1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时分层作业 四十二 空间几何体的表面积与体积 一、选择题 (每小题 5分 ,共 35分 ) 1.某几何体的三视图如图所示 (图中网格的边长为 1个单位 ),其中俯视图为扇形 ,则该几何体的体积为( ) A. B. C. D. 【解析】 选 B.由三视图知几何体是圆锥的一部分 ,由俯视图可得 :底面扇形的圆心角为 120, 又由侧视图知几何体的高为 3,底面圆的半径为 2,所以几何体的体积 V= 2 23= . 2.已知一个空间几何体的三视图如图所示 ,其中俯视图是边长为 6的正三角形 ,若这个空间几 何体存在唯一的一个内切球 (与该几何体各个面都相切 ),则
2、这个几何体的表面积是 ( ) A.18 B.36 C.45 D.54 【解析】 选 D.由三视图知 ,几何体为正三棱柱 . 因为俯视图是边长为 6的正三角形 , 所以几何体的内切球的半径 R=6 = ,所以三棱柱的侧棱长为 2 . 所以几何体的表面积 S=2 6 6 +3 6 2 =54 . 3.已知某几何体的外接球的半径为 ,其三视图如图所示 ,图中均为正方形 ,则该几何体的体积为 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A.16 B. C. D.8 【解析】 选 C.由该三视图可知 :该几何体是一个正方体 ,切去四个角所得的正四面体 ,其外接球等同于该正方体的外接球 ,设正方体的棱长为
3、a,则有 = , a=2,故该正四面体的体积为 V=23- 4 2 3= . 【 变式备选】 已知三棱锥的三视图如图所 示 ,其中侧视图是边长为 的正三角形 ,则该几何体的外接球的体积为 ( ) A. B. C.4 D.16 【解析】 选 B.由已知中的三视图 ,可得该几何体的直观图如图所示 : 取 AB的中点 F,AF的中点 E, 由三视图可得 :AB垂直平面 CDE,且平面 CDE是边长为 的正三角形 ,AB=1+3=4, 所以 AF=BF=2,EF=1, 所以 CF=DF= =2, 故 F即为棱锥外接球的球心 ,半径 R=2, 故外接球的体积 V= R3= . 4.已知在长方体 ABCD
4、-A1B1C1D1中 ,底面是边长为 2的正方形 ,高为 4,则点 A1到截面 AB1D1的距离是 ( ) A. B. C. D. =【 ;精品教育资源文库 】 = 【解析】 选 C.设点 A1到截面 AB1D1的距离是 h,由 = ,可得 h= AA1,解得 h= . 【 一题多解】 选 C.取 B1D1的中点 E1,连接 A1E1,AE1,根据几何体的结构特征 ,可知 ,作 A1H AE1,垂足为 H,A1H平面 AB1D1,A1H即为所求 .A1E1= ,A1A=4,A1A A1E1,A1H= (等面积法 ). 【 变式备选】 如图 ,在四棱锥 P-ABCD中 , 底面 ABCD是矩形
5、,PD底面 ABCD,M,N分别为 AB,PC的中点 ,PD=AD=2,AB=4.则点 A到平面 PMN的距离为 _. 【解析】 取 PD的中点 E,连接 AE,NE,则 因为四棱锥 P-ABCD中 ,底面 ABCD 是矩形 ,M,N分别为 AB,PC 的中点 , 所以 NE AM,NE=AM, 所以四边形 AENM是平行四边形 ,所以 AE MN,所以点 A到平面 PMN的距离等于点 E到平面 PMN的距离 ,设为h,在 PMN中 ,PN= ,PM=2 ,MN= ,所以 S PMN= 2 = ,由 VE-PMN=VM-PEN,可得 h= 1 2 2,所以 h= . 答案 : 【方法技巧】 求
