1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时分层作业 十三 变化率与导数、导数的计算 一、选择题 (每小题 5分 ,共 35分 ) 1.f(x) 是函数 f(x)= x3+2x+1 的导函数 ,则 f( -1)的值为 ( ) A.0 B.3 C.4 D.- 【解析】 选 B.因为 f(x)= x3+2x+1, 所以 f (x)=x2+2. 所以 f (-1)=3. 2.已知函数 f(x)= cos x,则 f()+f = ( ) A.- B.- C.- D.- 【解析】 选 C.因为 f (x)=- cos x+ (-sin x), 所 以 f( )+f =- + (-1)=- . 3.(2018吉
2、林模拟 )已知曲线 y=ln x的切线过原点 ,则此切线的斜率 为 ( ) A.e B.-e C. D.- 【解析】 选 C.y=ln x的定义域为 (0,+), 且 y= ,设切点为 (x0,ln x0),则 y = ,切线方程为y-ln x0= (x-x0),因为切线过点 (0,0),所以 -ln x0=-1,解得 x0=e,故此切线的斜率为 . 【 变式备选】 曲线 y=ex在点 A(0,1)处的切线斜率为 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A.1 B.2 C.e D. 【解析】 选 A.由题意知 y=e x,故所求切线斜率 k=ex =e0=1. 4.(2018沈阳模拟 )若曲
3、线 y=x3+ax在坐标原点处的切线方程是 2x-y=0,则实数 a= ( ) A.1 B.-1 C.2 D.-1 【解析】 选 C.导数的几何意义即为切线的斜率 ,由 y=3x 2+a得在 x=0处的切线斜率为 a,所以 a=2. 【 变式备选】 直线 y= x+b 是曲线 y=ln x(x0)的一条切线 ,则实数 b的值 为 ( ) A.2 B.ln 2+1 C.ln 2-1 D.ln 2 【解析】 选 C.y=ln x的导数为 y= ,由 = ,解得 x=2,所以切点为 (2,ln 2).将其代入直线方程 y= x+b,可得 b=ln 2-1. 5.已知 f(x)=2exsin x,则曲
4、线 f(x)在点 (0,f(0)处的切线方程为 ( ) A.y=0 B.y=2x C.y=x D.y=-2x 【解析】 选 B.因为 f(x)=2exsin x,所以 f(0)=0,f(x)=2e x (sin x+cos x),所以 f(0)=2, 所以曲线 f(x)在点 (0,f(0)处的切线方程为 y=2x. 6.设曲线 y= 在点 处的切线与直线 x-ay+1=0平行 ,则实数 a等 于 ( ) A.-1 B. C.-2 D.2 【解析】 选 A.因为 y = ,所以 y =-1, 由条件知 =-1,所以 a=-1. 7.直线 y=kx+1与曲线 y=x3+ax+b相切于点 A(1,3
5、),则 2a+b 的值等于 ( ) A.2 B.-1 C.1 D.-2 【解析】 选 C.依题意知 ,y =3x2+a, 则 由此解得 所以 2a+b=1. 二、填空题 (每小题 5分 ,共 15分 ) 8.若曲线 y=2x2的一条切线 l 与直线 x+4y-8=0垂直 ,则切线 l的方程为 _. =【 ;精品教育资源文库 】 = 【解析】 设切点为 (x0,y0),y =4x,则 4x0=4?x0=1,所以 y0=2,所以切线方程为 :y-2=4(x-1)?4x-y-2=0. 答案 :4x-y-2=0 9.(2018长沙模拟 )若函数 f(x)=ln x-f( -1)x2+3x-4,则 f(
6、1)= _. 【解析】 因为 f(x)= -2f( -1)x+3, 所以 f (-1)=-1+2f (-1)+3, 解得 f (-1)=-2,所以 f (1)=1+4+3=8. 答 案 :8 10.已知定义在 R上的函数 f(x)满足 f(1-x)+f(1+x)=2,且当 x1时 ,f(x)=xe2-x,则曲线 y=f(x)在 x=0处的切线方程是 _. 【解析】 因为 f(x)满足 f(1-x)+f(1+x)=2, 所以 y=f(x)的图象关于点 (1,1)对称 . 当 x1时 ,取点 (x,y),该点关于 (1,1)的对称点是 (2-x,2-y), 代入 f(x)=xe2-x可得 : 2-
7、y=(2-x)e2-(2-x), 所以 y=2-(2-x)ex=xex, y =(x+1)ex,y |x=0=1, 所以 切线方程为 y=x,即 x-y=0. 答案 :x-y=0 1.(5分 )已知函数 f(x)在 R上满足 f(2-x)=2x2-7x+6,则曲线 y=f(x)在 (1,f(1)处的切线方程是 ( ) A.y=2x-1 B.y=x C.y=3x-2 D.y=-2x+3 【解析】 选 C.令 x=1得 f(1)=1,令 2-x=t,可得 x=2-t,代入 f(2-x)=2x2-7x+6得 f(t)=2(2-t)2-7(2-t)+6,化简整理得 f(t)=2t2-t,即 f(x)=
