1、湖南省湘潭市2018-2019年度第一学期期末高二文科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题“若，则”的逆命题为A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】【分析】根据命题“若，则”的逆命题为“若，则”，写出即可【详解】命题“若，则”，它的逆命题为“若，则”，故选D【点睛】本题主要考查逆命题的基本定义，意在考查对基本概念的掌握情况，是基础题2.设函数，若，则的值为A. 0B. 1C. 2D. 4【答案】B【解析】【分析】先对函数求导，利用列方程求解即可【详解】函数，即，故选B【点睛】本题主要考查了导数的运算法则，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基
2、础题3.抛物线y2=4x的焦点坐标是A. （0,2）B. （0,1）C. （2,0）D. （1,0）【答案】D【解析】试题分析：的焦点坐标为，故选D.【考点】抛物线的性质【名师点睛】本题考查抛物线的定义解析几何是中学数学的一个重要分支，圆锥曲线是解析几何的重要内容，它们的定义、标准方程、简单几何性质是我们要重点掌握的内容，一定要熟记掌握4.在等差数列中，已知，则A. 9B. 8C. 81D. 63【答案】A【解析】【分析】根据等差数列的下标性质，可得，从而可得结果【详解】由等差数列的性质得，得，故选A【点睛】本题主要考查等差数列性质的应用，属于简单题. 等差数列中，若则5.已知分别为内角的对边
3、，若，则A. 5B. 11C. D. 【答案】C【解析】【分析】由，,直接利用余弦定理可求的值【详解】，由余弦定理可得，即，解得：，故选C【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.6.已知则的最小值为A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】A【解析】【分析】直接利用基本不等式求解即可求得结果【详解】，所以，当且仅当即时取得最小值6，故选A【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，属于基础试题利用基本
4、不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.7.已知分别为内角的对边，若，则锐角的大小是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接根据正弦定理建立方程关系进行求解即可【详解】，由正弦定理得，得，则锐角，故选B【点睛】本题主要考查利用正弦定理解三角形，属于简单题正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一
5、定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.8.已知等比数列的公比为q，则A. B. 2C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用等比数列的性质满足,代入,计算,即可.【详解】结合等比数列的性质可知,解得,故选C.【点睛】考查了等比数列的性质,关键利用,代入,计算,即可,难度较容易.9.已知，则下列结论一定成立的是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用特殊值判断选项，利用不等式的性质判断【详解】当，时， 不成立，选项错误；当，时，不成立，选项错误；因为，则，即成立，故选B【点睛】本题主要考查不
6、等式的性质，属于中档题.利用条件判断不等式是否成立，要从以下几个方面着手：（1）利用不等式的性质直接判断；（2）利用函数式的单调性判断；（3）利用特殊值判断.10.已知直线过点，椭圆，则直线与椭圆的交点个数为A. 1B. 1或2C. 2D. 0【答案】C【解析】【分析】由点在椭圆的内部，可得直线与椭圆相交【详解】点在椭圆的内部，而直线过点，直线与椭圆相交，交点个数为2，故选C【点睛】本题主要考查椭圆的方程与简单性质，考查直线与椭圆位置关系的判定，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，是基础题11.若不等式的解集为，则实数的取值范围是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据一元二
7、次不等式的解集为，利用判别式小于零列不等式求解即可【详解】不等式的解集为，解得，实数的取值范围是，故选D【点睛】本题主要考查了根据一元二次不等式的解集求参数，意在考查对基础知识的掌握与应用，是基础题12.已知函数，则满足的的取值范围是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先判断是奇函数，且在递增，根据函数的单调性和奇偶性得到关于的不等式，进而可得结果【详解】因为的定义域是，故是奇函数，又，故在递增，若，等价于，故，解得，故选D【点睛】本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查导数的应用，属于中档题函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起
8、考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在数列中，则_【答案】3【解析】【分析】直接利用数列的递推关系式和赋值法求出结果【详解】在数列中，当时，则，故答案为3.【点睛】本题主要考查数列的递推关系式的应用，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题型14.已知实数x，y满足约束条件则的最小值是_【答案】-10【解析】【分析】根据约束条件作出可行域，将目标函数转化为，在可行域中平移直线，找到使截距最小的点即为最优解，得的最小值【详解】作出实数x，y满足约束条件对应的平面区域如图：由得，
