1、沧州市20182019学年度第一学期期末教学质量监测高二数学（文科）第卷一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某学校高一、高二年级共有1800人，现按照分层抽样的方法，抽取90人作为样本进行某项调查.若样本中高一年级学生有42人，则该校高一年级学生共有（ ）A. 420人 B. 480人 C. 840人 D. 960人【答案】C【解析】【分析】先由样本容量和总体容量确定抽样比，用高一年级抽取的人数除以抽样比即可求出结果.【详解】由题意需要从1800人中抽取90人，所以抽样比为，又样本中高一年级学生有42人，所以该校高一年级学生共有人.故选C【点睛】本题主要考查分层
2、抽样，先确定抽样比，即可确定每层的个体数，属于基础题型.2.已知命题，总有，则为( )A. ，使得 B. ，使得C. ，使得 D. ，使得【答案】B【解析】【分析】由含有一个量词的命题的否定直接可写出结果.【详解】命题，总有的否定为：，使得，故选B【点睛】本题主要考查含有一个量词的命题的否定，通常只需要改量词和结论即可，属于基础题型.3.有以下五组变量：某商品的销售价格与销售量；学生的学籍号与学生的数学成绩；坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数；气温与冷饮销售量；电瓶车的重量和行驶每千米的耗电量.其中两个变量成正相关的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由正相关的定义即可逐
3、一判断.【详解】销售价格越高，销售量通常会越低，所以不是正相关，故错；学生的成绩与学号无关，故错；医学证明不吃早餐的人容易患胃病，因此吃早餐和患胃病之间是负相关，故错；气温越高，冷饮销量越高，故是正相关，所以正确；电瓶车越重，耗电量越大，所以是正相关，故正确，故选D【点睛】本题主要考查正相关的定义，熟记概念即可，属于基础题型.4.点是抛物线的焦点，若抛物线上的点到的距离为3，则点到轴的距离为（ ）A. 2 B. 3 C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据抛物线的定义即可求解.【详解】抛物线上任一点到焦点的距离等于到准线的距离，设，由抛物线的方程得，所以，所以，所以点到轴的距离为，故选A【点
4、睛】本题主要考查抛物线的定义，熟记定义即可求解，属于基础题型.5.管理部门对某品牌的甲、乙两种食品进行抽样检测，根据两种食品中某种物质的含量数据，得到下面的茎叶图：由图可知两种食品中这种物质含量的平均数与方差的大小关系是( )A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】B【解析】【分析】由茎叶图中的数据计算出平均数和方差即可比较大小.【详解】由茎叶图可得：，所以，,所以，故选B【点睛】本题主要考查茎叶图，由茎叶图中数据计算平均数和方差，熟记公式即可，也可根据茎叶图的特征判断，属于基础题型.6.已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，则双曲线的方程可能是( )A. B. C. D. 【答案】D【解
5、析】【分析】由双曲线焦点位置设出双曲线方程，再由渐近线的斜率即可求出结果.【详解】因为双曲线的焦点在轴上，所以设双曲线的方程为，又渐近线方程为，所以,所以双曲线方程可能为故选D【点睛】本题主要考查双曲线的方程，由渐近线方程可确定a,b的比值，进而可确定双曲线的方程，属于基础题型.7.为了解某次考试中语文成绩是否优秀与性别的关系，某研究机构随机抽取了60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：语文成绩优秀语文成绩非优秀总计男生102030女生201030总计303060经过计算，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）下面的临界值表供参考：0.150.100.050.0250.0100.0050.
