1、人教人教2019A2019A版必修版必修 第二册第二册第七章第七章 复数复数7.1.1 7.1.1 数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念远古的人类,为了统计捕获的野兽和采集的野果, 用划痕、 石子,结绳记个数,历经漫长的岁月,创造了自然数1、2、3、4、5、自然数自然数是现实世界最基本的数量,是全部数学的发源地.古代印度人最早使用了“0”.为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数法的需要,人类引进了负数.负数概念最早产生于我国,东汉初期的“九章算术”中就有负数的说法.公元3世纪,刘徽在注解“九章算术”时,明确定义了正负数:“两算得失相反,要令正负以名之”.不仅如此,刘徽还给出了正负数的
2、加减法运算法则.千年之后,负数概念才经由阿拉伯传人欧洲。25002500年年古希腊的毕达哥拉斯学派认为古希腊的毕达哥拉斯学派认为, , 世世间任何数都可以用整数或分数表示间任何数都可以用整数或分数表示, ,并将此并将此作为他们的一条信条作为他们的一条信条. .有一天有一天, ,这个学派中这个学派中的一个成员希伯斯突然发现边长为的一个成员希伯斯突然发现边长为1 1的正方的正方形的对角线是个奇怪的数形的对角线是个奇怪的数, ,于是努力研究于是努力研究, , 终于证明出它不能用整数或分数表示终于证明出它不能用整数或分数表示. . 但但这打破了毕达哥拉斯学派的信条这打破了毕达哥拉斯学派的信条, ,引起
3、了数引起了数学史上的第一次危机，进而建立了无理数学史上的第一次危机，进而建立了无理数, ,扩大了数域扩大了数域, ,为数学的发展做出了贡献为数学的发展做出了贡献, ,由由于希伯斯坚持真理于希伯斯坚持真理, ,他被扔进大海他被扔进大海, ,为此献为此献出了年轻的生命。出了年轻的生命。随着生产、生活的需要，人们发现，随着生产、生活的需要，人们发现，仅仅能表示整数是远远不行的仅仅能表示整数是远远不行的.如如果分配猎获物时，果分配猎获物时，2个人分个人分1件东西，件东西，每个人应该得多少呢？于是分数就每个人应该得多少呢？于是分数就产生了产生了.情景导入情景导入 在解决求判别式小于在解决求判别式小于0
4、0的实系数一元二次方程根的的实系数一元二次方程根的问题问题 时，一个自然的想法是，能否像引进无理数而把时，一个自然的想法是，能否像引进无理数而把有理数集扩充到实数集那样，通过引进新的数而使实有理数集扩充到实数集那样，通过引进新的数而使实数集得到扩充，从而使方程变得可解呢？复数概念的数集得到扩充，从而使方程变得可解呢？复数概念的引入与这种想法直接相关引入与这种想法直接相关. .新课讲解新课讲解 为了解决这个问题，数学家为了解决这个问题，数学家大胆大胆引入一个引入一个新数新数i i ，把，把i i叫做虚数单位，叫做虚数单位，并且规定：并且规定：(1) i(1) i2 21 1 ；(2)(2)实数可
5、以与实数可以与 i i 进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算律乘法的运算律( (包括交换律、结合律和分配律包括交换律、结合律和分配律) )仍然成立。仍然成立。22(23 )2323,23iiii， ， ， ， 下列这些数与虚数单位i经过了哪些运算？想一想实部实部一一. .复数的概念复数的概念复数通常用字母复数通常用字母z z表示，即表示，即 biaz 虚部虚部其中其中 称为称为虚数单位虚数单位。i练习练习: :把下列式子化为把下列式子化为 a+bia+bi（a a、b b R R）的形式，并分别指出它们的实部和）的形式，并分别指出它
6、们的实部和虚部。虚部。2 -2 -i i = = -2 -2i i = _= _5=5= _ _；0=_0=_ 5+05+0i i0+(-2)0+(-2)i i0+00+0i i2+(-1)2+(-1)i i形如a+bi(a、bR)的数叫做复数，全体复数所成的集合叫做复数集，一般用字母C表示 二二. .复数的代数形式复数的代数形式可以是实数，只要b=0时，z表示实数复数复数Z=a+bi)00(ba，非纯虚数非纯虚数)00(ba，纯虚数纯虚数)0(b虚数虚数()0b实数实数复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间有什么关系？复数集复数集虚数集虚数集实数集实数集纯虚数集如果两个复数相等，那么它们应满足
7、什么条件呢？如果两个复数相等，那么它们应满足什么条件呢？如果两个复数的如果两个复数的实部实部和和虚部虚部分别相等，那么我们就说这分别相等，那么我们就说这两个复数相等。两个复数相等。即即(), , ,a b c dRdicbia 若若0()abia bR、注意：两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。但两个实数可以注意：两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。但两个实数可以比较大小。比较大小。例1:实数m取什么值时，复数 z=m+1+(m-1)i是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数。解解: （1）当当 ，即，即 时，复数时，复数z 是实数。是实数。01 m1 m（2）当当 ，即，即 时
8、，复数时，复数z 是虚数。是虚数。01 m1 m（3）当当 0101mm，即，即 时，复数时，复数z 是纯虚数。是纯虚数。1 m例题讲解例题讲解2-3i06i实部实部虚部虚部分类分类2i虚数虚数例例2.2.完成下列表格（分类一栏填实数、虚数或纯虚数）完成下列表格（分类一栏填实数、虚数或纯虚数）i34212-3虚数虚数00实数实数06纯虚数纯虚数-10实数实数例例3.3. 已知已知 ，其中，其中 求求()2(25) (3)x yxy ixx yi ,Ryx。与 yx解：根据复数相等的定义，得方程组解：根据复数相等的定义，得方程组2523xyxxyxy23yx得得练习练习 已知已知其中其中x x、yRyR求求x x与与y y的值。的值。iyyix)3() 12( 随堂练习随堂练习复复 数数 z = a + bi(a,bR)复数的分类复数的分类当当b=0时时z为实数为实数;当当b 0时时z为虚数为虚数(此时此时,当当a =0时时z为纯虚数为纯虚数)。复数的相等复数的相等a+bi=c+di(a, b,c,d R) a=cb=d课堂小结课堂小结虚数的引入虚数的引入
