1、考点规范练32等比数列及其前n项和基础巩固1.已知等比数列an中,a5=3,a4a7=45,则a7-a9a6-a7的值为()A.30B.25C.15D.102.已知an为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=()A.7B.5C.-5D.-73.(2021广西玉林育才中学三模)各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn,且a1a7=3a4,a2与a3的等差中项为18,则S5=()A.108B.117C.120D.1214.等差数列an的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则an前6项的和为()A.-24B.-3C.3D.85.(2021广西柳州三模)已知数列a
2、n的前n项和为Sn,且a1=1,lg Sn是公差为lg 3的等差数列,则a2+a4+a2n=.6.设数列an是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为.7.已知在数列an中,a1=2,且对于任意正整数m,n都有am+n=aman,则数列an的通项公式是.8.(2021河北邯郸二模)已知数列an满足an0,an+1=3an+4.(1)证明:数列an+2为等比数列;(2)若a3=25,求数列an-n的前n项和Sn.9.已知公比大于1的等比数列an满足a2+a4=20,a3=8.(1)求an的通项公式;(2)记bm为an在区间(0,m(mN*)上
3、的项的个数,求数列bm的前100项和S100.10.已知等差数列an的前n项和为Sn,且S4=4(a3+1),3a3=5a4,数列bn是等比数列,且b1b2=b3,2b1=a5.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)求数列|an|的前n项和Tn.能力提升11.若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p0,q0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于()A.6B.7C.8D.912.(2021青岛西海岸新区高三期末)已知数列an的前n项和Sn=2n+1-2,则an的通项公式an=;若数列bn的通项公式bn=n,将数列bn中与a
4、n相同的项去掉剩下的项依次构成数列cn,cn的前n项和为Tn,则T100=.13.(2021河北石家庄模拟)数学中有各式各样富含诗意的曲线,螺旋线就是其中比较特别的一类.螺旋线这个名词来源于希腊文,它的原意是“旋卷”或“缠卷”.小明对螺旋线有着浓厚的兴趣,连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案,其具体作法是:在边长为1的正方形ABCD中,作它的内接正方形EFGH,且使得BEF=15;再作正方形EFGH的内接正方形MNPQ,且使得FMN=15;类似地,依次进行下去,就形成了阴影部分的图案,如图所示.设第n个正方形的边长为an(其中第1个正方形ABCD的边长为a1=AB,第2个正
5、方形EFGH的边长为a2=EF,),第n个直角三角形(阴影部分)的面积为Sn(其中第1个直角三角形AEH的面积为S1,第2个直角三角形EQM的面积为S2,),有以下结论:数列an是公比为23的等比数列;S1=112;数列Sn是公比为49的等比数列;数列Sn的前n项和Tn14.其中正确结论的序号有.14.已知一个等差数列an(nN*)的前3项a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且其中的任意两个数不在表的同一列.行数列数第一列第二列第三列第一行582第二行4312第三行1669(1)请选择一个可能的a1,a2,a3组合,并求数列an的通项公式;(2)记(1)中选择的an的前n项和
6、为Sn,判断是否存在正整数k,使得a1,ak,Sk+2成等比数列,若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.高考预测15.已知等比数列bn,b1+b2=34,且b2+b3=38.(1)求数列bn的通项公式;(2)若数列ann是首项为b1,公差为b2的等差数列,求数列1an的前n项和.答案：1.A解析设等比数列an的公比为q.已知a5=3,a4a7=45,则a4a7=a4a6q=(a5)2q=45,解得q=5,所以a7-a9a6-a7=q-q31-q=q(1+q)=30.2.D解析an为等比数列,a5a6=a4a7=-8.联立a4+a7=2,a4a7=-8,可解得a4=4,a7=-2或a4=-
7、2,a7=4,当a4=4,a7=-2时,q3=-12,故a1+a10=a4q3+a7q3=-7;当a4=-2,a7=4时,q3=-2,故a1+a10=a4q3+a7q3=-7.综上可知,a1+a10=-7.3.D解析设an的公比为q.an是各项均为正数的等比数列,且a1a7=3a4,a42=3a4,a4=3,即a1q3=3.a2与a3的等差中项为18,a2+a3=36,即a1q+a1q2=36,联立,可解得a1=81,q=13,则S5=811-1351-13=121.4.A解析设等差数列的公差为d,则d0,a32=a2a6,即(1+2d)2=(1+d)(1+5d),解得d=-2,所以S6=61
8、+652(-2)=-24,故选A.5.9n-14解析S1=a1=1,则lgS1=lg1=0.lgSn是公差为lg3的等差数列,lgSn=(n-1)lg3=lg3n-1,则Sn=3n-1.当n2时,an=Sn-Sn-1=3n-1-3n-2=23n-2,a2=2,an+1an=23n-123n-2=3,数列an自第二项起构成公比为3的等比数列,可得a2+a4+a2n=2(1-9n)1-9=9n-14.6.-12解析由已知得S1=a1,S2=a1+a2=2a1-1,S4=4a1+432(-1)=4a1-6.S1,S2,S4成等比数列,(2a1-1)2=a1(4a1-6),整理,得2a1+1=0,解得
9、a1=-12.7.an=2n解析在数列an中,a1=2,且对于任意正整数m,n都有am+n=aman,令m=1,得an+1=2an,则an是首项和公比均为2的等比数列,从而an=2n.8.(1)证明由an+1=3an+4,得an+1+2=3(an+2).因为an是正项数列,an+20,所以数列an+2为等比数列.(2)解若a3=25,则an+2=(a3+2)3n-3,即an+2=(25+2)3n-3,所以an=3n-2,an-n=3n-n-2,数列an-n的前n项和Sn=(3+32+3n)-(1+n)n2-2n=3(1-3n)1-3-(1+n)n2-2n=3n+12-n22-5n2-32.9.
