1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时达标检测（三十七） 直线与方程 小题对点练 点点落实 对点练 (一 ) 直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系 1直线 x 3y 1 0 的倾斜角是 ( ) A. 6 B. 3 C.23 D.56 解析：选 D 由直线的方程得直线的斜率为 k 33 ，设倾斜角为 ，则 tan 33 ，所以 56 . 2三条直线 l1： x y 0， l2： x y 2 0， l3： 5x ky 15 0 构成一个三角形，则 k的取值范围是 ( ) A k R B k R 且 k1 ， k0 C k R 且 k5 ， k 10 D k R 且 k5 ， k1 解析：选 C 由
2、 l1 l3得 k 5；由 l2 l3得 k 5；由 x y 0 与 x y 2 0 得 x 1，y 1，若 (1,1)在 l3上，则 k 10.故若 l1， l2， l3能构成一个三角形，则 k5 且 k 10.故选 C. 3 (2018 山东省实验中学月考 )设 a， b， c 分别是 ABC 中角 A， B， C 所对的边，则直线 sin A x ay c 0 与 bx sin B y sin C 的位置关系是 _ 解析：由题意可得直线 sin A x ay c 0 的斜率 k1 sin Aa ， bx sin B y sin C 0 的斜率 k2 bsin B，故 k1k2 sin A
3、a bsin B 1，则直线 sin A x ay c 0 与直线bx sin B y sin C 0 垂直 答案：垂直 4若直线 l 经过点 A(1,2)，在 x 轴上的截距的取值范围是 ( 3， 3)，则其斜率的取值范围是 _ 解析：设直线 l 的斜率为 k，则直线方程为 y 2 k(x 1)， 在 x 轴上的截距为 1 2k，令 312. =【 ;精品教育资源文库 】 = 故其斜率的取值范围为 ( ， 1) ? ?12， . 答案： ( ， 1) ? ?12， 对点练 (二 ) 直线的方程 1两直线 xm yn a 与 xn ym a(其中 a 是不为零的常数 )的图象可能是 ( ) 解
4、析：选 B 直线方程 xm yn a 可化为 y nmx na，直线 xn ym a 可化为 y mnx ma，由此可知两条直线的斜率同号，故选 B. 2过点 (2,1)，且倾斜角比直线 y x 1 的倾斜角小 4 的直线方程是 ( ) A x 2 B y 1 C x 1 D y 2 解析：选 A 直线 y x 1 的斜率为 1，则倾斜角为 34. 依题意，所求直线的倾斜角为 34 4 2 ， 其方程为 x 2. 3在等腰三角形 AOB 中， AO AB，点 O(0,0)， A(1,3)，点 B 在 x 轴的正半轴上，则直线 AB 的方程为 ( ) A y 1 3(x 3) B y 1 3(x
5、 3) C y 3 3(x 1) D y 3 3(x 1) 解析：选 D 设点 B 的坐标为 (a,0)(a0)， 由 OA AB，得 12 32 (1 a)2 (3 0)2，则 a 2. 点 B(2,0)易知 kAB 3， 由两点式，得 AB 的方程为 y 3 3(x 1) 4 (2018 北京西城区月考 )已知 l1， l2 是分别经过 A(1,1)， B(0， 1)两点的两条平行直线，当 l1， l2间的距离最大时，则直线 l1的方程是 _ 解析：当直线 AB 与 l1， l2垂直时， l1， l2间的距离最大因为 A(1,1)， B(0， 1)，所以 kAB 1 10 1 2，所以两平
6、行直线的斜率为 k 12，所以直线 l1的方程是 y 1 12(x 1)，即 x 2y 3 0. 答案： x 2y 3 0 =【 ;精品教育资源文库 】 = 5已知直线 l 过点 P(2， 1)，在 x 轴和 y 轴上的截距分别为 a， b，且满足 a 3b.则直线 l 的方程为 _ 解析： 若 a 3b 0，则直线过原点 (0,0)， 此时直线斜率 k 12，直线方程为 x 2y 0. 若 a 3b0 ，设直线方程为 xa yb 1，即 x3b yb 1. 因为点 P(2， 1)在直线上，所以 b 13. 从而直线方程为 x 3y 1，即 x 3y 1 0. 综上所述，所求直线方程为 x 2
7、y 0 或 x 3y 1 0. 答案： x 2y 0 或 x 3y 1 0 对点练 (三 ) 直线的交点、距离与对称问题 1若点 P(a， b)与 Q(b 1， a 1)关于直线 l 对称，则直线 l 的倾斜角 为 ( ) A 135 B 45 C 30 D 60 解析 ： 选 B 由题 意知 ， PQ l， kPQ a 1 bb 1 a 1， kl 1， 即 tan 1， 45. 故选 B. 2 已知点 A(1， 2)， B(m,2)且线段 AB 的垂直平分线的方程是 x 2y 2 0，则实数m 的值是 ( ) A 2 B 7 C 3 D 1 解析：选 C 因为线段 AB 的中点 ? ?1