6、点到平面的距离 (1)能作出高线的则直接作出高线 ,转化为求线段的长度 ;(2)不能直接求时 , 可转化为与平面平行的直线上一点到平面的距离 . 或利用等体积法求解 . 5.已知 A,B是球 O的球面上两点 , AOB=90,C 为该球面上的动点 ,若三棱锥 O-ABC体积的最大值为 36,则球 O的表面积为 ( ) 导学号 12560642 A.36 B.64 C.144 D.256 【解析】 选 C.如图所示 ,当点 C位于垂直于面 AOB的直径端点时 ,三棱锥 O-ABC的体积最大 ,设球 O的半径为 R,此时 VO-ABC=VC-AOB= R2R= R3=36,故 R=6,则球 O的表
7、面积为 S=4R 2=144. =【 ;精品教育资源文库 】 = 6.某几何体的三视图如图所示 ,其内切球的体积为 ( ) A. B. C. D. 【解析】 选 A.根据图示可得几何体为正八面体 ,内切球心为 O,过 O作 OH垂直 AD 于点 H,连接 S1H,作 OR垂直 S1H,OR即为内切球 O的半径 .所以 R= ,V0= . 7.如图 ,在透明塑料制成的长方体 ABCD-A1B1C1D1容器内灌进一些水 (未满 ),现将容器底面一边 BC 固定在底面上 ,再将容器倾斜 ,随着倾斜度的不同 ,有下列四种说法 : 水的部分始终呈棱柱状 ; 水面四边形 EFGH的面积为定值 ; 棱 A1
8、D1始终与水面 EFGH平行 ; 若 E AA1,F BB1,则 AE+BF 是定值 . 则其中正确命题的个数是 ( ) 导学号 12560644 A.1 个 B.2个 C.3个 D.4个 =【 ;精品教育资源文库 】 = 【解析】 选 C.结合题设中提供的图形信息可知 :当容器底面一边 BC固定时 ,BC FG A1D1,故由线面平行的判定定理可知结论“棱 A1D1始终与水面 EFGH平行”成立 ;同时由于四边形 ABFE四边形 DCGH,且互相平行 ,则由棱柱的定义可知结论“水的部分始终呈棱柱状”正确 ;如图 ,由于水平放置时 ,水的高度是定值 ,所以当一部分上升的同时 ,另一面下降相同的
9、高度 ,因为 BF=h-FD,AE=h+D1E且 FD=D1E,所以BF+AE=h-FD+h+D1E=2h(定值 ),即结论“若 E AA1,F BB1,则 AE+BF是定值”是正确的 ;因为水面四边形 EFGH的边长在变化 ,因此其面积是变化的 ,故结论“水面四边形 EFGH的面积为定值”的说法不正确 .即命题 是正确的 . 【题目溯源】 本题来源于人教 A版必修 2P29A组第 4题 . 【 变式备选】 水平桌面上放置着一个容积为 V的密闭长方体玻璃容器 ABCD-A1B1C1D1,其中装有 V的水 ,给出下列操作与结论 : 把容器一端慢慢提起 ,使容器的一条棱 BC 保持在 桌面上 ,这
10、个过 程中 ,水的状态始终是柱体 ; 在 中的运动过程中 ,水面始终是矩形 ; 把容器提离桌面 ,随意转动 ,水面始终过长方体内一个定点 ; 在 中的转动中水与容器 的接触面积始终不变 . 以上说法正确的是 _.(把所有正确命题的序号都填上 ) 【解析】 水的部分始终呈棱柱状 ;从棱柱的特征及平面 ABFE平行平面 DCGH即可判断正确 ;如图 , 在中的运动过程中 ,水面四边形 EFGH的对边始终保持平行 ,且 EF FG,故水面始终是 矩形 ,是正确的 ; 由于始终装有 V的水 ,而平分长方体体积的平面必定经过长方体 的中心 ,即水面始终过长方体内一个定点 ;所以结论正确 ; 在中的转动中