6、0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828A. 有的把握认为语文成绩是否优秀与性别有关系B. 有的把握认为语文成绩是否优秀与性别有关系C. 有的把握认为语文成绩是否优秀与性别有关系D. 没有理由认为语文成绩是否优秀与性别有关系【答案】C【解析】【分析】先计算出的观测值，结合临界值表即可判断出结果.【详解】由题意可得，的观测值，所以有的把握认为语文成绩是否优秀与性别有关系.故选C【点睛】本题主要考查独立性检验，熟记公式即可求解，属于基础题型.8.定义：，当五位数满足，且时，称这个五位数为“凸数”.由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数共120个，从中任
7、意抽取一个，则其恰好为“凸数”的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由列举法列举出满足条件的基本事件，即可根据古典概型的概率公式求出结果.【详解】由题意，由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数恰好为“凸数”的有：12543,13542,14532,23541,24531,34521,共6个基本事件，所以恰好为“凸数”的概率为.故选D【点睛】本题主要考查古典概型，列举法求古典概型的概率只需熟记古典概型的概率公式即可求解，属于基础题型.9.若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离大于实轴长，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分
8、析】由点到直线的距离公式表示出一个焦点到一条渐近线的距离，再与实轴比较大小，列出不等式即可求出结果.【详解】由题意不妨令焦点为，其中一条渐近线方程为，所以焦点到渐近线的距离为，整理得：，故.所以选D【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质，由点到直线的距离公式求出焦点到渐近线的距离，根据题意列出不等式即可求解，属于基础题型.10.执行如图所示的程序框图，如图输出的的值为2，则判断框中的条件可能是（ ）A. ？ B. ？ C. ？ D. ？【答案】A【解析】【分析】根据程序框图逐步执行循环结构，即可求出结果.【详解】第一步：由初始值得：；继续执行循环；第二步：，此时，结束循环，故判断框中应填？故选A
9、【点睛】本题主要考查程序框图，由程序框图，分析框图的作用即可求解，属于基础题型.11.若函数在上有极值点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由函数在上有极值点，得到其导函数所对应的方程在上有实根，分类讨论即可求出结果.【详解】因为，所以，由函数在上有极值点，可得在上有实根，又恒成立，所以方程必有实根，由得函数过点,所以当时，函数开口向下，对称轴在轴左侧，故此时与轴正半轴无交点，不满足题意，所以舍去;当时，与轴正半轴无交点，不满足题意，所以舍去;当时，函数开口向上， 又函数过点，所以无论对称轴在轴的任何一侧，都能满足函数与轴正半轴有交点，即方程在上有实根；
10、综上，实数的取值范围是：故选A【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，由函数在某区间有极值，可得其导函数所对应的方程在某区间内有实根，通常用分类讨论的思想来处理，属于常考题型.12.直线与抛物线交于，两点，为抛物线上一点，三点的横坐标依次成等差数列.若中，边上的中线的长为3，则的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先设，三点坐标，由 ，三点的横坐标依次成等差数列，以及为边上的中线可表示出的坐标，再由点差法求出直线的方程，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理即可求出结果.【详解】设，因为，三点的横坐标依次成等差数列，所以，又因为为边上的中线，所以轴，即，因为，在抛物线上，
11、所以有，两式作差可得,所以,所以直线的方程为，即，由得：，所以，所以，故.故选【点睛】本题主要考查直线与抛物线的综合，常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理以及题中条件即可求解，属于常考题型第卷二、填空题（将答案填在答题纸上）13.函数，则_【答案】【解析】【分析】先对函数求导，再将代入即可求出结果.【详解】因为，所以，所以.故答案为【点睛】本题主要考查导函数的值，利用取到公式求出导函数即可求解，属于基础题型.14.如图，为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于其中一点，与轴交于点，且.直线与的外角平分线交于点，则的周长为_【答案】3【解析】【分析】由题意先得与相似，由确定相似比，再结合椭圆定
