1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 14 讲 导数与函数的单调性 考纲要求 考情分析 命题趋势 了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性 ， 会求函数的单调区间 (其中多项式函数一般不超过三次 ). 2017 全国卷 ， 9 2017 江苏卷 ， 11 2017 浙江卷 ， 7 2016 全国卷 ，21 导数与函数的单调性是高考中的热点问题 ， 题型有利用导数求函数的单调区间和已知单调性求参数的取值范围 ， 难度较大 . 分值： 5 8 分 函数的导数与单调性的关系 函数 y f(x)在某个区间内可导 ， 且导函数 f( x)在该区间的任意 子区间内都不恒等于0. (1)若
2、f( x)0， 则 f(x)在这个区间内 _单调递增 _. (2)若 f( x)0.( ) (2)如果函数在某个区间内恒有 f( x) 0， 则函数 f(x)在此区间内没有单调性 ( ) 解析 (1)错误可导函数 f(x)在区间 (a， b)上单调递增 ， 则 f( x)0 ， 故 f( x)0是 f(x)在区间 (a， b)上单调递增的充分不必要条件 (2)正确如果函数在某个区间内恒有 f( x) 0， 则 f(x)为常数函数如 f(x) 3，则 f( x) 0， 函数 f(x)不存在单调性 2 函数 y 12x2 ln x 的单调递减区间为 ( B ) A ( 1,1 B (0,1 C 1
3、， ) D (0， ) 解析 函数 y 12x2 ln x 的定义域为 (0， ) ， y x 1x ?x 1?x 1?x ， 令 y0 ，=【 ;精品教育资源文库 】 = 则可得 00)的单调递减区间是 (0,4)， 则 m _13_. 解析 f( x) 3mx2 6(m 1)x， f(x)的递减区间为 (0,4)， 则由 f( x) 3mx2 6(m 1)x0，f ?0? 0，f ?4? 0，得 m 13. 5 函数 f(x) sin x2 cos x的单调递增区间是 _? ?2k 23 ， 2k 23 (k Z)_. 解析 f( x) 2cos x 1?2 cos x?2， 由 f( x
4、)0 ， 得 cos x 12， x ? ?2k 23 ， 2k 23 (k Z) 一 求函数的单调区间 利用导数求函数的单调区间的两种方法的步骤 =【 ;精品教育资源文库 】 = 方法一： (1)确定函数 y f(x)的定义域； (2)求导数 y f( x)； (3)令 f( x)0， 解集在定义域内的部分为单调递增区间 ； (4)令 f( x)0， 得 x2 4x 50(x0)， 解得 x5； 由 f( x)0)， 解得 00(或 f( x)0 时 ， 由 f( x)0 时 ， f(x)在 ( 1,1)上不单调 ， f( x) 0 在 ( 1,1)内有解 x a3， 02， 则 f(x)2
5、x 4 的解集为 ( B ) A ( 1,1) B ( 1， ) C ( ， 1) D ( ， ) (2)已知函数 y f(x 1)的图象关于点 (1,0)对称 ， 且当 x ( ， 0)时 ， f(x)xf( x)bc B cba C cab D acb 解析 (1)令 g(x) f(x) 2x 4， 则 g( x) f( x) 2. f( x)2， f( x) 20， 即 g( x)0， g(x) f(x) 2x 4 在 R 上单调递增 又 f( 1) 2， g( 1) f( 1) 2 0， g(x)0?g(x)g( 1)?x 1， f(x)2x 4 的解集是 ( 1， ) 故选 B (2
6、) 函数 y f(x 1)的图象关于点 (1,0)对称 ， y f(x)的图象关于点 (0,0)对称 ， y f(x)为奇函数 =【 ;精品教育资源文库 】 = 令 g(x) xf(x)， 则 g(x) xf(x)为偶函数 ， 且 g( x) f(x) xf( x)ab.故选 C 1 函数 f(x)的定义域为 R， f(0) 2， 对任意的 x R， f(x) f( x)1， 则不等式ex f(x)ex 1 的解集是 ( A ) A x|x0 B x|x1 D x|x1， g( x) exf(x) f (x) 10， g(x)在 R 上是增函数 又 g(0) e0 f(0) e0 1 0， e
