1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 51 讲 古典概型 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.理解古典概型及其概率计算公式 2会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率 2017 全国卷 ，11 2017 山东卷， 16 2017 天津卷， 3 古典概型主要考查实际背景的等可能事件，通常与互斥事件、对立事件等知识相结合进行考查 分值： 5 分 1基本事件的特点 (1)任何两个基本事件都是 _互斥 _的 (2)任何事件 (除不可能事件 )都可以表示成 _基本事件 _的和 2古典概型 具有以下两个特点的概率模型称 为古典概率模型，简称古典概型 (1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件 _只
2、有有限个 _； (2)等可能性：每个基本事件出现的可能性 _相等 _. 3古典概型的概率公式 P(A) A包含的基本事件的个数 基本事件的总数 . 1思维辨析 (在括号内打 “” 或 “ ”) (1)某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同 ( ) (2)从 3， 2， 1,0,1,2 中任取一数，取到的数小于 0 与不小于 0 的可能性相同 ( ) (3)分别从 3 名 男同学、 4 名女同学中各选一名作代表，那么每个同学当选的可能性相同 ( ) (4)利用古典概型的概率公式求 “ 在边长为 2 的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于
3、1” 的概率 ( ) (5)“ 从长为 1 的线段 AB 上任取一点 C，求满足 AC 13的概率是多少 ” 是古典概型 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 (1)错误摸到红球的概率为 12，摸到黑球的概率为 13，摸到白球的概率为 16. (2)正确取到小于 0 的数的概率为 12，取到不小于 0 的数的概率也为 12. (3)错误男同学当选的概率为 13，女同学当选的概率为 14. (4)错误由于正方形内点的个数具有无限性，与古典概型不符 (5)错误线段上的点及所取的点不具有古典概型所满足的有限性，所以 (5)错误 2从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为 ( C )
4、 A 15 B 13 C 23 D 1 解析 基本事件总数为 (甲、乙 )、 (甲、丙 )、 (乙、丙 )共 3 种，甲被选中共 2 种，则 P 23. 3从 1,2,3,4,5,6 六个数中任取 2 个数，则取出的两个数不是连续自然数的概率是( D ) A 35 B 25 C 13 D 23 解析 从六个数中任取 2 个数有 15 种取法，取出的两个数是连续自然数有 5 种情况，则取出的两个数不是连续自然数的概率 P 1 515 23. 4将甲、乙两球随机放入 编号为 1,2,3 的 3 个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在 1,2 号盒子中各有一个球的概率为 ( B ) A 19 B 2
5、9 C 127 D 227 解析 依题意得，甲、乙两球各有 3 种不同的放法，共 9 种放法，其中 1,2 号盒子中各有一个球的放法有 2 种，故 1,2 号盒子中各有一个球的概率为 29. 5 (2018 湖南五市十校联考 )齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中 等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马， 田忌的下等马劣于齐王的下等马现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为=【 ;精品教育资源文库 】 = ( A ) A 13 B 49 C 59 D 23 解析 设齐王的三匹马按上等、中等、下等分别记为 a1， a2， a3，田忌的三匹
6、马按上等、中等、下等分别记为 b1， b2， b3.齐王与田忌赛马，其情况有 (a1， b1)， (a1， b2)， (a1， b3)，(a2， b1)， (a2， b2)， (a2， b3)， (a3， b1)， (a3， b2)， (a3， b3)，共 9 种；其中田忌的马获胜的有 (a2， b1)， (a3， b1)， (a3， b2)，共 3 种，则田忌获胜的概率为 39 13.故选 A 一 简单的古典概型问题 求古典概型概率的基本步骤 (1)算出所有基本事件的个数 n. (2)算出事件 A 包含的所有基本事件的个数 m. (3)代入公式 P(A) mn，求出 P(A) 【例 1】 现
7、有 6 道题，其中 4 道甲类题， 2 道乙类 题，张同学从中任取 2 道题解答试求： (1)所取的 2 道题都是甲类题的概率； (2)所取的 2 道题不是同一类题的概率 解析 (1)将 4 道甲类题依次编号为 1,2,3,4； 2 道乙类题依次编号为 5,6.任取 2 道题，基本事件为 1,2， 1,3， 1,4， 1,5， 1,6， 2,3， 2,4， 2,5， 2,6， 3,4，3,5， 3,6， 4,5， 4,6， 5,6，共 15 个，而且这些基本事件的出现是等可能的 用 A 表示 “ 都是甲类题 ” 这一事件，则 A 包含的基本事件有 1,2， 1,3， 1,4， 2,3，2,4，