9、平移直线，由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得，此时，故答案为：【点睛】先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值15.函数的单调递减区间是_【答案】【解析】【分析】求出函数的导数，在定义域内令求得的范围，可得函数的减区间【详解】的定义域是，令，解得：，所以在递减，故答案为【点睛】本题主要考查函数的单调性，考查了导数的应用，属于简单题利用导数求函数单调区间的步骤：求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，令求得的范围，可得函数的减区间.16.已知分别是双曲线的左右焦点，是双曲线左支上任意一点，的最小值为，则此双曲线的离心率的取值范围是_【答
10、案】【解析】【分析】由双曲线的定义知，可得，当且仅当，即时取得等号再由，结合可得离心率的取值范围【详解】由定义知：，当且仅当，即时取得等号，此时，因为，所以可得， ，又双曲线的离心率， ,故答案为【点睛】本题考查双曲线的定义、离心率与几何性质，以及基本不等式的应用，属于难题求离心率范围问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围【答案】【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法，求出的等价条件，结合充分条件和必要条件定义转化为，根据包含关系列不等式进行
11、求解即可【详解】由得解得，即，若“”是“”的充分条件，则，即，得，即，即实数的取值范围是【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及集合子集的应用，考查了转化思想的应用，属于中档题转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将充分条件与必要条件问题转化为集合问题是解题的关键.18.已知分别为锐角内角的对边，求角；若，的面积是，求的值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】由，根据正弦定理可得，结合，可得，从而可得结果；先根据面积公式求出的值，再利用余弦定理求出的值即可【详解】由正弦定理得，在三角形中，三角形是锐角三角形，若，的面积是，则，可得
12、，则，即【点睛】本题主要考查利用正弦定理，余弦定理解三角形以及三角形的面积公式的应用，属于中档以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用.19.已知数列是公差为1的等差数列，其前8项的和求数列的通项公式；求数列的前项和【答案】（1）；（2）【解析】【分析】运用等差数列的求和公式，解方程可得数列的首项，从而可得到数列的通项公式；利用（1）求得，运用数列的裂项相消法求和，化简可得结果【详解】由题意可得公差，
13、即有，解得，则；，则前n项和【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的裂项相消法求和，属于中档题裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.20.已知函数在处有极值2求的值；求函数在区间上的最大值【答案】（1）；（2）2【解析】【分析】求出,根据极值的定义可得，解方程组可求出的值；利用（1）求出函数的导数，根据导函数的符号，可得在上递减，在上递增，利用函数的单调性可得出函数的最值【详
14、解】函数在处取得极值2，解得.由得：， 令，解得：，令，解得：或，故在递减，在递增，故的最大值是或，而，故函数的最大值是2【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，最值问题，属于中档题求函数极值与最值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 判断在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.21.已知椭圆 的离心率为，是上一点，是的两个焦点，且求椭圆的方程
15、；设直线交椭圆于两点，为坐标原点，求面积的最大值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】利用椭圆的离心率与椭圆的定义，解得，可得的值，即可求出椭圆方程；设，将直线代入椭圆的方程整理得，通过，以及韦达定理，结合弦长公式，求解三角形的面积表达式，利用基本不等式求解最值即可【详解】，即，即椭圆方程为设，将代入椭圆C的方程整理得，点O到直线AB的距离，当且仅当即时取等号，面积的最大值为【点睛】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，属于中档题求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于的方程组，解出从而写出椭圆的标准方程解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常
16、规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.22.设函数，当时，求曲线在点处的切线方程；若，恒成立，求的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】求得的导数，由可得切线的斜率，求得可得切点坐标，由点斜式方程可得切线方程；，恒成立，等价于恒成立，由于在上递增，可得，可得在时恒成立，设，利用导数研究的单调性，可得最小值，即可得到的范围【详解】，导数为，可得曲线在点处的切线斜率为6e，切点为，则曲线在点处的切线方程为，即为；，恒成立，等价于恒成立，由于在递增，可得，所以在恒成立，设，则，由的导数为，可得，又，可得，即在递增，可得的最小值为，则【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、最值，考查转化思想和运算能力，属于难题求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点 出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.
