1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 50 讲 随机事件的概率 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性以及概率的意义以及频率与概率的区别 2了解两个互斥事件的概率加法公式 2017 山东卷， 16 2016 全国卷 ， 18 2016 天津卷， 2 随机事件的概率主要考查频率与概率的关系，结合概率的性质考查互斥事件和对立事件的概率 分值： 5 分 1事件的分类 确定 事件 必然事件 在条件 S 下，一定会发生的事件叫相对于条件 S 的必然事件 不可能 事件 在条件 S 下，一定不会发生的事件叫 相对于条件 S 的不可能事件 随机 事件 在条件 S 下， _可
2、能发生也可能不发生 _的事件叫做相对于条件 S 的随机事件 2事件的关系与运算 定义 符号表示 包含 关系 如果事件 A 发生，则事件 B 一定发生，这时称事件 B_包含 _事件 A(或称事件 A 包含于事件 B) _B?A_ (或 A?B) 相等关系 若 B?A 且 A?B _A B_ 并事件 (和事件 ) 若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生，称此事件为事件 A 与事件 B 的 _并事件 _(或和事件 ) A B (或 A B) 交事件 (积事件 ) 若某事件发 生当且仅当 _事件 A 发生 _且 _事件 B 发生 _，则称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件 (或积事件
3、) A B (或 AB) =【 ;精品教育资源文库 】 = 互斥 事件 若 A B 为不可能事件，则称事件 A 与事件 B 互斥 A B ? 对立 事件 若 A B为不可能事件， A B为必然事件，那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件 A B ?， P(A B) P(A) P(B) 1 3频率与概率 (1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A出现的次数 nA为事件 A 出现的频数，称事件 A 出现的比例 fn(A) _ nAn _为事件 A 出现的频率 (2)对于给定的随机事件 A，如果随着试验次数的增加，事件 A 发生的 _频率 fn
4、(A)_稳定在某个常数上，把这个 _常数 _记作 P(A)，称为事件 A 发生的概率，简称为 A 的概率 4概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围： _0 P(A)1_ . (2)必然事件的概率 P(E) _1_. (3)不可能事件的概率 P(F) _0_. (4)互斥事件概率的加法公式： 如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(A B) _P(A) P(B)_； 若事件 B 与事件 A 互为对 立事件，则 P(A) _1 P(B)_. 1思维辨析 (在括号内打 “” 或 “ ”) (1)事件发生的频率与概率是相同的 ( ) (2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值 ( ) (3)如果某种
5、彩票的中奖概率为 11 000，那么买 1 000 张这种彩票一定能中奖 ( ) (4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生 ( ) (5)两个事件对立时一定互斥，但两个事件互斥时这两个事件未必对立 ( ) 2一个人打靶时连续射击两次，事件 “ 至少有一次中靶 ” 的互斥事件是 ( D ) A至多有一次中靶 B两次都中靶 C只有一次中靶 D两次都不中靶 解析 事件 “ 至少有一次中靶 ” 包括 “ 中靶一次 ” 和 “ 中靶两次 ” 两种情况，由互斥事件的定义，可知 “ 两次都不中靶 ” 与之互斥 =【 ;精品教育资源文库 】 = 3我国古代数学名著数书九章中有 “ 米谷粒分 ” 题：粮仓开仓
6、收粮，有人送来米1 534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为( B ) A 134 石 B 169 石 C 338 石 D 1 365 石 解析 样品中米内夹谷的比为 28254，所以这批米内夹谷为 1 534 28254169( 石 ) 4从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于 160 cm 的概率为 0.2，该同学的身高在 160,175(单位： cm)内的概率为 0.5，那么该同学的身高超过 175 cm 的概率为 ( B ) A 0.2 B 0.3 C 0.7 D 0.8 解析 因为必然事件发生的概率是 1，所以该同学的身高超
7、过 175 cm 的概率为 1 0.2 0.5 0.3.故选 B. 5从一副不包括大小王的混合后的扑克牌 (52 张 )中，随机抽取 1 张，事件 A 为 “ 抽得红桃 K” ，事件 B 为 “ 抽得黑桃 ” ，则概率 P(A B) _ 726 _(结果用最简分数表示 ) 解析 P(A) 152， P(B) 1352，且 A 与 B 是互斥事件， P(A B) P(A) P(B) 152 1352 1452 726. 一 随机事件的关系 对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并 事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事
8、件包含哪些试验结果，从而判断所给事件的关系 【例 1】 一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字 1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷 1 次，设事件 A 表示 “ 向上的一面出现奇数点 ” ，事件 B 表示 “ 向上的一面出现的点数不大于 3” ，事件 C 表示 “ 向上的一面出现的点数不小于 4” ，则 ( D ) A A 与 B 是互斥而非对立事件 B A 与 B 是对立事件 C B 与 C 是互斥而非对立事件 =【 ;精品教育资源文库 】 = D B 与 C 是对立事件 解析 根据互斥与对立的定义作答， A B 出现点数 1 或 3，事件 A， B 不互斥更不对立； B C ?
