1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第九单元 不等式 教材复习课 “ 不等式 ” 相关基础知识一课过 不等式、一元二次不等式 过双基 1 两个实数比较大小的方法 (1)作差法? a b0?ab，a b 0?a b，a b1?ab a R， b ，ab 1?a b a R， b ，abb?bb， bc?ac； (3)可加性： ab?a cb c； ab， cd?a cb d； (4)可乘性： ab， c0?acbc； ab0， cd0?acbd； (5)可乘方性： ab0?anbn(n N， n1) ； (6)可开方性： ab0?n an b(n N， n2) 3三个 “ 二次 ” 间的关系 判别
2、式 b2 4ac 0 0 0 二次函数 y ax2 bx c (a 0)的图象 一元二次方程 ax2 bx c 0 (a0)的根 有两相异实根 x1， x2 (x1 x2) 有两相等实根 x1 x2 b2a 没有实数根 =【 ;精品教育资源文库 】 = ax2 bx c 0 (a0)的解集 x|xx2或 xb0，则下列不等式中恒成立的是 ( ) A.bab 1a 1 B a 1ab 1b C a 1bb 1a D.2a ba 2bab 解析：选 C 由 ab0?0b 1a，故选 C. 2设 M 2a(a 2)， N (a 1)(a 3)，则 ( ) A M N B M N C M N D M
3、N 解析：选 A 由题意知， M N 2a(a 2) (a 1)(a 3) 2a2 4a (a2 2a 3) (a 1)2 20 恒成立，所以 MN. 3已知一元二次不等式 f(x) 0 的解集为 xx 1 或 x 12，则 f(10x) 0 的解集为( ) A x|x 1 或 x lg 2 B x| 1 x lg 2 C x|x lg 2 D x|x lg 2 解析：选 C 一元二次不等式 f(x) 0 的解集为 xx 1 或 x 12，则不等式 f(10x) 0可化为 10x 1 或 10x 12，解得 x lg 12，即 x lg 2，所以所求不等式的 解集为 x|x lg 2 4不等式
4、 6x2 2 x 的解集是 _ 解析：不等式 6x2 2 x 可化为 6x2 x 2 0， 即 (3x 2)(2x 1) 0， 解不等式得 x12， 所以该不等式的解集是 ? ? ， 23 ? ?12， . 答案： ? ? ， 23 ? ?12， =【 ;精品教育资源文库 】 = 清易错 1在乘法法则中，要特别注意 “ 乘数 c 的符号 ” ，例如当 c0 时，有 ab?ac2bc2；若无 c0 这个条件， ab?ac2bc2就是错误结论 (当 c 0 时，取 “ ”) 2对于不等式 ax2 bx c0，求解时不要忘记讨论 a 0 时的情形 3当 0(a0) 的解集为 R 还是 ?，要注意区别
5、 a 的符号 1若 (m 1)x2 (m 1)x 3(m 1)0，故 ab 0，则 a 0， b 0，故 为真命题 故 为真命题 答案： 3若不等式 ax2 bx c 0 的解集是 ( 2,3)，则不等式 bx2 ax c 0 的解集是_ =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析： 不等式 ax2 bx c 0 的解集是 ( 2,3)， a 0，且对应方程 ax2 bx c 0 的实数根是 2 和 3， 由根与系数的关系，得? ca 23 ，ba 2 3，即 ca 6， ba 1， b 0，且 ab 1， cb 6， 不等式 bx2 ax c 0 可化为 x2 x 6 0， 解得 3 x 2，
6、该不等式的解集为 ( 3,2) 答案： ( 3,2) 简单的线性规划问题 过双基 1 一元二次不等式 (组 )表示的平面区域 不等式 表示区域 Ax By C 0 不包括 边界直线 Ax By C0 直线 Ax By C 0 某一侧的所有点组成的平面区域 包括 边界直线 不等式组 各个不等式所表示平面区域的 公共部分 2 线性规划中的基本概念 名称 意义 约束条件 由变量 x， y 组成的不等式 (组 ) 线性约束条件 由 x， y 的 一次 不等式 (或方程 )组成的不等式 (组 ) 目标函数 关于 x， y 的函数 解析式 ，如 z 2x 3y 等 线性目标函数 关于 x， y 的 一次
7、解析式 可行解 满足线性约束条件的解 (x， y) 可行域 所有可行解组成的 集合 最优解 使目标函数取得 最大值 或 最小值 的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的 最大值 或 最小值 问题 =【 ;精品教育资源文库 】 = 小题速通 1不等式 (x 2y 1)(x y 3)0 在坐标平面内表示 的区域 (用阴影部分表示 )应是( ) 解析：选 C 由 (x 2y 1)(x y 3)0 ? x 2y 10 ，x y 30 或 ? x 2y 10 ，x y 30. 结合图形可知选 C. 2 (2017 全国卷 )设 x， y 满足约束条件? x 3y3 ，x y1 ，y0 ，
