1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 高考达标检测（二十） 正、余弦定理的 3 个应用点 高度、距离和角度 一、选择题 1.(2018 东北三校联考 )如图所示，已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km，灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20 ，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40 ，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为 ( ) A a km B. 2a km C 2a km D. 3a km 解析 ： 选 D 依题意知 ACB 180 20 40 120 ， 在 ABC 中 ， 由余弦定理知AB a2 a2 2 a a ? ? 12 3a(km)， 即灯塔 A 与灯塔 B
2、 的距离为 3a km. 2.如图所示为起重机装置示意图，支杆 BC 10 m，吊杆 AC 15 m，吊索 AB 5 19 m，起吊的货物与岸的距离 AD 为 ( ) A 30 m B.15 32 m C 15 3 m D 45 m 解析：选 B 在 ABC 中， AC 15 m， AB 5 19 m， BC 10 m， 由余弦定理得 cos ACB AC2 BC2 AB22 AC BC 152 102 19 221510 12. sin ACB 32 . 又 ACB ACD 180. sin ACD sin ACB 32 . 在 Rt ADC 中， AD ACsin ACD 15 32 15
3、 32 (m) 3 (2018 江西联考 )某位居民站在离地 20 m 高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为 60 ，小高层底部的俯角为 45 ，那么这栋小高层的高度为 ( ) A 20? ?1 33 m B 20(1 3)m C 10( 2 6)m D 20( 2 6)m 解析：选 B 如图，设 AB 为阳台的高度， CD 为小高层的高度， AE 为水平线由题意 知 AB 20 m， DAE 45 ， CAE 60 ，故 DE 20 m， CE AEtan 60 20 3 m所以 CD 20(1 3)m. 4.如图，一条河的两岸平行，河的宽度 d 0.6 km，一艘客船从码头=【 ;精品教
4、育资源文库 】 = A 出发匀速驶往河对岸的码头 B.已知 AB 1km，水的流速为 2 km/h，若客船从码头 A 驶到码头 B 所用的最短时间为 6 min，则客船在静水中的速度为 ( ) A 8 km/h B 6 2 km/h C 2 34 km/h D 10 km/h 解析：选 B 设 AB 与河岸线所成的角为 ，客船在静水中的速度为 v km/h， 由题意知， sin 0.61 35，从而 cos 45， 所以由余弦定理得 ? ?110v 2 ? ?1102 2 12 2 11021 45，解得 v 6 2. 5.(2018 武昌调研 )如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45
5、方向 600 km处的热带风暴中心正以 20 km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心 450 km 以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为 ( ) A 14 h B 15 h C 16 h D 17 h 解析：选 B 记现在热带风暴中心的位置为点 A， t 小时后热带风暴中心到达 B 点位置，在 OAB 中， OA 600， AB 20t， OAB 45 ， 根据余弦定理得 OB2 6002 400t2 220 t600 22 ， 令 OB2450 2，即 4t2 120 2t 1 5750 ， 解得 30 2 152 t 30 2 152 ， 所以该码头将受到热带风暴影
6、响的时间为 30 2 152 30 2 152 15(h) 6一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45 ，沿点 A 向北偏东 30 前进 100 m到达点 B，在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30 ，则水柱的高度是 ( ) A 50 m B 100 m C 120 m D 150 m 解析：选 A 设水柱高度是 hm，水柱底端为 C， 则在 ABC 中， A 60 ， AC h， AB 100， BC 3h， 根据余弦定理得， ( 3h)2 h2 1002 2 h100cos 60 ， 即 h2 50h 5
7、000 0，即 (h 50)(h 100) 0，即 h 50， 故水柱的高度是 50 m. =【 ;精品教育资源文库 】 = 二、填空题 7.(2018 郑州调研 )如图， 在山底测得山顶仰角 CAB 45 ，沿倾斜角为 30 的斜坡走 1 000 m 至 S 点，又测得山顶仰角 DSB 75 ，则山高 BC 为 _ m. 解析：由题图知 BAS 45 30 15 ， ABS 45 15 30 ， ASB 135 ， 在 ABS 中，由正弦定理可得 1 000sin 30 ABsin 135 ， AB 1 000 2， BC AB2 1 000. 答案： 1 000 8.如图，在水平地 面上有
