1、 4.1 4.1 弯曲的概念弯曲的概念 4.2 4.2 梁的弯曲内力梁的弯曲内力 4.3 4.3 弯曲正应力和强度计算弯曲正应力和强度计算 4.4 4.4 提高梁弯曲强度的措施提高梁弯曲强度的措施 4.5 4.5 梁的刚度条件梁的刚度条件 4.6 4.6 组合变形时的强度计算组合变形时的强度计算 4.1 弯曲的概念生活和工程中的实例 以弯曲为主要变形的构件在工程上称为梁梁 ；截面相同的直梁称为等直梁等直梁 ；梁受到与其轴线垂直的力作用或位于其轴线所在平梁受到与其轴线垂直的力作用或位于其轴线所在平面内的外力偶作用要发生弯曲变形面内的外力偶作用要发生弯曲变形平面弯曲：外力作用在梁的纵向平面弯曲：外
2、力作用在梁的纵向对称面上，梁的轴线将在其对称面上，梁的轴线将在其纵向纵向对称面对称面内弯曲成一平面曲线内弯曲成一平面曲线梁的载荷与支座情况梁的载荷与支座情况# 集中力集中力# 均布载荷均布载荷# 集中力矩集中力矩集中力和均布载荷与坐标轴同向为正、反向为负；集中力和均布载荷与坐标轴同向为正、反向为负；集中力偶矩：逆时针为正、顺时针为负。集中力偶矩：逆时针为正、顺时针为负。梁的支座的简化形式 固定铰链支座 活动铰链支座 固定端XAYAMA简支梁简支梁悬臂梁悬臂梁外伸梁外伸梁简支梁：一端是固定铰链支座，另一端是活动铰链支座简支梁：一端是固定铰链支座，另一端是活动铰链支座悬臂梁：一端是刚性固定，另一端
3、是自由悬臂梁：一端是刚性固定，另一端是自由外伸梁：一端是固定铰链支座，另一端是活动铰外伸梁：一端是固定铰链支座，另一端是活动铰链支座，不过梁的一端或两端是外伸的链支座，不过梁的一端或两端是外伸的求解梁弯曲问题必须在梁上建立直角坐标系求解梁弯曲问题必须在梁上建立直角坐标系0M,0Y,0X举例说明举例说明P左边固定铰支座，有两个约束反力左边固定铰支座，有两个约束反力ABxyAyRAxRByR0X 右边活动铰支座，右边活动铰支座，1个约束反力个约束反力0RAx0Y 0PRRByAy0MAl02/lPlRBy2/PRBy2/PRAy2/lxyql固定端有固定端有3个约束反力个约束反力RxRyABMA0
4、X 0Rx0Y 0lqRyqlRy0MA02lqlMA221qlMA 4.2 梁的弯曲内力梁的弯曲内力 截面法求内力截面法求内力:弯矩作用面在弯矩作用面在梁的纵向对称面内梁的纵向对称面内FFFBFBMBFFQMxFBMBFQMl-x?与前面三种基本变形不同的是，弯曲与前面三种基本变形不同的是，弯曲内力内力有两类：有两类：剪力和弯矩剪力和弯矩凹形凹形M为正为正凸形凸形M为负为负梁横截面上内力的正负号内力分为两部分：剪力和弯矩内力分为两部分：剪力和弯矩逆时针逆时针Q为负为负顺时针顺时针Q为正为正符号（正负）规定如下：针对所取的微段符号（正负）规定如下：针对所取的微段为了形象的表示剪力和弯矩在不同截
5、面的变化规律，便于找到最大弯矩和剪力的数值和其位置（及危险截面），所以要绘出剪力图和弯矩图。二、内力图剪力图和弯矩图 一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置不同而变化。若以横坐标截面位置不同而变化。若以横坐标x表示截面表示截面在梁轴线上的位置，则各横截面上的剪力和弯在梁轴线上的位置，则各横截面上的剪力和弯矩都可表示为矩都可表示为x的函数，分别为的函数，分别为FQ(x)、M(x)必须掌握xyP1P2RAyABRAxRBxP1RAyaaMQ0M 0 xRaxPMAy1axPxRMAy1mm0Y01QPRAy1PRQAyRAxxylqx求图示简支梁求图示简支
