcBRbARa ，; 2sin , 2sinB , 2sin ).3(RcCRbRaA ; sin:sin:sin: ).2(CBAcba ;sinsin ,sinsin ,sinsin ).4(AaCcCcBbBbAa )(2sinsinsin外外接接圆圆的的半半径径为为其其中中ABCRRCcBbAa 1.正弦定理正弦定理正弦定理的变形：正弦定理的变形：.2acosC ;2cosB ;2cos222222222abcbacbcabcacbA CabbacBcaacbAbccbacos2cos
2、2cos2222222222 2.余弦定理余弦定理余弦定理的变形：余弦定理的变形：222222222 ; ;90baccabcbaCBA 化化为为时时，上上面面的的关关系系式式分分别别分分别别为为、当当温故知新温故知新3.三角形面积公式三角形面积公式)(21)1(边边上上的的高高表表示示ahahSaa AbcBacCabSsin21sin21sin21) 2 ( 温故知新温故知新4.三角形中的常见结论三角形中的常见结论 CBA) 1 (2cot2tan ;2sin2cos;2cos2sin ;tan)tan(;cos)cos( ;sin)sin(CBACBACBACBACBACBA (2)在三
3、角形中大边对大角，大角对大在三角形中大边对大角，大角对大边边.(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边小于第三边(4)有关三角形内角的三角函数式有关三角形内角的三角函数式温故知新温故知新.sinsin)6(BAbaBAABC中，在ABC 是三角形的内角则有、若或 sinsin)7(5) 中，中，A、B、C成等差数列的充要条件成等差数列的充要条件 是是B=60温故知新温故知新(2)基本思路：基本思路：实际问题实际问题数学模型数学模型数学模型的解数学模型的解实际问题的解实际问题的解抽象概括抽象概括示意图示意图演算演算推理推理还原说明还原说明2.实际问
4、题中的有关术语、名称实际问题中的有关术语、名称 (1)仰角和俯角仰角和俯角 在视线和水平线所成的较重，视线在水平线上方的在视线和水平线所成的较重，视线在水平线上方的角角仰角，在水平线下方的角俯角（如下图）角角仰角，在水平线下方的角俯角（如下图）.铅垂线铅垂线视线视线视线视线水平线水平线仰角仰角俯角俯角 检验：检验上述所求的结果是否具有实际意义从检验：检验上述所求的结果是否具有实际意义从而得出实际问题的解而得出实际问题的解.温故知新温故知新(2)方位角方位角从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角，从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角，如如B点的方位角为点的方位角为（如下图（如下图）(3)方向角方向
5、角正南方向：从原点正南方向：从原点O出发的经过目标射线与正出发的经过目标射线与正南的方向线重合，即目标在正南的方向线上南的方向线重合，即目标在正南的方向线上.依次可类推正北方向、正东方向和正西方向依次可类推正北方向、正东方向和正西方向.西西 东东北北 南南图图温故知新温故知新东南方向：指经过目标的涉嫌是正东和正南东南方向：指经过目标的涉嫌是正东和正南的夹角平分线（如图的夹角平分线（如图）.北偏东北偏东：从正北向正东方向旋转：从正北向正东方向旋转角度（图角度（图）南偏西南偏西：从正南向正西方向旋转：从正南向正西方向旋转角度（图角度（图）西西 东东北北 南南图图东南方向东南方向西西 东东北北 南南
6、图图西西 东东北北 南南图图温故知新温故知新在 ABC中，已知a,b,A,讨论三角形解探究：的情况.sinsinbAa分析：由B=,可求出角B，sinc=sinaCA从而.1.当A为钝角或直角时:必须ab,才能有且只有一解，否则无解。0(),AB则C=180温故知新温故知新2.当A为锐角时:如果ab,那么只有一解。如果absinA,则有两解;（2）若a=bsinA,则只有一解.（3）若absinA,则无解.温故知新温故知新方法二：画圆法方法二：画圆法 温故知新温故知新 若若A A为锐角时为锐角时: :锐角一解一锐、一钝二解直角一解无解babaAbAbaAbasinsinsinn若若A A为直角
7、或钝角时为直角或钝角时: :锐角一解无解baba b a b a b a b a a 已知边a,b和 A 仅有一个解 有两个解 仅有一个解 无解 a b CH=bsinAab a=CH=bsinA aCH=bsinA A C B A C B1 A B A C B2 C H H H温故知新温故知新 题型一题型一计算三角形的面积计算三角形的面积【例例1】 如图，在如图，在ABC中，已知，中，已知，B45，D是是BC边上的一点，边上的一点，AD5，AC7，DC3，求，求AB的长的长【例例2】题型题型二二计算线段的长度计算线段的长度 已知已知ABBD，ACCD，AC1，AB2，BAC120，求，求BD