8、m2 ， 0 在直线 x 2y 2 0 上，代入解得 m 3. 3 P点在直线 3x y 5 0上，且 P到直线 x y 1 0的距离为 2，则 P点坐标为 ( ) A (1,2) B (2,1) C (1,2)或 (2， 1) D (2,1)或 ( 1,2) 解析：选 C 设 P(x,5 3x)，则 d |x 5 3x 1|12 2 2，解得 x 1 或 x 2，故 P(1,2)或 (2， 1) 4若直线 l1： y k(x 4)与直线 l2关于点 (2,1)对称，则直线 l2恒过定点 ( ) A (0,4) B (0,2) C ( 2,4) D (4， 2) 解析：选 B 直线 l1： y
9、 k(x 4)恒过定 点 (4,0)，其关于点 (2,1)对称的点为 (0,2)又=【 ;精品教育资源文库 】 = 由于直线 l1： y k(x 4)与直线 l2关于点 (2,1)对称，故直线 l2恒过定点 (0,2) 5若两平行直线 3x 2y 1 0,6x ay c 0 之间的距离为 2 1313 ，则 c 2a 的值为_ 解析：由题意得， 63 a 2 c 1， a 4， c 2. 则 6x ay c 0 可化为 3x 2y c2 0. 2 1313 ?c2 113， c 2 4 ， c 2a 1. 答案： 1 6.如图，已知 A( 2,0)， B(2,0)， C(0,2)， E( 1,
10、0)， F(1,0)，一束光线从 F 点出发射到 BC 上的 D 点，经 BC 反射后，再经 AC 反射，落到线段 AE 上 (不含端点 )，则直线 FD 的斜率的取值范围为 _ 解析：从特殊位置考虑如图， 点 A( 2,0)关于直线 BC： x y 2 的对称点为 A1(2,4)， kA1F 4.又点 E( 1,0)关于直线 AC： y x 2 的对称点为E1( 2， 1)，点 E1( 2,1)关于直线 BC： x y 2 的对称点为 E2(1,4)，此时直线 E2F 的斜率不存在， kFDkA1F，即 kFD (4， ) 答案： (4， ) 7过直线 l1： x 2y 3 0 与直线 l2
11、： 2x 3y 8 0 的交点，且到点 P(0,4)距离为 2的直线方程为 _ 解析：由? x 2y 3 0，2x 3y 8 0， 得 ? x 1，y 2， l1与 l2交点为 (1,2)， 设所求直线方程为 y 2 k(x 1)，即 kx y 2 k 0， P(0,4)到直线的距离为 2， 2 | 2 k|1 k2 ，解得 k 0 或 k 43， 直线方程为 y 2 或 4x 3y 2 0. 答案： y 2 或 4x 3y 2 0 大题综合练 迁移贯通 1已知直线 l1： x a2y 1 0 和直线 l2： (a2 1)x by 3 0(a， b R) =【 ;精品教育资源文库 】 = (1
12、)若 l1 l2，求 b 的取值范围； (2)若 l1 l2，求 |ab|的最小值 解： (1)因为 l1 l2，所以 b (a2 1)a2 0， 即 b a2(a2 1) a4 a2 ? ?a2 12 2 14，因为 a20 ，所以 b0. 又因为 a2 13 ，所以 b 6. 故 b 的取值范围是 ( ， 6) ( 6,0 (2)因为 l1 l2，所以 (a2 1) a2b 0， 显然 a 0，所以 ab a 1a， |ab| ? ?a 1a 2 ，当且仅当 a 1 时等号成立，因此 |ab|的最小值为 2. 2已知直线 l： (2a b)x (a b)y a b 0 及点 P(3,4)
13、(1)证明直线 l 过某定点，并求该定点的坐标； (2)当点 P 到直线 l 的距离最大时，求直线 l 的方程 解： (1)证明：直线 l的方程可化为 a(2x y 1) b(x y 1) 0，由? 2x y 1 0，x y 1 0，得? x 2，y 3， 所以直线 l 恒过定点 ( 2,3) (2)由 (1)知直线 l 恒过定点 A( 2,3)， 当直线 l 垂直于直线 PA 时，点 P 到直线 l 的距离最大 又直线 PA 的斜率 kPA 4 33 2 15， 所以直线 l 的斜率 kl 5. 故直线 l 的方程为 y 3 5(x 2)， 即 5x y 7 0. 3过点 P(4,1)作直线
14、 l 分别交 x， y 轴正半轴于 A， B 两点 (1)当 AOB 面积最小时，求直线 l 的方程； (2)当 |OA| |OB|取最小值时，求直线 l 的方程 解：设直线 l： xa yb 1(a 0， b 0)， 因为直线 l 经过点 P(4,1)，所以 4a 1b 1. (1)因为 4a 1b 12 4a 1b 4ab， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 ab16 ，当且仅当 a 8， b 2 时等号成立， 所以当 a 8， b 2 时， S AOB 12ab 最小， 此时直线 l 的方程为 x8 y2 1，即 x 4y 8 0. (2)因为 4a 1b 1， a 0， b 0， 所以 |OA| |OB| a b (a b) ? ?4a 1b 5 ab 4ba 5 2 ab 4ba 9， 当且仅当 a 6， b 3 时等号成立， 所以当 |OA| |OB|取最小值时，直线 l 的方程为 x6 y3 1，即 x 2y 6 0.