8、则 z x y 的最大值为( ) A 0 B 1 C 2 D 3 解析： 选 D 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，平移直线 y x，当直线经过点A(3,0)时， z x y 取得最大值，此时 zmax 3 0 3. 3在平面直角坐标系 xOy 中， P 为不等式组? y1 ，x y 20 ，x y 10所表示的平面区域上一动点，则直线 OP 斜率的最大值为 ( ) A 2 B.13 C.12 D 1 解析：选 D 作出可行域如图中阴影部分 所示，当点 P 位于? x y 2，y 1 的交点 (1,1)时， (kOP)max 1. =【 ;精品教育资源文库 】 = 4已知 z 2x y，
9、实数 x， y 满足? y x，x y2 ，x m，且 z 的最大值是最小值的 4 倍，则m 的值是 ( ) A.14 B.15 C.16 D.17 解析：选 A 根据题意画出如图所示的可行域如图中阴影 部分所示 平移直线 l： 2x y 0，当 l 过点 A(m， m)时 z 最小，过点 B(1,1)时 z 最大，由题意知， zmax 4zmin，即 3 43 m，解得 m 14. 清易错 1画出平面区域避免失误的重要方法就是首先把二元一次不等式化为 ax byc0(a0) 2线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有
10、实数 x， y 满足? xy0 ，|x y|1 ， 使 z ax y 取得最大值的最优解有 2 个，则 z1 ax y 1的最小值为 ( ) A 0 B 2 C 1 D 1 解析：选 A 画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示， z ax y 取得最大值的最优解有 2 个， a 1， a 1， 当 x 1，y 0 或 x 0， y 1 时， z ax y x y 有最小值 1， ax y 1的最小值是 0. 基本不等式 过双基 1基本不等式 ab a b2 =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)基本不等式成立的条件： a0， b0. (2)等号成 立的条件：当且仅当 a b. 2几个重
11、要的不等式 (1)a2 b2 2ab(a， b R)； (2)ba ab 2(a， b 同号 )； (3)ab ? ?a b2 2(a， b R)； (4)? ?a b2 2 a2 b22 (a， b R) 3算术平均数与几何平均数 设 a 0， b0，则 a， b 的算术平均数为 a b2 ，几何平均数为 ab，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 4利用基本不等式求最值问题 已知 x0， y0，则 (1)如果 xy 是定值 p，那么当且仅当 x y 时， x y 有最小值是 2 p(简记：积定和最小 ) (2)如果 x y 是定值 q，那么当且仅当 x y 时，
12、xy 有最大值是 q24(简记：和定积最大 ) 小题速通 1若实数 a， b 满足 1a 2b ab，则 ab 的最小值为 ( ) A. 2 B 2 C 2 2 D 4 解析：选 C 由 1a 2b ab，知 a 0， b 0， 所以 ab 1a 2b2 2ab，即 ab2 2， 当且仅当? 1a 2b，1a2b ab，即 a 4 2， b 24 2时取 “ ” ， 所以 ab 的最小值为 2 2. 2已知直线 2ax by 2 0(a 0， b 0)过点 (1,2)，则 1a 1b的最小值是 ( ) A 2 B 3 =【 ;精品教育资源文库 】 = C 4 D 1 解析：选 C 由直线 2a
13、x by 2 0(a 0， b 0)过点 (1,2)， 可得 2a 2b 2，即 a b 1. 则 1a 1b ? ?1a 1b (a b) 2 ab ba2 2 ba ab 4，当且仅当 a b 12时取等号 1a 1b的最小值为 4. 3已知 x， y R 且 2x 2y 1，则 x y 的取值范围为 _ 解析：根据题意知， 2x 0,2y 0， 所以 1 2x 2y2 2x2 y 2 2x y， 即 2x y 14 2 2， x y 2， 所以 x y 的取值范围为 ( ， 2 答案： ( ， 2 清易错 1求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件 2多次使
14、用基本不等式时，易忽视取等号的条件的一致性 1在下列函数中，最小值等于 2 的函数是 ( ) A y x 1x B y cos x 1cos x? ?02，故 B 错误；因为 x2 2 2，所以 y x2 2 1x2 22，故 C错误； 因为 ex0，所以 y ex 4ex 22 ex 4ex 2 2，当且仅当 ex 4ex，即 ex 2 时等号成立，故选 D. 2 (2017 天津高考 )若 a， b R， ab0，则 a4 4b4 1ab 的最小值为 _ 解析：因为 ab0，所以 a4 4b4 1ab 2 4a4b4 1ab 4a2b2 1ab 4ab1ab2 4ab1ab 4，=【 ;精品教育资源文库 】 = 当且仅当? a2 2b2，ab 12 时取等号，故a4 4b4 1ab 的最小值是 4. 答案： 4 一、选择题 1 (2018 洛阳统考 )已知 aabab2 B ab2aba C abaab2 D abab2a 解析 ： 选 D 1ab2a. 2 下列不等式中正确的 是 ( ) A 若 a R， 则 a2 96a B 若 a， b R， 则 a bab2 C