8、的长的长【例例3】(1)求角求角C的大小；的大小；(2)求求sin Asin B的最大值的最大值【题后反思【题后反思】 此类问题常以三角形为载体，以正、余弦此类问题常以三角形为载体，以正、余弦定理和三角函数公式为工具来综合考查，因此要掌握正、定理和三角函数公式为工具来综合考查，因此要掌握正、余弦定理，掌握三角函数的公式和性质余弦定理，掌握三角函数的公式和性质【训练训练3】ACB51o55m75o例例1.设设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点的同测，在所在的河岸边选定一点C，测出测出AC的距离是的距离
9、是55cm，BAC51o， ACB75o，求，求A、B两点间的距离（精确到两点间的距离（精确到0.1m）分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形sinsinABACCB解：根据正弦定理，得解：根据正弦定理，得答：答：A,B两点间的距离为两点间的距离为65.7米。米。sinsinsin55sinsinsin55sin7555sin7565.7( )sin(1805175 )sin54ABACACBABCACACBACBABABCABCmABCD.,),(,2两点间距离的方法设计一种测量达不可到两点都在河的对岸、如图例BABAABCDa解：如图，测量者可
10、解：如图，测量者可以在河岸边选定两点以在河岸边选定两点C、D，设，设CD=a，BCA=，ACD=，CDB=，ADB=分析：用例分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一的方法，可以计算出河的这一岸的一点点C到对岸两点的距离，再测出到对岸两点的距离，再测出BCA的大小，的大小，借助于余弦定理可以计算出借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。两点间的距离。解：测量者可以在河岸边选定两点解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得，测得CD=a,并并且在且在C、D两点分别测得两点分别测得BCA=, ACD=, CDB=, BDA=.在在 ADC和和 BDC中，应用正弦定理得中，应用正弦定理得计算
11、出计算出AC和和BC后，再在后，再在 ABC中，应用余弦定理计中，应用余弦定理计算出算出AB两点间的距离两点间的距离sin()sin()sin()sin 180()sinsinsin()sin 180()aaACaaBC222cosABACBCACBC变式训练：若在河岸选取相距变式训练：若在河岸选取相距4040米的米的C C、D D两两点，测得点，测得 BCA= BCA= ， ACD= ACD= ， CDB= CDB= ，BDA=BDA=60304560求求A、B两点间距离两点间距离 .练习练习1.一艘船以一艘船以32.2n mile / hr的速度向正的速度向正北航行。在北航行。在A处看灯塔
12、处看灯塔C在船的北偏东在船的北偏东20o的方向，的方向，30min后航行到后航行到B处，在处，在B处看灯处看灯塔在船的北偏东塔在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯的方向，已知距离此灯塔塔6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？这艘船可以继续沿正北方向航行吗？11545sin2016.1sin207.787()sin45sin45,sin657.06()6.5ACBCBACABCBn mileCABhhCBn milehn mile 解：在中，由正弦定理得设点 到直线的距离为则此船可以继续沿正北方向航行答：此船可以继续沿正北方向航
13、行C变式练习：两灯塔变式练习：两灯塔A A、B B与海洋观察站与海洋观察站C C的距离都的距离都等于等于a km,a km,灯塔灯塔A A在观察站在观察站C C的北偏东的北偏东3030o o，灯塔，灯塔B B在观察站在观察站C C南偏东南偏东6060o o，则，则A A、B B之间的距离为多之间的距离为多少？少？练习练习2自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆油泵顶杆BC的长度已知车厢的最大仰角是的长度已知车厢的最大仰角是60，油泵顶点，油泵顶点B与车厢支点与车厢支点A之间的距离为之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为与水
14、平线之间的夹角为62020，AC长为长为1.40m，计算，计算BC的长（精确到的长（精确到0.01m0.01m） 最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度CAB练习练习2自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆油泵顶杆BC的长度已知车厢的最大仰角是的长度已知车厢的最大仰角是60，油泵顶点，油泵顶点B与车厢支点与车厢支点A之间的距离为之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为与水平线之间的夹角为62020，AC长为长为1.40m，计算，计算BC的长（精确到的长（精确到0.01m0.01m） 最大角度最大角度