6、梁 x 截面的弯矩截面的弯矩AB2 在在x 处截开，取左半部分分处截开，取左半部分分析析画出外力、约束反力、弯矩画出外力、约束反力、弯矩 x 截面剪力、力矩平衡方程截面剪力、力矩平衡方程0)(FoM0 xR2xqxMAy221qxxRMAyqRAyMqxQ0Y0QqxRAyqxRQAy解：解：1 计算支座的约束力计算支座的约束力RBRAyRAxRAy=RB=ql/22122qlxMqx=-弯矩最大值在梁的中弯矩最大值在梁的中点，此处剪力为零，点，此处剪力为零，有有2lx 2ql81M xylqxAB2qlQqx=-xxQM(0 x l)(0 x l)（1）列剪力方程和弯矩方程）列剪力方程和弯矩
7、方程 PxMMPxMPQPQY 得由得00000,（2）画剪力图和弯矩图）画剪力图和弯矩图例例3 图图 所示为一简支梁，在所示为一简支梁，在C点受集中力点受集中力P 的作用，的作用，作此梁的剪力图和弯矩图作此梁的剪力图和弯矩图。(1) 求支座反力求支座反力0,0 AMYlPaRlPbRBA ,(2) 列剪力方程和弯矩方程列剪力方程和弯矩方程AC段段:lPbRQA 1(0 x a)xlPbxRMA 1)(ax 0CB段：段：lPaPlPbPRQA 2)(lxa )()()(xllPbaxPxlPbaxPxRMA 2)(lxa AC段段:lPbRQA 1(0 x 0q0QQ0 x斜直线Q增函数xQ
8、x降函数xQCQ1Q2Q1Q2=P自左向右突变xQC无变化斜直线抛物线自左向右折角自左向右突变x折向与P同向M MxmMM21M1M2MM增函数 降函数MM凹状凸状1.1.梁纯弯曲的概念梁纯弯曲的概念 在梁的纵向对称面内，两端施加等值、反向的一对力在梁的纵向对称面内，两端施加等值、反向的一对力偶。在梁的横截面上只有弯矩而没有剪力，且弯矩为偶。在梁的横截面上只有弯矩而没有剪力，且弯矩为一常数，这种弯曲为纯弯曲一常数，这种弯曲为纯弯曲 。平面弯曲平面弯曲剪力弯曲剪力弯曲纯弯曲纯弯曲剪力FQ0弯矩M 0剪力FQ=0弯矩M 0 4.3 弯曲正应力和强度计算弯曲正应力和强度计算 中性层和中性轴中性层和中
9、性轴xyz 中性层中性层 梁弯曲变形时，既梁弯曲变形时，既不伸长又不缩短的纵向不伸长又不缩短的纵向纤维层称为中性层。纤维层称为中性层。 对矩形截面梁来讲，就是位于上下中间这一层。对矩形截面梁来讲，就是位于上下中间这一层。 中性轴中性轴梁弯曲时，实际上各个截面绕着中性轴转动。梁弯曲时，实际上各个截面绕着中性轴转动。如果外力偶矩如图作用在梁上，该梁下部将伸长、上部如果外力偶矩如图作用在梁上，该梁下部将伸长、上部将缩短将缩短 纯弯曲梁变形后各横截面仍保持为一平面，仍然垂纯弯曲梁变形后各横截面仍保持为一平面，仍然垂直于轴线，只是绕直于轴线，只是绕转过一个角度，称为弯曲问转过一个角度，称为弯曲问题的平面
10、假设。题的平面假设。中中性性层层中中性性轴轴 dyabddxabdxdOO)(21 )()(aydddyababab a.变形的几何关系为：变形的几何关系为：上式说明离中性轴越远上式说明离中性轴越远(y越大越大)，则变形越大。，则变形越大。b、应力和变形的关系（物理关系）、应力和变形的关系（物理关系）由虎克定律由虎克定律yEE 2 2 弯曲时正应力弯曲时正应力c.弯曲正应力分布规律弯曲正应力分布规律M 与中性轴距离相等与中性轴距离相等的点，正应力相等；的点，正应力相等；MyEE d.静力学关系分析静力学关系分析如图，取一微元进行分析如图，取一微元进行分析MdAyAMdAyEdA)yE( yAA
