1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第六单元 解三角形 教材复习课 “ 解三角形 ” 相关基础知识一课过 正弦定理、余弦定理 过双基 1 正弦定理 asin Absin Bcsin C 2R，其中 R 是三角形外接圆的半径 由正弦定理可以变形： (1)a b c sin_A sin_B sin_C； (2)a 2Rsin A， b 2Rsin B， c 2Rsin C. 2余弦定理 a2 b2 c2 2bccos_A， b2 a2 c2 2accos B， c2 a2 b2 2abcos_C. 余弦定理可以变形： cos A b2 c2 a22bc ， cos Ba2 c2 b22ac ， co
2、s Ca2 b2 c22ab . 小题速通 1设 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.若 a 2， c 2 3， cos A 32 ，且 b c，则 b ( ) A 3 B 2 2 C 2 D. 3 解析：选 C 由 a2 b2 c2 2bccos A，得 4 b2 12 6b，解得 b 2 或 4， b c， b 2. 2在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 b2 c2 a2 bc，则角 A 的大小为 ( ) A 30 B 60 C 120 D 150 解析：选 B 由余弦定理可得 b2 c2 a2 2bccos A，又因为 b2 c
3、2 a2 bc，所以 cos A 12，则 A 60. 3在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 asin A bsin B1. 角 B 不存在，即满足条件的三角形不存在 3在 ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 c 2a， b 4， cos B 14.则 c的值为 ( ) A 4 B 2 C 5 D 6 解析：选 A c 2a， b 4， cos B 14， 由余弦定理得 b2 a2 c2 2accos B， 即 16 14c2 c2 14c2 c2， 解得 c 4. =【 ;精品教育资源文库 】 = 4已知 ABC 中，内角 A
4、， B， C 所对边分别为 a， b， c，若 A 3 ， b 2acos B， c 1，则 ABC 的面积等于 ( ) A. 32 B. 34 C. 36 D. 38 解析：选 B 由正弦定理得 sin B 2sin Acos B， 故 tan B 2sin A 2sin 3 3，又 B (0， ) ，所以 B 3 ， 又 A B 3 ，则 ABC 是正三角形， 所以 S ABC 12bcsin A 1211 32 34 . 5 (2018 湖南四校联考 )在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 (a2b2 c2)tan C ab，则角 C 的大小为 ( )
5、A. 6 或 56 B. 3 或 23 C. 6 D.23 解析：选 A 由题意知， a2 b2 c22ab 12tan C?cos Ccos C2sin C， sin C 12，又 C (0， ) ， C 6 或 56 . 6已知 A， B 两地间的距离为 10 km， B， C 两地间的距离为 20 km，现测得 ABC 120 ，则 A， C 两地间的距离为 ( ) A 10 km B 10 3 km C 10 5 km D 10 7 km 解析：选 D 如图所示，由余弦定理可得， AC2 100 40021020cos 120 700， AC 10 7(km) 7 (2018 贵州质检
6、 )在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c，若 c2 (a b)2 6， C 3 ，则 ABC 的面积是 ( ) A 3 B.9 32 =【 ;精品教育资源文库 】 = C.3 32 D 3 3 解析：选 C c2 (a b)2 6， c2 a2 b2 2ab 6. C 3 ， c2 a2 b2 2abcos 3 a2 b2 ab. 由 得 ab 6 0，即 ab 6. S ABC 12absin C 126 32 3 32 . 8一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 n mile 的速度沿南偏东 40 的方向直线航行，30 分钟 后到达 B 处，在 C 处有一
7、座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70 ，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65 ，那么 B， C 两点间的距离是 ( ) A 10 2 n mile B 10 3 n mile C 20 3 n mile D 20 2 n mile 解析 ： 选 A 画出示意图如图所示 ， 易知 ， 在 ABC 中 ， AB 20， CAB 30 ， ACB 45 ， 根据正弦定理得 BCsin 30 ABsin 45 ， 解得 BC 10 2. 故 B， C 两点间的距离是 10 2 n mile. 二、填空题 9在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 a 2
8、， cos C 14， 3sin A 2sin B，则 c _. 解析：因为 3sin A 2sin B，所以由正弦定理可得 3a 2b，则 b 3，由余弦定理可得c2 a2 b2 2abcos C 4 9 223 ? ? 14 16，则 c 4. 答案： 4 10在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c.若角 A， B， C 成等差数列，且边a， b， c 成等比数列，则 ABC 的形状为 _ 解析： 在 ABC 中，角 A， B， C 成等差数列， 2B A C，由三角形内角和定理，可得 B 3 ， 又 边 a， b， c 成等比数列， b2 ac， 由余弦定理可
9、得 b2 a2 c2 2accos B， ac a2 c2 ac，即 a2 c2 2ac 0， =【 ;精品教育资源文库 】 = 故 (a c)2 0，可得 a c， 所以 ABC 的形状 为等边三角形 答案：等边三角形 11已知 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 a x， b 2， B 45 ，若三角形有两解，则 x 的取值范围为 _ 解析：由 AC b 2，要使三角形有两解，就是要使以 C 为圆心，以 2 为半径的圆与 AB有两个交点，当 A 90 时，圆与 AB 相切，只有一解；当 A 45 时，交于 B 点，也就是只有一解，所以要使三角形有两解，需满足
10、 45 A90 ，即 22 sin A1，由正弦定理可得 a x bsin Asin B 2 2sin A，所以 2x2 2. 答案： (2,2 2) 12如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m，速度为 50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为 15 ，经过 420 s 后看山顶的俯角为 45 ，则山顶的海拔高度为 _m (取 2 1.4， 3 1.7) 解析：如图，作 CD 垂直于 AB 的延长线于点 D，由题意知 A 15 ， DBC 45 ， ACB 30 ， AB 50420 21 000(m) 又在 ABC 中， BCsin A ABsin ACB， BC 21 00012sin 15 10 500( 6 2) CD AD， CD BCsin DBC 10 500( 6 2) 22 10 500( 3 1) 7 350. 故山顶的海拔高度 h 10 000 7 350 2 650(m) 答案： 2 650 三、解答题 13 (2017 山东高考 )在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.已知 b 3， AB AC 6， S ABC 3，求 A 和 a. 解：因为 AB AC 6，
