1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时分层作业 四十七 利用空间向量证明空间中的位置关系 一、选择题 (每小题 5分 ,共 25分 ) 1.向量 a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),下列结论正确的是 ( ) A.a b,a c B.a b,a c C.a c,a b D.以上都不对 【解析】 选 C.因为 a b=0,c=2a,所以 a c,a b. 【 变式备选】 设 a=(x,4,3),b=(3,2,z),且 a b,则 xz 等于 ( ) A.-4 B.9 C.-9 D. 【解析】 选 B.因为 a b,所以 = = ,所以 x=6,z= ,所以 xz=9
2、. 2.(2018泰安模拟 )已知长方体 ABCD-A1B1C1D1,下列向量的数量积一定不为 0的是 ( ) A. B. C. D. 【解析】 选 D.当侧面 BCC1B1是正方形时可得 =0,所以排除 A.当底面 ABCD 是正方形时 ,AC垂直于对角面 BD1,所以排除 B.显然排除 C.由图可得 BD1与 BC所成的角小于 90. 3.(2018淮安模拟 )如图 ,正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 a,M,N分别为 A1B和 AC 上的点 ,A1M=AN= ,则MN 与平面 BB1C1C的位置关系是 ( ) A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能 确定 【解题指南】 利用向量
3、垂直条件求解 . 【解析】 选 B.因为正方体棱长为 a,A1M=AN= ,所以 = , = , =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 = + + = + + = ( + )+ + ( + ) = + . 又因为 是平面 B1BCC1的法向量 , 且 = =0, 所以 , 所以 MN平面 B1BCC1. 【 变式备选】 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中 ,若 E为 A1C1中点 ,则直线 CE垂直于 ( ) A.AC B.BD C.A1D D.A1A 【解析】 选 B.以 A为原点 ,AB,AD,AA1所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系 ,设正方体棱长为 1,则A(0,0
4、,0),C(1,1,0), B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),E , 所以 = , =(1,1,0), =(-1,1,0), =(0,1,-1), =(0,0,-1).显然 = - +0=0,所以 ,即 CE BD. 4.(2018石家庄模拟 )如图所示 ,正方体 ABCD-A1B1C1D1中 ,E,F分别在 A1D,AC上 ,且 A1E= A1D,AF= AC,则( ) A.EF至多与 A1D,AC之一垂直 B.EF A1D,EF AC C.EF与 BD1相交 D.EF与 BD1异面 【解题指南】 建立空间直角坐标系 ,用向量法求解 . =【 ;精品教育资源文库 】 =
5、 【解析】 选 B.以 D点为坐标原点 ,以 DA,DC,DD1所在直线分别为 x,y,z轴建立空间直角坐标系 ,设正方体棱长为 1,则 A1(1,0,1),D(0,0,0), A(1,0,0),C(0,1,0),E , F ,B(1,1,0),D1(0,0,1), =(-1,0,-1), =(-1,1,0), = , =(-1,-1,1), =- , = =0, 从而 EF BD1,EF A1D,EF AC. 5.已知三点 A(2,1,2),B(1,2,3),C(1,1,1),O是坐标原点 ,点 Q在直线 OC上运动 ,则当 取得最小值时 ,点 Q的坐标是 ( ) A. B. C. D. 【
6、解析】 选 B.设 = =( , , ),则 =(2- ,1- ,2- ) (1- ,2- ,3- )=3 2-11+10, = 时取得最小值 ,Q坐标为 . 二、填空题 (每 小题 5分 ,共 15分 ) 6.点 B( ,0,0)是点 A(m,2,5)在 x轴上的射影 ,则点 A到原点的距离为 _. 【解析】 点 B( ,0,0)是点 A(m,2,5)在 x 轴上的射影 , 所以 m= , 所以点 A到原点的距离为 d= = =4 . 答案 :4 7.(2018南阳模拟 )已知平面 内的三点 A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面 的一个法向量n=(-1,-1,-1),则
7、不重合的两个平面 与 的位置关系是 _. =【 ;精品教育资源文库 】 = 【解析】 设平面 的法向量为 m=(x,y,z), 由 m =0,得 x 0+y-z=0?y=z, 由 m =0,得 x-z=0?x=z,取 x=1, 所以 m=(1,1,1),m=-n,所以 m n,所以 . 答案 : 8.已知点 P是平行四边形 ABCD所在的平面外一点 ,如果 =(2,-1,-4), = (4,2,0), =(-1,2,-1).对于结论 :AP AB;AP AD; 是平面 ABCD的法向量 ; .其中正确的是 _. 【解析】 因为 =0, =0, 所以 AB AP,AD AP,则正确 . 又 与
8、不平行 , 所以 是平面 ABCD的法向量 ,则正确 . 因为 = - =(2,3,4), =(-1,2,-1), 所以 与 不平行 ,故错 . 答案 : 三、解答题 (每小题 10分 ,共 20分 ) 9.在棱长是 2的正方体 ABCD-A1B1C1D1中 ,E,F分别为 AB,A1C的中点 . 应用空间向量方法求解下列问题 . (1)求 EF的长 . (2)证明 :EF平面 AA1D1D. 【解析】 (1)如图 ,建立空间直角坐标系 , 则 A1(2,0,2),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0), D1(0,0,2),E(2,1,0),F(1,1,1). =(-1,0,1