11、水与容器接触时 ,由于水的体积是定值 ,所以水与容器的接触面的面积是正方体表面积的一半 ,故始终保持不变 ,所以正确 . 答案 : 二、填空题 (每小题 5分 ,共 15分 ) 8.如图直三棱柱 ABC-A1B1C1的六个顶点都在半径为 1的半球面上 ,AB=AC,侧面 BCC1B1是半球底面圆的内接正方形 ,则侧面 ABB1A1的面积为 _. =【 ;精品教育资源文库 】 = 【解析】 由题意知 ,球心在侧面 BCC1B1的中心 O上 ,BC为截面圆的直径 ,所以 BAC=90, ABC的外接圆圆心 N是 BC的中点 ,同理 A1B1C1的外心 M是 B1C1的中点 .设正方形 BCC1B1
12、的边长为 x.在 Rt OMC1中 ,OM= ,MC1= ,OC1=R=1(R为球的半径 ), 所以 + =1, 即 x= ,则 AB=AC=1, 所以 = 1= . 答案 : 9.(2016浙江高考 )某几何体的三视图如图所示 (单位 :cm),则该几何体的表面积是 _cm2,体积是_cm3. 【解析】 几何体为两个相同长方体组合而成 ,长方体的长、宽、高分别为 4,2,2,所 以体积为2( 224)=32(cm 3),由于两个长方体重叠部分为一个边长为 2的正方形 ,所以表面积为2(222+244) -222=72(cm 2). 答案 :72 32 10.一个圆锥的表面积为 , 它的侧 面
13、展开图是圆心角为 120 的扇形 ,则该圆锥的高为 _. 【解析】 设圆锥底面半径是 r,母线长为 l,所以 r2+ rl= ,即 r2+rl=1,根据圆心角公式 = ,即l=3r,所以解得 r= ,l= ,那么高 h= = . 答案 : 【 变式备选】 已知圆锥侧面展开图的圆心角为 90 ,则该圆锥的底面半径与母线长的比为 _. =【 ;精品教育资源文库 】 = 【解析】 设圆锥的母线长是 R,则扇形的弧长是 = , 设底面半径是 r, 则 =2 r,所以 r= , 所以圆锥的底面半径与母线长的比为 1 4. 答案 : 1.(5分 )如图 ,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面
14、体的三视图 ,则该多面体的表面积为( ) A.18+36 B.54+18 C.90 D.81 【解题指南】 根据三视图作出原几何体是关键 . 【解析】 选 B.根据三视图可知原几何体是一个斜四棱柱 ,上下底面为边长为 3的正方形 ,左右为宽为 3,长为 3 的矩形 ,前后为底边长为 3,且底边上的高为 6的平行四边形 ,所以S=9+9+18+18+9 +9 =54+18 . 2.(5分 )如图 ,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何体的三视图 ,该几何体由一平面将 一圆柱截去一部分所得 ,则该几何体的体积为 ( ) A.90 B.63 C.42 D.36 =【 ;精品教育资源文库
15、 】 = 【解析】 选 B.由三视图知 ,该几何体为一个底面半径为 3,高为 4的圆柱和一个底面半径为 3,高为 6的圆柱的一半 ,故其体积为 V= 32 6+ 32 4= 63 . 3.(10分 )已知一个平放的各棱长为 4的三棱锥内有一个小球 ,现从该三棱锥顶端向锥内注水 ,小球慢慢上浮 .当注入的水的体积是该三棱锥体积的 时 ,小球恰与该三棱锥各侧面及水面相切 (小球完全浮在水面上方 ),求小球的表面积 . 【解析】 由题意 ,没有水的部分的体积是三棱锥体积的 , 因为三棱锥的各棱长均为 4,所以三棱锥体积为 42 = , 所以没有水的部分的体积是 , 设其棱长为 a,则 a2 a= , 所以 a=2. 设小球的半径为 r,则 4 22r= , 所以 r= , 所以小球的表面积 S=4 = .