10、解(1)设an的公比为q.由题设得a1q+a1q3=20,a1q2=8.解得q=12(舍去),q=2.因为a1q2=8,所以a1=2.所以an的通项公式为an=2n.(2)由题设及(1)知b1=0,且当2nm0,a20,a50,a60,a70,an0,q0)的两个不同的零点,a+b=p,ab=q.p0,q0,a0,b0.又a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,2b=a-2,ab=4或2a=b-2,ab=4.解得a=4,b=1;解得a=1,b=4.p=a+b=5,q=14=4.p+q=9.故选D.12.an=2n,nN*5 545解析由题意,数列an的前n项和Sn
11、=2n+1-2,当n2时,an=Sn-Sn-1=2n+1-2-(2n-2)=2n,当n=1时,a1=S1=22-2=2,适合上式,所以an的通项公式an=2n,nN*.在数列bn的前100项中与数列an相同的项为2,22,23,24,25,26,所以T100=(b1+b2+b100)-(2+22+23+24+25+26)+(b101+b102+b106)=(b1+b2+b100+b101+b102+b106)-(2+22+23+24+25+26)=106(1+106)2-2(1-26)1-2=5671-126=5545.13.解析如图:由图知an=an+1(sin15+cos15)=an+12
12、sin(15+45)=62an+1,对于,因为an=62an+1(an0),所以an+1an=63,数列an是公比为63的等比数列,故不正确;对于,因为an=163n-1=63n-1,所以Sn=an2-an+124=1423n-1-23n=1823n,所以数列Sn是首项为112,公比为23的等比数列,故正确,不正确;对于,因为Tn=1121-23n1-23=141-23214,故正确.14.解(1)由题意可知,有两种组合满足条件:a1=8,a2=12,a3=16,此时等差数列an,a1=8,d=4,所以其通项公式为an=8+4(n-1)=4n+4.a1=2,a2=4,a3=6,此时等差数列an
13、,a1=2,d=2,所以其通项公式为an=2n.(2)若选择,Sn=n(8+4n+4)2=2n2+6n.则Sk+2=2(k+2)2+6(k+2)=2k2+14k+20.若a1,ak,Sk+2成等比数列,则ak2=a1Sk+2,即(4k+4)2=8(2k2+14k+20),整理,得5k=-9,此方程无正整数解,故不存在正整数k,使得a1,ak,Sk+2成等比数列.若选择,Sn=n(2+2n)2=n2+n,则Sk+2=(k+2)2+(k+2)=k2+5k+6.若a1,ak,Sk+2成等比数列,则ak2=a1Sk+2,即(2k)2=2(k2+5k+6),整理得k2-5k-6=0,因为k为正整数,所以k=6.故存在正整数k=6,使得a1,ak,Sk+2成等比数列.15.解(1)设数列bn的公比为q,则b1+b1q=34,b1q+b1q2=38,解得b1=12,q=12,所以bn=12n.(2)由(1)知数列ann是首项为12,公差为14的等差数列,所以ann=12+(n-1)14=n+14,从而an=n2+n4,所以1an=4n(n+1)=41n-1n+1.故数列1an的前n项和Sn=411-12+12-13+1n-1n+1=41-1n+1=4nn+1.8
