1、考点规范练35基本不等式及其应用基础巩固1.(2021四川宜宾诊断测试)已知正实数x,y满足xy=2,则x+y的最小值是()A.3B.22C.2D.22.(2021江苏扬州高邮中学高三月考)设x0,则y=3-3x-1x的最大值为()A.3B.3-32C.3-23D.-13.若正实数a,b满足1a+12b=ab,则ab的最小值为()A.2B.22C.4D.84.几何原本卷2的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明.现有图形如图所示,点F在半圆O上,点C在直径AB上,且OFAB,设AC=
2、a,BC=b,则该图形可以完成的无字证明为()A.a+b2ab(a0,b0)B.a2+b22ab(a0,b0)C.2aba+bab(a0,b0)D.a+b2a2+b22(a0,b0)5.(2021广西玉林三模)函数y=a3-x(a0,a1)的图象恒过定点A,若点A在双曲线x2m-y2n=1(m0,n0)上,则m-n的最大值为()A.6B.-2C.1D.46.若对任意正数x,不等式2x2+42a+1x恒成立,则实数a的取值范围为()A.0,+)B.-14,+C.14,+D.12,+7.已知x0,y0,且4x+1y=1,若x+ym2+m+3恒成立,则实数m的取值范围是.8.(2021江苏南京模拟)
3、已知函数f(x)=3x+a3x+1(a0)的最小值为5,则a=.9.(2021广西南宁三中月考)某社区为了做宣传,决定在办公楼外墙建一个面积为8 m2的矩形展示区,并计划在该展示区内设置三个全等的矩形宣传栏(如图所示).要求上下各空0.25 m,左右各空0.25 m,相邻宣传栏之间也空0.25 m.设三个宣传栏的面积之和为S(单位:m2),则S的最大值为.10.已知正数a,b满足2a2+b2=3,则ab2+1的最大值为.11.(2021广西柳州模拟)若a,bR,ab0,则aba4+4b4+1的最大值为.能力提升12.若不等式2x2-axy+y20对于任意x1,2及y1,3恒成立,则实数a的取值
4、范围是()A.a22B.a22C.a113D.a9213.已知正实数a,b满足a2-b+40,则u=2a+3ba+b()A.有最大值145B.有最小值145C.有最小值3D.有最大值314.(2021广东广州模拟)若4xy0,则y4x-y+xy的最小值为.15.(2021贵州贵阳质检)学生到工厂参加劳动实践,用薄铁皮制作一个圆柱体,圆柱体的全面积为8,则该圆柱体的外接球的表面积的最小值是.高考预测16.(2021云南师大附中月考)已知实数a,b满足a-2b=2,则2a+14b的最小值为.答案：1.B解析由基本不等式可得x+y2xy=22(x0,y0),当且仅当x=y=2时,等号成立.因此x+y
5、的最小值是22.2.C解析x0,y=3-3x-1x3-23x1x=3-23.当3x=1x,即x=33时,等号成立.因此y=3-3x-1x的最大值为3-23.3.A解析正实数a,b满足1a+12b=ab212ab,解得ab2,当且仅当1a=12b时,等号成立,则ab的最小值为2.故选A.4.D解析由AC=a,BC=b,可得圆O的半径r=a+b2.又由OC=OB-BC=a+b2-b=a-b2,OFAB,得FC2=OC2+OF2=(a-b)24+(a+b)24=a2+b22.根据题图知FOFC,即a+b2a2+b22,当且仅当a=b时取等号.5.D解析令3-x=0,解得x=3,此时y=1,所以A(3
6、,1),因为点A在双曲线x2m-y2n=1(m0,n0)上,所以9m-1n=1,所以m-n=(m-n)9m-1n=10-9nm+mn10-29nmmn=4,当且仅当9m-1n=1,9nm=mn,即m=6,n=2时,等号成立,所以m-n的最大值为4.6.B解析因为x0,所以2a+12xx2+4=2x+4x恒成立.又因为x+4x4,当且仅当x=2时取等号,所以2x+4x的最大值为12,所以2a+112,解得a的取值范围为-14,+.7.-3,2解析因为x0,y0,所以x+y=(x+y)4x+1y=5+xy+4yx5+2xy4yx=9,当且仅当x=6,y=3时等号成立,所以x+y的最小值为9,所以m
7、2+m+39,即m2+m-60,解得-3m2,即实数m的取值范围是-3,2.8.9解析f(x)=3x+a3x+1(a0)=3x+1+a3x+1-12a-1=5a=9,当且仅当x=log32时等号成立.9.4.5 m2解析设矩形展示区的长为xm,则宽为8xm.因为该展示区内设置三个全等的矩形宣传栏,要求上下各空0.25m,左右各空0.25m,相邻宣传栏之间也空0.25m,所以S=(x-0.254)8x-0.252=8.5-0.5x-8x8.5-20.5x8x=4.5,当且仅当0.5x=8x,即x=4时等号成立,所以S的最大值为4.5m2.10.2解析因为正数a,b满足2a2+b2=3,所以ab2
8、+1=222ab2+12212(2a2+b2+1)=24(3+1)=2,当且仅当2a=b2+1,且2a2+b2=3,即a2=1,b2=1时,等号成立.故ab2+1的最大值为2.11.14解析a4+4b4=(a2)2+(2b2)24a2b2,当且仅当a2=2b2时,等号成立,aba4+4b4+1ab4a2b2+1=14ab+1ab.又4ab+1ab24ab1ab=4,当且仅当4ab=1ab,即a2b2=14时,等号成立,a2=2b2,a2b2=14,解得a4=12,b4=18,aba4+4b4+114,aba4+4b4+1的最大值为14.12.A解析因为2x2-axy+y20,且y0,所以2xy
9、2-axy+10.令t=xy,则不等式变为2t2-at+10.由x1,2,y1,3,可知t13,2,即2t2-at+10在t13,2时恒成立.由2t2-at+10可得a2t2+1t,即a2t+1t.又2t+1t22t1t=22,当且仅当2t=1t,即t=22时等号成立,所以2t+1t取得最小值22,所以有a22,故选A.13.B解析a2-b+40,ba2+4.a+ba2+a+4.又a0,b0,aa+baa2+a+4,-aa+b-aa2+a+4,u=2a+3ba+b=3-aa+b3-aa2+a+4=3-1a+4a+13-12a4a+1=145,当且仅当a=2,b=8时取等号.故选B.14.54解
10、析因为4xy0,则4x-y0,y4x-y+xy=y4x-y+4x4y=y4x-y+4x-y+y4y=y4x-y+4x-y4y+142y4x-y4x-y4y+14=212+14=54,当且仅当4x-y=2y,即当3y=4x时,等号成立,所以y4x-y+xy的最小值为54.15.8(5-1)解析设圆柱体的底面圆半径为r,高为h,则有2r2+2rh=8,整理得h=4r-r(0r2),由球及其内接圆柱的结构特征知,球心是圆柱两底面圆圆心连线的中点,设圆柱体外接球的半径为R,于是得R2=r2+12h2=r2+2r-r22=54r2+4r2-2254r24r2-2=25-2,当且仅当54r2=4r2,即r=241255时,等号成立.因此,球的表面积S=4R28(5-1),所以该圆柱体的外接球的表面积的最小值是8(5-1).16.4解析因为a-2b=2,所以2a+14b=2a+2-2b22a-2b=4,当且仅当a=-2b,a-2b=2,即a=1,b=-12时,等号成立.故2a+14b的最小值为4.6