8、两座直立的相距 60 m 的铁塔 AA1和 BB1.已知从塔 AA1的底部看塔 BB1顶部的仰角是从塔 BB1的底部看塔 AA1顶部的仰角的 2 倍，从两塔底部连线中点 C 分别看两塔顶部的仰角互为余角则从塔 BB1的底部看塔 AA1顶部的仰角的正切值为 _；塔BB1的高为 _ m. 解析：设从塔 BB1的底部看塔 AA1顶部的仰角为 ，则 AA1 60tan ， BB1 60tan 2 . 从两塔底部连线中点 C 分别看两塔顶部的仰角互为余角， A1AC CBB1， AA130 30BB1， AA1 BB1 900， 3 600tan tan 2 900， tan 13(负值舍去 )， ta
9、n 2 34， BB1 60tan 2 45. 答案： 13 45 9.如图，为了测量河对岸 A， B 两点之间的距离，观察者找到一个点 C，从点 C 可以观察到点 A， B；找到一个点 D，从点 D 可以观察到点 A， C；找到一个点 E，从点 E 可以观察到点 B， C.并测量得到一些数据： CD 2， CE 2 3， D 45 ， ACD 105 ， ACB 48.19 ， BCE 75 ， E 60 ，则 A， B 两点之间的距离 =【 ;精品教育资源文库 】 = 为 _.? ?其中 cos 48.19 取近似值 23 解析：依题意知，在 ACD 中， A 30 ， 由正弦定理得 AC
10、 CDsin 45sin 30 2 2. 在 BCE 中， CBE 45 ， 由正弦定理得 BC CEsin 60sin 45 3 2. 在 ABC 中，由余弦定理 AB2 AC2 BC2 2AC BCcos ACB 10，所以 AB 10. 答案： 10 三、解答题 10.已知在东西方向上有 M， N 两座小山，山顶各有一个发射塔 A， B，塔顶 A， B 的海拔高度分别为 AM 100 m 和 BN 200 m，一测量车在小山M 的正南方向的点 P 处测得发射塔顶 A 的仰角为 30 ，该测量车向北偏西 60 方向行驶了 100 3 m 后到达点 Q，在点 Q 处测得发射塔顶 B 处的仰角
11、为 ，且 BQA ，经测量 tan 2，求两发射 塔顶 A， B 之间的距离 解：在 Rt AMP 中， APM 30 ， AM 100， PM 100 3.连接 QM，在 PQM 中， QPM 60 ， 又 PQ 100 3， PQM 为等边三角形， QM 100 3. 在 Rt AMQ 中，由 AQ2 AM2 QM2，得 AQ 200. 在 Rt BNQ 中， tan 2， BN 200， BQ 100 5， cos 55 . 在 BQA 中， BA2 BQ2 AQ2 2BQ AQcos (100 5)2， BA 100 5. 即两发射塔顶 A， B 之间的距离是 100 5 m. 11某
12、渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在 A 处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为 45 ，距离为 10 n mile 的 C 处，并测得渔轮正沿方位角为 105 的方向，以 9 n mile/h 的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以 21 n mile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间 .? ?sin 21.8 3 314 解：如图所示，根据题意可知 AC 10， ACB 120 ，设舰艇靠近渔轮所需的时间为 t h，并在 B 处与渔轮相遇， 则 AB 21t， BC 9t，在 ABC 中， =【 ;精品教育资源文库 】 = 根据余弦定理得 AB2 AC2 BC2
13、2AC BCcos 120 ， 所以 212t2 102 81t2 2109 t 12， 即 360t2 90t 100 0，解得 t 23或 t 512(舍去 ) 所以舰艇靠近渔轮所需的时间为 23 h. 此时 AB 14， BC 6. 在 ABC 中，根据正弦定理，得 BCsin CAB ABsin 120 ， 所以 sin CAB6 3214 3 314 ， 即 CAB21.8 或 CAB158.2( 舍去 )， 即舰艇航行的方位角为 45 21.8 66.8. 所以舰艇以 66.8 的方位角航行，需 23 h 才能靠近渔轮 12某高速公路旁边 B 处有一栋楼房，某人在距地面 100 m
14、 的 32 楼阳台 A 处，用望远镜观测路上的车辆，上午 11 时测得一客车位于楼房北偏东 15 方向上，且俯角为 30 的 C处， 10 秒后测得该客车位于楼房北偏西 75 方向上，且俯角为 45 的 D 处 (假设客车匀速行驶 ) (1)如果此高速路段限速 80 km/h，试问该客车是否超速？ (2)又经过一段时间后，客车到达楼房的正西方向 E 处，问此时客车距离楼房多远？ 解： (1)在 Rt ABC 中， BAC 60 ， AB 100 m， 则 BC 100 3 m. 在 Rt ABD 中， BAD 45 ， AB 100 m，则 BD 100 m. 在 BCD 中， DBC 75
15、15 90 ， 则 DC BD2 BC2 200 m， 所以客车的速度 v CD10 20 m/s 72 km/h， 所以该客车没有超速 (2)在 Rt BCD 中， BCD 30 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 又因为 DBE 15 ，所以 CBE 105 ， 所以 CEB 45. 在 BCE 中，由正弦定理可知 EBsin 30 BCsin 45 ， 所以 EB BCsin 30sin 45 50 6 m， 即此时客车距楼房 50 6 m. 1.如图所示，在平面四边形 ABCD 中， AD 1， CD 2， AC 7，若 cos BAD 714， sin CBA 216 ，则 BC _. 解析：由题意，在 AD