11、2zzAzEIMMEIdAyI12或或令令yEE zIMyzIMy横截面上横截面上某点正应力某点正应力该点到中性轴该点到中性轴距离距离该截面弯矩该截面弯矩该截面惯性矩该截面惯性矩显然正应力的最大值对应于横截面上点到中性轴的距离(y)的最大值弯曲正应力的计算、抗弯截面模量弯曲正应力的计算、抗弯截面模量 某截面上最大某截面上最大弯曲正应力发生在弯曲正应力发生在截面的上下边界上：截面的上下边界上：maxmaxmaxmaxzZMyMIWs=WZ 称为抗弯截面模量，称为抗弯截面模量，Z 为中性轴为中性轴.矩形截面矩形截面Zbh6bhW2Z实心圆截面实心圆截面Zd32dW3ZmaxZZyIW max 图图
12、5-8所示，一受均布载荷的悬臂梁，其长所示，一受均布载荷的悬臂梁，其长l=1m，均布载荷集度均布载荷集度q=6kN/m；梁由；梁由10号槽钢制成，由型钢号槽钢制成，由型钢表查得横截面的惯性矩表查得横截面的惯性矩Iz=25.6cm4。试求此梁的最大。试求此梁的最大拉应力和最大压应力。拉应力和最大压应力。（1）作弯矩图，求最大弯矩）作弯矩图，求最大弯矩 mNqlMmax3000216000222 因危险截面上的因危险截面上的弯矩为负，故截面弯矩为负，故截面上缘上缘受最大拉应力，受最大拉应力，其值为其值为在截面的在截面的下端下端受最大压应力，其值为受最大压应力，其值为MPa385Pa10385032
13、8.0106.253000682maxmax yIMzC （2）求最大应力）求最大应力MPa178Pa101780152.0106.253000681maxmax yIMzT 2. 弯曲强度计算弯曲强度计算 梁的最大正应力梁的最大正应力 梁的强度条件梁的强度条件 举例举例a、梁的最大正应力、梁的最大正应力 梁的危险截面梁的危险截面梁的危险截面在该梁内弯矩最大的截面上梁的危险截面在该梁内弯矩最大的截面上危险截面位于梁中部危险截面位于梁中部危险截面位于梁根部危险截面位于梁根部 梁的最大正应力梁的最大正应力梁的最大正应力发生在危梁的最大正应力发生在危险截面上离中性轴最远处险截面上离中性轴最远处Zma
14、xmaxWMb、梁的强度条件、梁的强度条件 ZmaxmaxWMMmax梁内最大弯矩梁内最大弯矩WZ危险截面抗弯截面系数危险截面抗弯截面系数材料的许用应力材料的许用应力利用强度条件可以校核强度、设计利用强度条件可以校核强度、设计截面尺寸、确定许可载荷截面尺寸、确定许可载荷例例8图示圆截面辊轴，中段图示圆截面辊轴，中段BC受均部载荷作用，受均部载荷作用，试确定辊轴试确定辊轴BC段截面的直径。已知段截面的直径。已知q = 1KN/mm，许用应力许用应力 = 140MPa。q3003001400ABCDqRAyM300700300q3003001400ABCD危险截面在轴的中部危险截面在轴的中部利用截
15、面法求该截面弯矩利用截面法求该截面弯矩qRAyM3007003000M 0700300R2700700qMAy由对称性可求得：由对称性可求得：N700000214001000ql21RAyKNm45527001000100070000M2 ZmaxWM maxZMW 1401000100045532d3mm320d 例例10 图示悬臂梁承受均布载荷图示悬臂梁承受均布载荷q，假设梁，假设梁截面为截面为b h的矩形，的矩形， h = 2b，讨论梁立置讨论梁立置与倒置两种情况哪一种更好？与倒置两种情况哪一种更好？bhhbq注意：注意：Z Z 轴为轴为中性轴中性轴bhhbq根据弯曲强度条件根据弯曲强度