9、， B C ( 为必然事件 )，故事件 B， C 是对立事件 二 随机事件的频率与概率 频率是个不确定的数，在一定程度上频率可以反映事件发生的可能性大小，但无法从根本上刻画事件发生的可能性大小但从大量重复试验中发现，随着试验次数的增多，事件发生的频率就会稳定于某一固定的值，该值就是概率 【例 2】 随机抽取一个年份，对西安市该年 4 月份的天气情况进行统计，结果如下 . 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 晴 日期 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
10、 29 30 天气 晴 阴 雨 阴 阴 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨 (1)在 4 月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率； (2)西安市某学校拟从 4 月份的一个晴天开始举行连续 2 天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率 解析 (1)在容量为 30 的样本中不下雨的天数是 26，以频率估计概率， 4 月份任选一天，西安市不下雨的概率为 P 2630 1315. (2)称相邻的两个日期为 “ 互邻日期对 ”( 如 1 日与 2 日、 2 日与 3 日等 )，这样，在 4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有 16 个，其中后一天不下雨的有 14 个，所以晴天的次日不下雨的频率为 7
11、8，以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为 78. 三 互斥事件、对立事件的概率 求复杂互斥事件概率的两种方法 (1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率加法公式计算 =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)间接法：先求此事件的对 立事件的概率，再用公式 P(A) 1 P( A )求解，即用正难则反的数学思想，特别是 “ 至多 ”“ 至少 ” 型问题，用间接法就显得较简便 【例 3】 经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下表所示 . 排队人数 0 1 2 3 4 5人及 5人以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.0
12、4 (1)求至多 2 人排队等候的概率； (2)求至少 3 人排队等候的概率 解析 记 “ 无人排队等候 ” 为事件 A， “1 人排队等候 ” 为事件 B， “2 人排队等候 ” 为事件 C， “3 人排队等候 ” 为事件 D， “4 人排队等候 ” 为事件 E， “5 人及 5 人以上排队等候 ” 为事件 F，则事件 A， B， C， D， E， F 彼此互斥 (1)记 “ 至多 2 人排队等候 ” 为事件 G，则 G A B C，所以 P(G) P(A B C) P(A) P(B) P(C) 0.1 0.16 0.3 0.56. (2)方法一 记 “ 至少 3 人排队等候 ” 为事件 H
13、，则 H D E F，故 P(H) P(D E F) P(D) P(E) P(F) 0.3 0.1 0.04 0.44. 方法二 记 “ 至少 3 人排队等候 ” 为事件 H，则其对立事件为事件 G，所以 P(H) 1P(G) 0.44. 1在一次随机试验中，彼此互斥的事件 A， B， C， D 的概率分别为 0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是 ( D ) A A B 与 D 是互斥事件，也是对立事件 B B C 与 D 是互斥事件，也是对立事件 C B D 与 A C 是互斥事件，但不是对立事件 D A 与 B C D 是互斥事件，也是对立事件 解析 由于事件 A， B， C
14、， D 彼此互斥，且 A B C D 是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的 Venn 图表示，由图可知，任何一个事件与其他 3 个事件的和事件必然为对立事件，任何两个事件的和事件与其余 两个事件的和事件也是对立事件 2对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹设 A 两次都击中飞机 ， B 两次都=【 ;精品教育资源文库 】 = 没击中飞机 ， C 恰有一次击中飞机 ， D 至少有一次击中飞机 ，其中彼此互斥的事件是 _A 与 B， A 与 C， B 与 C， B 与 D_，互为对立事件的是 _B 与 D_. 解析 设 I 为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为 A B ?， A C ?
15、， B C ?， B D ?，故 A 与 B， A 与 C， B 与 C， B 与 D 为彼此互斥事件，而 B D ?， B D I，故 B 与 D 互为对立事件 3某保险公司利用简单随机抽样方法， 对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下表所示 . 赔付金额/元 0 1 000 2 000 3 000 4 000 车辆数 /辆 500 130 100 150 120 (1)若每辆车的投保金额均为 2 800 元，估计赔付金额大于投保金额的概率； (2)在样本车辆中，车主是新司机的占 10%，在赔付金额为 4 000 元的样本车辆中，车主是新司机的占 20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为 4 000 元的概率 解析 (1)设 A表示事件 “ 赔付金额为 3 000元 ” ， B表示事件 “ 赔付金额为 4