15、最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度 已知已知ABC中中AB1.95m，AC1.40m， 夹角夹角CAB6620，求，求BC解：由余弦定理，得解：由余弦定理，得答：顶杆答：顶杆BCBC约长约长1.89m。 CAB22222 2cos 1.951.402 1.95 1.40 cos66 20 3.571 1.89(m)BCABACAB ACABC 测量垂直高度测量垂直高度 1 1、底部可以到达的、底部可以到达的 测量出角测量出角C C和和BCBC的长度，解直的长度，解直角三角形即可求出角三角形即可求出ABAB的长。的长。 .,. 3的方法物高度设计一种测量建筑为建筑物的最高点不可到达
16、的一个建筑物是底部例ABABAB图中给出了怎样的一个图中给出了怎样的一个几何图形？已知什么，几何图形？已知什么，求什么？求什么？想一想想一想BEAGHDC2 2、底部不能到达的、底部不能到达的 例例3 AB是底部是底部B不可到达的一个建筑物，不可到达的一个建筑物，A为建筑为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法的方法分析：由于建筑物的底部分析：由于建筑物的底部B是不可到达的，所以不能直是不可到达的，所以不能直接测量出建筑物的高。由解接测量出建筑物的高。由解直角三角形的知识，只要能直角三角形的知识，只要能测出一点测出一点C到建筑物的顶部到建筑物的顶部A
17、的距离的距离CA,并测出由点并测出由点C观察观察A的仰角，就可以计算的仰角，就可以计算出建筑物的高。所以应该设出建筑物的高。所以应该设法借助解三角形的知识测出法借助解三角形的知识测出CA的长的长。BEAGHDC)sin(sinaAChahAChAEAB)sin(sinsinsin解：选择一条水平基线解：选择一条水平基线HG,使使H,G,B三点在同一条直线上。由三点在同一条直线上。由在在H,G两点用测角仪器测得两点用测角仪器测得A的的仰角分别是仰角分别是，CD=a,测角仪测角仪器的高是器的高是h.那么，在那么，在 ACD中，中，根据正弦定理可得根据正弦定理可得例例3. AB是底部是底部B不可到达
18、的一个建筑物，不可到达的一个建筑物，A为建筑为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法的方法BEAGHDC).1(,3 .27.150, 4054,. 400mDCmBCACAB精确到求出山高部分的高为塔已知铁角处的俯处测得在塔底的俯角面上一点处测得地铁塔上在山顶如图例分析：根据已知条件，应该设分析：根据已知条件，应该设法计算出法计算出AB或或AC的长的长A AB BC CD D )(177)1504054sin(4054sin150cos3 .27)sin(sincossin,mBCBADABBDABDRt得解CD=BD-BC177-27.3=150
19、(m)答：山的高度约为答：山的高度约为150米。米。)sin(cos)sin()90sin(BCBCAB所以，)90sin()sin(ABBC解：在解：在ABC中，中，BCA= 90 +, ABC= 90 -, BAC=-, BAD=.根据正弦定理，根据正弦定理，A AB BC CD D 例例3 3：如图：如图, ,一辆汽车在一条水平的公路上向一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶正西行驶, ,到到A A处时测得公路北侧远处一山顶处时测得公路北侧远处一山顶D D在西偏北在西偏北15150 0的方向上的方向上, ,行驶行驶5km5km后到达后到达B B处处, ,测测得此山顶在西偏北得此山顶在西偏北
20、25250 0的方向上的方向上, ,仰角为仰角为8 80 0, ,求求此山的高度此山的高度CD CD 例例5 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得处时测得公路南侧远处一山顶公路南侧远处一山顶D在东偏南在东偏南15的方向上，行驶的方向上，行驶5km后到后到达达B处，测得此山顶在东偏南处，测得此山顶在东偏南25的方向上，仰角的方向上，仰角8，求此山，求此山的高度的高度CD.解：在解：在ABC中，中，A=15, C= 25 15=10.根据正弦定理，根据正弦定理，CABABCsinsin).(4524. 710sin15sin5sinsinkmC
21、AABBCCD=BCtanDBCBCtan81047(m)答：山的高度约为答：山的高度约为1047米。米。变式：某人在变式：某人在M M汽车站的北偏西汽车站的北偏西20200 0的方的方向上的向上的A A处，观察到点处，观察到点C C处有一辆汽车处有一辆汽车沿公路向沿公路向M M站行驶。公路的走向是站行驶。公路的走向是M M站站的北偏东的北偏东40400 0。开始时，汽车到。开始时，汽车到A A的距离的距离为为3131千米，汽车前进千米，汽车前进2020千米后，到千米后，到A A的的距离缩短了距离缩短了1010千米。问汽车还需行驶千米。问汽车还需行驶多远，才能到达多远，才能到达M M汽车站？汽