7、x f(x)ex 1?ex f(x) ex 10?g(x)0?g(x)g(0)?x0.故选 A 2 求下列函数的单调区间 (1)f(x) 3x2 2ln x； (2)f(x) x2 e x. 解析 (1)函数的定义域为 D (0， ) f( x) 6x 2x， 令 f( x) 0， 得 x1 33 ，x2 33 (舍去 )， 用 x1分割定义域 D， 得下表 . x ? ?0， 33 错误 ! ? ?33 ， f( x) 0 f(x) 单调递减 单调递增 函数 f(x)的单调递减区间为 ? ?0， 33 ， 单调递增区间为 ? ?33 ， . (2)函数的定义域为 D ( ， ) f( x)
8、(x2) e x x2(e x) 2xe x x2e x e x(2x x2)， 令 f( x) 0， 得 x1 0，x2 2， 用 x1， x2分割定义域 D， 得下表 . =【 ;精品教育资源文库 】 = x ( ， 0) 0 (0,2) 2 (2， ) f( x) 0 0 f(x) 单调递减 单调递增 单调递减 f(x)的单调递减区间为 ( ， 0)和 (2， ) ， 单调递增区间为 (0,2) 3 设函数 f(x) x3 ax2 9x 1(a0， 故 f(x)在 ( ， 1)上为增函数； 当 x ( 1,3)时 ， f( x)0， 故 f(x)在 (3， ) 上为增函数 综上 ， 函数
9、 f(x)的单调递增区间为 ( ， 1)和 (3， ) ， 单调递减区间为 ( 1,3) 4 已知函数 f(x) ln x， g(x) 12ax b. (1)若 f(x)与 g(x)在 x 1 处相切 ， 求 g(x)的表达式； (2)若 (x) m?x 1?x 1 f(x)在 1， ) 上是减函数 ， 求实数 m 的取值范围 解析 (1) f( x) 1x， f(1) 1 12a， 解得 a 2. 又 g(1) 12a b f(1) 0， b 1， g(x) x 1. =【 ;精品教育资源文库 】 = (2) (x) m?x 1?x 1 f(x) m?x 1?x 1 ln x 在 1， )
10、上是减函数 ， ( x) m?x 1? m?x 1?x 1?2 1x x2 ?2m 2?x 1x?x 1?2 0 在 1， ) 上恒成立 ， 即 x2 (2m 2)x 10 在 1， ) 上恒成立 ， 则 2m 2 x 1x在 1， ) 上恒成立 x 1x 2， ) ， 2m 22 ， 得 m2. 实数 m 的取值范围是 ( ， 2 易错点 导数与单调性的关系不明确 错因分析：不清楚可导函数 f(x)在某区间上 f( x)0(f( x)0， 所以函数 f(x)在 ( ， x1)上单调递减 ， 排除 C 项故选 D 3 已知函数 f(x) 12x3 ax 4， 则 “ a0” 是 “ f(x)在
11、 R 上单调递增 ” 的 ( A ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析 f( x) 32x2 a， 当 a0 时 ， f( x)0 恒成立 ， 故 “ a0” 是 “ f(x)在 R 上单调递增 ” 的充分不必要条件 4 函数 f(x)对定义域 R 上的任意 x 都有 f(2 x) f(x)， 且当 x1 时 ， 其导函数 f( x)=【 ;精品教育资源文库 】 = 满足 xf( x)f( x)， 若 1f( x)， 即 (x 1)f( x)0， 故当 x (1，) 时 ， 函数单调递增 ， x ( ， 1)时 ， 函数单调递减 12， f(log2a)0 的解集为 ( D ) A ( ， 2) (1， ) B ( ， 2) (1,2) C ( ， 1) ( 1,0) (2， ) D ( ， 1) ( 1,1) (3， ) 解析 由题图可知 ， 若 f( x)0， 则 x ( ， 1) (1， ) ， 若 f( x)0 等价于? f ?x?0，x2 2x 30 或 ? f ?x?0， 由 f( x) 0， 得 x 12， 令 f( x)0， 得 x12；令 f( x)0， 得 0x12. 由题意得? k 10 ，k 112k 1 ?1 k32.
