1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时分层作业 七十四 参 数 方 程 (45分钟 60 分 ) 1.(10分 )将下列参数方程化为普通方程 . (1) (2) 【解析】 (1) 当 x 0时 ,因为将两式相除可得 k= ,将 k= 代入 x= 可得 x= , 所以 4x2+y2-6y=0. 当 x=0时 ,y=0,经检验 ,点 (0,0)满足上式 ,又无论 k取何值 y 6,故所求普通方程是 4x2+y2-6y=0(y 6). (2)由 (sin +cos )2=1+sin 2 =2-(1-sin 2 ),得 y2=2-x. 又因为 x=1-sin 2 0,2, 所以所求普通方程为 y2=2
2、-x,x 0,2. 2.(10分 )若直线 (t是参数 )与圆 ( 是参数 )相切 ,求直线的倾斜角 . 【解析】 直线 (t是参数 )的普通 方程 为 y=xtan . 圆 (是参数 )的普通方程 为 (x-4)2+y2=4, 由于直线与圆相切 ,则 =2, 即 tan 2 = ,解得 tan = , =【 ;精品教育资源文库 】 = 由于 0, ),故 = 或 . 3.(10分 )(2017江苏高考 )在平面坐标系 xOy中 ,已知直线 l的参数方程为 (t 为参数 ),曲线 C的参数方程为 (s为参数 ).设 P为曲线 C上的动点 ,求 点 P到直线 l的距离的最小值 . 【解析】 直线
3、 l的普通方程为 x-2y+8=0. 因为点 P在曲线 C上 ,设 P(2s2,2 s), 从而 点 P到直线 l的距离 d= = , 当 s= 时 ,dmin= . 因此当点 P的坐标为 (4,4)时 ,曲线 C上的点 P到直线 l的距离取到最小值 . 【 变式备选】 (2018南昌模拟 )已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点 O处 ,极轴与 x轴的非负半轴重合 ,且长度单位相同 .直线 l 的极坐标方程为 : sin =10,曲线C: ( 为参数 ),其中 0,2). (1)试写出直线 l的直角 坐标方程及曲线 C的普通方程 . (2)若点 P为曲线 C上的动点 ,求点 P到直线 l距离
4、的最大值 . 【解析】 (1)因为 sin =10, 所以 sin - cos =10,所以 直线 l的直角坐标方程为 x-y+10=0. 曲线 C: ( 为参数 ),消去参数可得曲线 C的普通方程为 x2+(y-2)2=4. (2)由 (1)可知 ,x2+(y-2)2=4 的圆心为 (0,2),半径为 2. 圆心到直线 l的距离为 d= =4 ,所以点 P到直线 l距离的最大值为 4 +2. =【 ;精品教育资源文库 】 = 4.(10分 )(2018福州模拟 )已知曲线 C的极坐标方程是 -6cos +2sin + =0,以极点为平面直角坐标系的原点 ,极轴为 x轴的正半轴 ,建立平面直角
5、坐标系 ,在平面直角坐标系 xOy中 ,直线 l经过点 P(3,3),倾斜角 = . (1)写出曲线 C的直角坐标方程和直 线 l的参数方程 . (2)设 l与曲线 C相交于 A,B两点 ,求 |AB|的值 . 【解析】 (1)曲线 C化为 2-6 cos +2 sin +1=0, 再化为直角坐标方程为 x2+y2-6x+2y+1=0, 化为标准方程为 (x-3)2+(y+1)2=9, 直线 l的参数方程为 即 (t为参数 ), (2)将 l的参数方程代入曲线 C的直角坐标方程 ,整理得 t2+4 t+7=0, =(4 )2-4 7=200,则 t1+t2=-4 ,t1t2=7,所以 |AB|
6、=|t1-t2|= =2 . 5.(10分 )(2016全国卷 ) 在直角坐标系 xOy中 ,圆 C的方程为 (x+6)2+y2=25. (1)以坐标原点为极点 ,x轴正半轴为极轴建立极坐标系 ,求圆 C的极坐标方程 . (2)直线 l的参数方程是 (t为参数 ),l与 C交于 A,B两点 ,|AB|= ,求 l的斜率 . 【解析】 (1)整理圆的方程得 x2+y2+12x+11=0, 由 可知圆 C的极坐标方程为 2+12 cos +11=0. (2)由题意可得直线过原点且斜率存在 , 记直线的斜率为 k,则直线的方程为 kx-y=0, 由垂径定理及点到直线距离公式知 : = , =【 ;精
7、品教育资源文库 】 = 即 = ,整理得 k2= ,则 k= . 6.(10分 )(2018福州模拟 )在极坐标系中 ,曲线 C1:sin 2=4cos , 以极点为坐标原点 ,极轴为 x轴正半轴建立直角坐标系 xOy,曲线 C2的参数方程为 : ,曲线C: (t为参数 ). (1)求 C1的直角坐标方程 . (2)C与 C1相交于点 A,B,与 C2相切于点 Q,求 的值 . 【解析】 (1)因为 x= cos ,y= sin , 由 sin 2 =4cos 得 2sin2 =4 cos ,所以曲线 C1的直角坐标方程为 :y2=4x. (2)设 Q(cos ,sin ) ,易知直线 C的斜
8、率 k= , 所以 kOQ=- ,即 =tan =- . 所以 =- ,故 Q , 取 x0= ,y0=- ,不妨设 A,B 对应的参数分别为 t1,t2, 把 代入 y2=4x, 化简得 3t2-(8+2 )t-8 +1=0, 易知 0,t1+t2= . 所以 |AQ|-|BQ|=|t1+t2|= . =【 ;精品教育资源文库 】 = 【 变式备选】 (2016全国卷 ) 在直角坐标系 xOy中 ,曲线 C1的参数方 程为 ( 为参数 ),以坐标原点为 极点 ,以 x 轴的正半轴为极轴 ,建立极坐标系 ,曲线 C2的极坐标方程为 sin =2 . (1)写出 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程 . (2)设点 P在 C1上 ,点 Q在 C2上 ,求 |PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标 . 【解析】 (1)由 得 +y2=1. 因为 sin = sin + cos =2 , 所以 x+y=4.所以 C1的普通方程为 +y2=1,C2的直角坐标方程为 x+y=4. (2)由题意 ,可设点 P的直角坐标为 ,因为 C2是直线 ,所以 的最小值即为 P到 C2的距离 d( )的最小值 ,d( )= = . 当且仅当 =2k + (k Z)时 ,d( )取得最小值 ,最小值为 ,此时 P的直角坐标为 .