16、条件 ZWM同样载荷条件下，工作应力越小越好同样载荷条件下，工作应力越小越好因此，因此，WZ 越大越好越大越好梁立置时：梁立置时：3322Zb326b46b2b6bhW梁倒置时：梁倒置时：3322Zb316b26bb26hbW立置立置比倒倒置强度大置强度大一倍。一倍。 一矩形截面木梁如图一矩形截面木梁如图5-14a 所示，已知所示，已知P=10kN，a=1.2m，木材的许用应力，木材的许用应力 =10MPa 。设梁横截面的高宽比为。设梁横截面的高宽比为h/b =2，试选梁的截面尺寸。试选梁的截面尺寸。mkN122 . 110max PaM：（：（1） 作弯矩图，求最大弯矩作弯矩图，求最大弯矩
17、作出梁的弯作出梁的弯矩图如图矩图如图5-14b所示，由图知最大弯矩为所示，由图知最大弯矩为mkN122 . 110max PaM（2）选择截面尺寸）选择截面尺寸 3366maxmaxcm1200m1012001010100012 zzzWMWWM即即得得由强度条件由强度条件 截面的抗弯截面模量截面的抗弯截面模量 120032326263322 bbbbbhWz最后选用最后选用12.5 25cm2的截面。的截面。cm4 .242 bhcm2 .122120033 b由此得由此得4.4 提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施 集中力远离简支梁的中点集中力远离简支梁的中点 一、降低最大弯矩数值一、
18、降低最大弯矩数值集中载荷分集中载荷分散化散化 一、降低最大弯矩数值一、降低最大弯矩数值合理安排合理安排梁的支座的位置梁的支座的位置 一、降低最大弯矩数值一、降低最大弯矩数值 等截面梁在弯曲时各截面的弯矩是不相等的，如果以最大弯矩来确定截面尺寸，则除弯矩最大的截面外，其余截面的应力均低于弯矩最大的截面，这时材料就没有得到充分利用，为了减轻自重，并充分发挥单位材料的抗弯能力，可使梁截面沿轴线变化，以使梁截面沿轴线变化，以达到各截面上的最大正应力都近似相等达到各截面上的最大正应力都近似相等，这种梁称为等强度梁等强度梁。但等强度梁形状复杂，不便于制造，所以工程实际中往往制成与等强度梁相近的变截面梁。如
19、一些建筑中的外伸梁，做成了由固定端向外伸端截面逐渐减小的形状，较好地体现了等强度梁的概念。而机械中的多数圆轴则制成了变截面的阶梯轴。 二、采用等强度梁二、采用等强度梁三、合理选择梁的截面（形状）三、合理选择梁的截面（形状） 合理选择梁的截面，用最小的截面面积得到大的合理选择梁的截面，用最小的截面面积得到大的抗弯截面模量。抗弯截面模量。 形状和面积相同的截面，采用不同的放置方式。形状和面积相同的截面，采用不同的放置方式。面积相等而形状不同的截面，其抗弯截面模量不相同面积相等而形状不同的截面，其抗弯截面模量不相同。面积相等时，工字钢和槽钢的抗弯截面模量最大，空心圆截面积相等时，工字钢和槽钢的抗弯截
20、面模量最大，空心圆截面次之，实心圆截面的抗弯截面模量最小，承载能力最差面次之，实心圆截面的抗弯截面模量最小，承载能力最差。 截面形状应与材料特性相适应。截面形状应与材料特性相适应。 对抗拉和抗压强度相等的对抗拉和抗压强度相等的塑性材料塑性材料，宜采用中性轴对称的截，宜采用中性轴对称的截面，如圆形、矩形、工字形等。对抗拉强度小于抗压强度的面，如圆形、矩形、工字形等。对抗拉强度小于抗压强度的脆性材料脆性材料，宜采用中性轴偏向受拉一侧的截面形状。，宜采用中性轴偏向受拉一侧的截面形状。三、合理选择梁的截面（形状）三、合理选择梁的截面（形状） 本章作业本章作业P65-664-3(b,e,f) 4-6 4-7