12、义即可求出结果.【详解】由题意可得，是的外角平分线，所以，所以，又，所以，又由椭圆的方程可得：，所以的周长为.故答案为3【点睛】本题主要考查椭圆的定义，由两三角形相似确定相似比，结合椭圆的定义即可求解.15.如图，边长为的正三角形内接于圆，点为弧上任意一点，则的面积大于的概率为_【答案】【解析】【分析】过点作直线与平行交弧于点，的面积恰好为，点由点向点移动的过程中，的面积越来越大，结合古典概型中与角度有关的几何概型即可求出结果.【详解】因为的边长为，所以的高为设外接圆的半径为，则，所以，,所以点到的距离为，过点作直线与平行交弧于点，的面积恰好为，所以点由点向点移动过程中，的面积越来越大；点由点
13、向点移动过程中，的面积越来越小，因此，为使的面积大于，只需点由点向点移动，所以由几何概型可知，的面积大于的概率等于与角大小之比.因，所以的面积大于的概率为.故答案为【点睛】本题主要考查几何概型，根据题意，将问题转化为求圆心角之比即可，属于基础题型.16.已知函数，其图象上存在两点，在这两点处的切线都与轴平行，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】先对函数求导，由题意函数图象上存在两点，的切线都与轴平行，即是在上有两不等实根，再由导数的方法求解即可.【详解】因为，所以，由函数图象上存在两点，的切线都与轴平行，所以在上有两不等实根，即在上有两不等实根；即直线与曲线在上有两个不同交点.因，由得
14、，由得;所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以有最小值；又，当时，所以为使直线与曲线在上有两个不同交点，只需.故答案为【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，将问题转化为导函数有两实根的问题，再转化为两函数有两交点的问题，结合函数单调性和值域即可求解，属于常考题型.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.命题：实数满足集合，：实数满足集合.（）若，为真命题，求集合，；（）若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）分别解和，即可求出结果；（2）由是成立的充分不必要条件，可得是的真子集，即可求出结果.【详解】（1）由，得，.由，
15、解得，.（2）是成立的充分不必要条件，.解得.实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查由命题的真假求对应的集合，以及根据集合之间的关系求参数范围，属于基础题型.18.为保护农民种粮收益，促进粮食生产，确保国家粮食安全，调动广大农民粮食生产的积极性，从2004年开始，国家实施了对种粮农民直接补贴.通过对20142018年的数据进行调查，发现某地区发放粮食补贴额（亿元）与该地区粮食产量（万亿吨）之间存在着线性相关关系.统计数据如下表：年份2014年2015年2016年2017年2018年补贴额亿元91012118粮食产量万亿吨2325302621（）请根据如表所给的数据，求出关于的线性回归直线方程；
16、（）通过对该地区粮食产量的分析研究，计划2019年在该地区发放粮食补贴额7亿元，请根据（）中所得的线性回归直线方程，预测2019年该地区的粮食产量.（参考公式：，）【答案】（1）（2）粮食产量大约为18.7万亿吨.【解析】【分析】（1）由最小二乘法求出a,b的估计值，进而可得回归直线方程；（2）将代入（1）所求的回归方程即可求出结果.【详解】（1）由已知数据，可得，.代入公式，经计算，得，.所求关于的线性回归直线方程为.（2）由题意，知，代入（1）中所得线性回归直线方程，计算得.2019年该地区的粮食产量大约为18.7万亿吨.【点睛】本题主要考查线性回归方程以及利用线性回归方程求预测值的问题，