8、2x2-x,所以 f (x)=4x-1,所以 f (1)=3. 所以所求切线方程为 y-1=3(x-1),即 y=3x-2. 【巧思妙解】 选 C.令 x=1得 f(1)=1,由 f(2-x)=2x2-7x+6,两边求导可得 f(2 -x) (2-x)=4x -7,令 x=1可得 -f(1)= -3,即 f(1)=3. 所以所求切线方程为 y-1=3(x-1),即 y=3x-2. 2.(5分 )(2018上饶模拟 )若点 P是曲线 y=x2-ln x上任意一点 ,则点 P到直线 y=x-2 距离的最小值为( ) A.1 B. C. D. 【解析】 选 B.对于曲线 y=x2-ln x上任意一点
9、 P,当过该点的切线斜率与直线 y=x-2的斜率相同时 ,点 P到直线的距离最小 . 因为定义域为 (0,+ ),所以 y =2x- =1,解得 x=1,则在 P(1,1)处的切线方程为 x-y=0,所以两平行线间的距离为 d= = . 【 变式备选】 曲线 y=ln(2x)上任意一点 P到直线 y=2x的距离的最小值是 _. 【解析】 如图 ,所求最小值即曲线上斜率为 2的切线与 y=2x 两平行线间的距离 , =【 ;精品教育资源文库 】 = 也即切点到直线 y=2x的距离 .由 y=ln(2x), 则 y = =2,得 x= ,y=ln =0, 即与 直线 y=2x平行的曲线 y=ln(
10、2x)的切线的切点坐标是 ,y=ln(2x)上任意一点 P到直线 y=2x的距离的最小值 ,即 = . 答案 : 3.(5分 )(2018沧州模拟 )若存在过点 O(0,0)的直线 l与曲线 f(x)=x3-3x2+2x和 y=x2+a都相切 ,则 a的值为 _. 【解析】 易知点 O(0,0)在曲线 f(x)=x3-3x2+2x上 , (1)当 O(0,0)是切点时 ,切线方程为 y=2x,则联立 y=2x和 y=x2+a得 x2-2x+a=0, 由 =4-4a=0,解得 a=1. (2)当 O(0,0)不是切点时 ,设切点为 P(x0,y0),则 y0= -3 +2x0,且 k=f (x0
11、)=3 -6x0+2. 又 k= = -3x0+2, 由 ,联立 ,得 x0= (x0=0舍 ), 所以 k=- , 所以所求切线 l的方程为 y=- x. 由 得 x2+ x+a=0. =【 ;精品教育资源文库 】 = 依题意 , = -4a=0,所以 a= . 综上 ,a=1或 a= . 答案 : 1或 【易错警示】 (1)片面理解“过点 O(0,0)的直线与曲线 f(x)=x3-3x2+2x相切” .这里有两种可能 :一是点 O是切点 ;二是点 O不是切点 ,但曲线经过点 O,解析中易忽视 后面情况 . (2)本题还易出现以下错误 :一是当点 O(0,0)不是切点 ,无法与导数的几何意义
12、沟通起来 ;二是盲目设直线 l的方程 ,导致解题复杂化 ,求解受阻 . 4.(12分 )已知函数 f(x)=x3+x-16. (1)求曲线 y=f(x)在点 (2,-6)处的切线的方程 . (2)直线 l为曲线 y=f(x)的切线 ,且经过原点 ,求直线 l的方程及切点坐标 . 【解析】 (1)可判定点 (2,-6)在曲线 y=f(x)上 . 因为 f (x)=(x3+x-16) =3x2+1, 所以 f(x)在点 (2,-6)处的切线的斜率为 k=f (2)=13. 所以切线的方程为 y+6=13(x-2),即 y=13x-32. (2)设切点坐标为 (x0,y0), 则直线 l的斜率 k为
13、 f (x0)=3 +1, y0= +x0-16, 所以直线 l的方程为 y=(3 +1)(x-x0)+ +x0-16. 又因为直线 l过原点 (0,0), 所以 0=(3 +1)(-x0)+ +x0-16,整理得 , =-8,所以 x0=-2, 所以 y0=(-2)3+(-2)-16=-26,得切点坐标为 (-2,-26),k=3 (-2)2+1=13. 所以直线 l的方程为 y=13x,切点坐标为 (-2,-26). 5.(13分 )已知函数 f(x)=x-1+ (a R,e为自然对数的底数 ). (1)若曲线 y=f(x)在点 (1,f(1)处的切线平行于 x轴 ,求 a的值 . (2)
14、当 a=1时 ,若直线 l:y=kx-1与曲线 y=f(x)相切 ,求 l的直线方程 . 【解析】 (1)f(x)=1 - ,因为曲线 y=f(x)在点 (1,f(1)处的切线平行于 x轴 , =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 f (1)=1- =0,解得 a=e. (2)当 a=1时 ,f(x)=x-1+ ,f (x)=1- . 设切点为 (x0,y0), 因为 f(x0)=x0-1+ =kx0-1, f (x0)=1- =k, +得 x0=kx0-1+k,即 (k-1)(x0+1)=0. 若 k=1,则式无解 ,所以 x0=-1,k=1-e. 所以 l的直线方程为 y=(1-e)x-1.