9、),| |= ,即 EF= . (2)连接 AD1,因为 =(-2,0,2),所以 AD1 EF. =【 ;精品教育资源文库 】 = 而 EF?平面 ADD1A1,所以 EF平面 AA1D1D. 10.如图 ,在长方体 ABCD-A1B1C1D1中 ,AA1=AD=1,E为 CD的中点 . (1)求证 :B1E AD1. (2)在棱 AA1上是否存在一点 P,使得 DP平面 B1AE.若存在 ,求 AP的长 ;若不存在 ,说明理由 . 【解析】 (1)以 A为原点 , , , 的方向分别为 x轴 ,y轴 ,z轴的正方向建立空间 直角坐标系 (如图 ). 设 AB=a,则 A(0,0,0),D(
10、0,1,0),D1(0,1,1), E ,B1(a,0,1), 故 =(0,1,1), = , =(a,0,1), = . 因为 =- 0+1 1+(-1) 1=0, 所以 B1E AD1. (2)假设在棱 AA1上存在一点 P(0,0,z0), 使得 DP平面 B1AE,此时 =(0,-1,z0). 又设平面 B1AE的法向量 n=(x,y,z). 因为 n平面 B1AE,所以 n ,n , 得 取 x=1,得平面 B1AE的一个法向量 n= . =【 ;精品教育资源文库 】 = 要使 DP平面 B1AE,只要 n ,有 -az0=0, 解得 z0= .又 DP?平面 B1AE, 所以存在点
11、 P,满足 DP平面 B1AE,此时 AP= . 1.(5分 )已知点 A(1,-2,0)和向量 a=(-3,4,12),若向量 a,且 =2 |a| ,则 B点的坐标为( ) A.(-5,6,24) B.(-5,6,24)或 (7,-10,-24) C.(-5,16,-24) D.(-5,16,-24)或 (7,-16,24) 【解析】 选 B.设 B(x,y,z),则 =(x-1,y+2,z),依题意得 解得 x=-5,y=6,z=24或 x=7,y=-10,z=-24,则 B(-5,6,24)或 B(7,-10,-24). 2.(5分 )以下说法正确的个数有 ( ) (1)若向量 是直线
12、 l的一个方向向量 ,则向量 也是 l的一个方向向量 . (2)若向量 a 是直线 l的一个方向向量 ,则向量 ka 也是直线 l的一个方向向量 . (3)若两条直线平行 ,则它们的方向向量方向相同或相反 . (4)一个平面的法向量有无数多个 ,它们是共线向量 . (5)一个平面的法向量就是这个平面的垂线的方向向量 . A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】 选 D.与 l共 线的非零向量都是 l的方向向量 .(1)(3)对 .当 k=0时 ,ka=0 不可以作为方向向量 ,(2)错 一个平面的法向量就是这个平面垂线的方向 ,故 (4)(5)对 . 【误区警示】 根据线面垂直的判定定理可知
13、,只要直线垂直于该平面内的任意两条相交直线 ,它就垂直于该平面 ,也就垂直于该平面内的任意直线 ,因此 ,求法向量的坐标只要满足两个方程就可以了 .法向量的个数也不唯一 . 3.(5分 )(2018惠州模拟 )在正方体 ABCD-A1B1C1D1中 ,P为正方形 A1B1C1D1四边上的动点 ,O为底面正方形 ABCD的中心 ,M,N分别为 AB,BC的中点 ,点 Q为平面 ABCD内一点 ,线段 D1Q与 OP互相平分 ,求满足 = 的实数 的个数 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】 选 B.建立如图的空间直角坐标系 ,设正方体的棱长为 2,则
14、 P(x,y,2),O(1,1,0), 所以 OP 的中点坐标为 , 又知 D1(0,0,2), 所以 Q(x+1,y+1,0),而 Q在 MN上 , 所以 xQ+yQ=3,所以 x+y=1, 即点 P坐标满足 x+y=1. 所以有 2个符合题意的点 P,即对应有 2个 . 4.(12分 )正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1,若动点 P在线段 BD1上运动 ,则 的取值范围是 _.【解析】 以 所在的直线为 x轴 ,以 所在的直线为 y 轴 ,以 所在的直线为 z轴 ,建立空间直角坐标系 .则 D(0,0,0),C(0,1,0),A(1,0,0), B(1,1,0),D1(0,0,
15、1). 所以 =(0,1,0), =(-1,-1,1). 因为点 P在线段 BD1上运动 ,所以 = =(- ,- , ),且 0 1. 所以 = + = + =(- ,1- , ), 所以 =1- 0,1, 答案 :0,1 5.(13分 )如图 ,直四棱柱 ABCD -A1B1C1D1的底面为正方形 ,P,O 分别是上、下底面的中心 ,点 E是 AB的中点 ,AB=kAA1. =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)求证 :A1E平面 PBC. (2)当 k= 时 ,求直线 PA 与平面 PBC所成角的正弦值 . (3)当 k取何值时 ,O在平面 PBC内的射影恰好为 PBC的重心 ? 【解
16、析】 以 O点为原点 ,直线 OA,OB,OP所在直线为 x,y和 z轴 ,建立空间直角坐标系 ,设 AB=2 , 则 A1 ,E(1,1,0),A(2,0,0), P ,B(0,2,0),C(-2,0,0). (1)由上得 = , =(-2,-2,0), = , 设平面 PBC的法向量为 n=(1, , ), 则由 得 所以 n= . 因为 n=0,A1E?平面 PBC, 所以 A1E平面 PBC. (2)当 k= 时 ,由 (1)知平面 PBC的法向量为 n=(1,-1,-1), cos= = . 所以直线 PA 与平面 PBC所成角的正弦值为 . =【 ;精品教育资源文库 】 = (3) PBC重心 G , 则 = , O 在平面 PBC的射影恰为 PBC的重心 , 则 解得 k= , 故 k= 时 ,O在平面 PBC内的射影恰为 PBC的重心 .