17、由最小二乘法先求出a,b的估计值，进而即可求解，属于基础题型.19.某校高二（20）班共50名学生，在期中考试中，每位同学的数学考试分数都在区间内，将该班所有同学的考试分数分为七个组：，绘制出频率分布直方图如图所示.（1）根据频率分别直方图，估计这次考试学生成绩的中位数和平均数；（2）已知成绩为104分或105分的同学共有3人，现从成绩在中的同学中任选2人，则至少有1人成绩不低于106分的概率为多少？（每位同学的成绩都为整数）【答案】（1）中位数为114，平均数为114.32（2）【解析】【分析】（）根据中位数的两边概率相等，即可求出中位数；由每组的中间值乘以该组的频率再求和即可求出平均数；（
18、）先由题意求出成绩在的人数，对成绩为104分或105分的同学和成绩为106分、107分的学生编号，用列举法结合古典概型的概率计算公式即可求出结果.【详解】（）由频率分布直方图，知，所以学生成绩的中位数为.平均数为 .（）因为，所以成绩在之间的学生共有6人.设成绩为104分、105分的学生为，成绩为106分、107分的学生为，.从6人中任选2人，共有，15种情况，其中恰好2人都不低于106分的有，共3种情况，所以从成绩在中的同学中任选2人，则恰好2人成绩都不低于106分的概率为.【点睛】本题主要考查根据频率分布直方图求中位数、平均数的问题以及古典概型的概率计算公式的问题；频率分布直方图中的中位数
19、两边概率之和相等，根据每组的中间值乘该组的频率再求和即可求出平均数；列举法处理古典概型的问题是常用的做法，属于基础题型.20.已知曲线.（1）求该曲线斜率为-3的切线方程；（2）当曲线的切线斜率最大时，切点为，过点作直线与轴、轴的正半轴交于两点，求面积的最小值.【答案】（1）或.（2）【解析】【分析】（1）先对函数求导，再令导函数等于-3即可求出切点坐标，进而可求切线方程；（2）先由切线斜率取最大时，求出切点坐标，再设出两点坐标，得到直线的截距式方程，将切点坐标代入直线方程，结合基本不等式即可求解.【详解】（1）由，得，解得或.当时，；当时，.切线方程为或，即或.（2），当时，切线的斜率取得最
20、大值1，此时，即点坐标为.由题意，设，（，），则直线的方程为. ，当且仅当，即时取“”号.将代入，解得，.直线的方程为，即时，面积的最小值为.【点睛】本题主要考查导函数的几何意义，根据导数的方法求曲线的切线方程，由切线斜率求切点坐标，属于基础题型.21.已知椭圆的右焦点为,为椭圆上一点.（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，过作直线与椭圆交于，两点，点为点关于轴的对称点.求证：（1）；（2）直线必过轴上一定点，并求出定点坐标.【答案】（1）（2）见证明【解析】【分析】（1）可由题中条件，以及a,b,c三者之间关系可求出a,b的值，进而可求出椭圆的方程；（2）联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理，即
21、可证明；再表示出直线的方程，即可求出定点坐标.【详解】（1）（方法1）由题知，椭圆的两个焦点坐标为，根据椭圆定义，可得 ，.椭圆的标准方程为.（方法2）由题，可得解得椭圆的标准方程为.（2）证明：（1）当直线斜率为0时，的方程为，等式显然成立；当直线斜率不为0时，由题意，设的方程为，点为点关于轴的对称点，则.联立得.，. .等式成立.（2）当直线斜率不为0时，直线的方程为，即，即.由（1），可知， . .直线过定点；当直线斜率为0时，的方程为，直线也过定点.综上可知，直线必过轴上定点.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程以及椭圆的简单性质，求标准方程通常需要结合题意列方程组求解即可；直线与椭圆的
22、位置关系的问题，可联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理结合题中条件求解即可，计算量较大，属于常考题型.22.已知函数，为自然对数的底数.（1）求函数的单调区间；（2）求证：对任意，恒成立.【答案】(1) 函数的单调递减区间为，单调递增区间为. (2)见证明【解析】【分析】（1）对函数求导，由导函数大于0或小于0，即可求出单调区间；（2）根据的导函数，将恒成立转化为恒成立的问题来解决，构造函数，求其在给定区间内的最大值，即可求解.【详解】（1）函数的定义域为.由，得.当时，函数为减函数；当时，函数为增函数.时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）证明：，设（，）.，易知在上为减函数.在上为减函数.恒成立.当时，对任意，恒成立.【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，利用导数的方法求函数的单调区间时，只需对函数求导，解对应的不等式即可求出单调区间；研究不等式恒成立的问题，一般需要构造函数，由导数方法研究新函数的最值即可求解，属于常考题型.