22、车站？ .)3(测量角度).01. 0,1 . 0(,.0 .5432,5 .6775,. 6000nmileCACnmileBBnmileA确到距离精角度精确到需要航行多少距离航行此船应该沿怎样的方向出发到达航行直接从如果下次后到达海岛的方向航行东沿北偏出发然后从后到达海岛航行的方向沿北偏东出发一艘海轮从如图例例例6 一艘海轮从一艘海轮从A出发，沿北偏东出发，沿北偏东75的方向航行的方向航行67.5n mile后到达海岛后到达海岛B,然后从然后从B出发，沿北偏东出发，沿北偏东32的方向航行的方向航行54.0n mile后到达海岛后到达海岛C.如果下次航行直接从如果下次航行直接从A出发到达出发
23、到达C,此船应该此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离（角度精确到沿怎样的方向航行，需要航行多少距离（角度精确到0.1,距距离精确到离精确到0.01n mile）?解：在解：在 ABC中，中，ABC1807532137，根据余弦定理，根据余弦定理，15.113137cos0 .545 .6720 .545 .67cos22222ABCBCABBCABAC1 1 如图，两点，与烟囱底部在同一水平直线上，在点如图，两点，与烟囱底部在同一水平直线上，在点1 1 ，1 1，利用高为，利用高为1.51.5的测角仪器，测得烟囱的仰角的测角仪器，测得烟囱的仰角分别是分别是 4545和和 6060, ,
24、、间的距离是、间的距离是12m. 12m. 计计算烟囱的高算烟囱的高AB(AB(结果精确到结果精确到0.01m).0.01m).DCBA A1C1D1测量高度问题课堂训练课堂训练m52. 1B1AA1C1DDCh1AB求分析：分析：如图所示，因为如图所示，因为AB=AAAB=AA1 1+A+A1 1B B，又已知，又已知AAAA1 1=1.5m,=1.5m,所以所以只要求出只要求出A A1 1B B即可即可. .800B0A0CBA 3. 3.我军有我军有A A、B B两个小岛相距两个小岛相距1010海里，敌军在海里，敌军在C C岛，从岛，从A A岛望岛望C C岛和岛和B B岛成岛成6060的
25、视角，从的视角，从B B岛望岛望C C岛和岛和A A岛成岛成7575的视角，为提高炮弹命中率，须计算的视角，为提高炮弹命中率，须计算B B岛和岛和C C岛岛间的距离，请你算算看间的距离，请你算算看. .ACB10海里海里6075:60 ,75 ,45:10sin60sin4510sin605 6()sin45ABCBCBC解由正弦定理得海里4.4.如图如图, ,一艘船以一艘船以3232海里海里/ /时的速度向正北时的速度向正北航行航行, ,在在A A处看灯塔处看灯塔S S在船的北偏东在船的北偏东2020, 30, 30分钟后航行到分钟后航行到B B处处, ,在在B B处看灯塔处看灯塔S S在船
26、的北在船的北偏东偏东6565方向上方向上, ,求灯塔求灯塔S S和和B B处的距离处的距离. .（保留到（保留到0.10.1）解：解：AB=16AB=16，由正弦定理知：，由正弦定理知： 可求得可求得BSBS7.77.7海里海里. .答：灯塔答：灯塔S S和和B B处的距离为处的距离为7.77.7海里海里. .16sin20sin45BSABS201154516？5 一次机器人足球比赛中,甲队1号机器由点A开始作匀速直线运动,到达B点时,发现足球在点D处正以2倍于自己的速度向点A作匀速直线滚动.如图,已知若忽略机器人原地旋转所需的时间,则该机器人最快可在何处截住足球? 4 2dm,17dm,4
27、5 .ABADBACABD45O分析分析 机器人最快截住足球的地方正是机器人与足球同时到达的地方,设为C点.利用速度建立AC与BC之间的关系,再利用余弦定理便可建立方程解决问题.解解.设机器人最快可在C处截住足球,点C在线段AD上.设BC=x dm,由题意,CD=2x dm.ABD45OCAC=AD-CD=(17-2x) dm.在BCD中,由余弦定理,得.2222cosBCABACABACA即222(4 2)(172 )2 4 2(172 )cos45xxx 解得12375(dm),(dm).3xx所以231727(dm),(dm).3ACxAC 或(不合题意,舍去)答 该机器人最快可在线段A
28、D上离点A7dm的点C处截住足球.6如图,已知O的半径是1,点C在直径AB的延长线上,BC=1,点P是O上半圆上的一个动点,以PC为边作等边三角形PCD,且点D与圆心分别在PC的两侧.(1)若POB=,试将四边形OPDC的面积y表示成的函数;(2)求四边形OPDC面积的最大值.AOBDCP1sin2OP OC分析分析 四边形OPDC可以分成OPC与PCD.SOPC可用表示;而求PCD的面积的关键在于求出边长PC,在OPC中利用余弦定理即可求出;面积最值,可通过函数解决.解解.(1)在POC中,由余弦定理,得.2222cosPCOPOCOP OC54cos所以OPCPCDySS131 2sin(54cos )24 5 32sin()34 (2)当5,326 时,max5 324y