8、 3,4，共 6 个， 所以 P(A) 615 25. (2)基本事件同 (1)用 B表示 “ 不是同一类题 ” 这一事件，则 B包含的基本事件有 1,5，1,6， 2,5， 2,6， 3,5， 3,6， 4,5， 4,6，共 8 个，所以 P(B) 815. 二 复杂的古典概型问题 =【 ;精品教育资源文库 】 = 复杂事件的概率问题的求法 (1)将所求事件转化成彼此互斥的事件的和事件，再利用互斥事件的概率加法公式求解 (2)先求其对 立事件的概率，再利用对立事件的概率公式求解 【例 2】 一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字 1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同随机有放回地抽取
9、3 次，每次抽取 1 张，将抽取的卡片上的数字依次记为 a，b， c. (1)求 “ 抽取的卡片上的数字满足 a b c” 的概率； (2)求 “ 抽取的卡片上的数字 a， b， c 不完全相同 ” 的概率 解析 (1)由题意， (a， b， c)所有的可能为 (1,1,1)， (1,1,2)， (1,1,3)， (1,2,1)， (1,2,2)，(1,2,3)， (1,3,1)， (1,3,2)， (1,3,3)， (2,1,1)， (2,1,2)， (2,1,3)， (2,2,1)， (2,2,2)，(2,2,3)， (2,3,1)， (2,3,2)， (2,3,3)， (3,1,1)，
10、(3,1,2)， (3,1,3)， (3,2,1)， (3,2,2)，(3,2,3)， (3,3,1)， (3,3,2)， (3,3,3)，共 27 种 设 “ 抽取的卡片上的数字满足 a b c” 为事件 A，则事件 A 包括 (1,1,2)， (1,2,3)，(2,1,3)，共 3 种所以 P(A) 327 19. 因此 “ 抽取的卡片 上的数字满足 a b c” 的概率为 19. (2)设 “ 抽取的卡片上的数字 a， b， c 不完全相同 ” 为事件 B，则事件 B 包括 (1,1,1)，(2,2,2)， (3,3,3)，共 3 种 所以 P(B) 1 P( B ) 1 327 89.
11、 因此 “ 抽取的卡片上的数字 a， b， c 不完全相同 ” 的概率为 89. 三 古典概型的知识交汇问题 古典概型可以出现在很多问题背景下，关键是理解题目的实际含义，找出基本事 件的总数及目标事件的数目 【例 3】 已知向量 a (x， 1)， b (3， y)，其中 x 随机选自集合 1,1,3， y 随机选自集合 1,3,9 (1)求 ab 的概率； (2)求 ab 的概率 解析 由题意，得 (x， y)所有的基本事件为 ( 1,1)， ( 1,3)， ( 1,9)， (1,1)， (1,3)，(1,9)， (3,1)， (3,3)， (3,9)，共 9 个 (1)设 “ ab ” 为
12、事件 A，则 xy 3.事件 A包含的基本事件有 ( 1,3)，共 1个故 ab=【 ;精品教育资源文库 】 = 的概率为 P(A) 19. (2)设 “ ab ” 为事件 B，则 y 3x.事件 B 包含的基本事件有 (1,3)， (3,9)，共 2 个故ab 的概率为 P(B) 29. 1下列试验中，是古典概型的个数为 ( B ) 向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率； 向正方形 ABCD 内，任意抛掷一点 P，点 P 恰与点 C 重合； 从 1,2,3,4 四个数中，任取两个数，求所取两数之一是 2 的概率； 在线段 0,5上任取一点，求此点小于 2 的概率 A 0 B 1 C
13、 2 D 3 解析 中，硬币质地不均匀，不是等可能事件， 所以不是古典概型 的基本事件都不是有限个，不是古典概型 符合古典概型的特点，是古典概型问题 2 (2017 山东卷 )某旅游爱好者计划从 3 个亚洲国家 A1， A2， A3和 3 个欧洲国家 B1，B2， B3中选择 2 个国家去旅游 (1)若从这 6 个国家中任选 2 个，求这 2 个国家都是亚洲国家的概率； (2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个，求这 2 个国家包括 A1，但不包括 B1的概率 解析 (1)由题意知，从 6 个国家中任选 2 个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有 A1， A2， A1， A3， A2，
14、A3， A1， B1， A1， B2， A1， B3， A2， B1， A2， B2， A2，B3， A3， B1， A3， B2， A3， B3， B1， B2， B1， B3， B2， B3，共 15 个 所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有 A1， A2， A1， A3， A2， A3，共 3 个，则所求事件的概率为 P 315 15. (2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个，其一切可能的结果组成的基本事件有 A1， B1，A1， B2， A1， B3， A2， B1， A2， B2， A2， B3， A3， B1， A3， B2， A3， B3，共 9 个 包含 A1但
15、不包含 B1的事件所包含的基本事件有 A1， B2， A1， B3，共 2 个，则所求事件的概率为 P 29. 3如图所示茎叶图记录了甲、乙两学习小组各 4 名同学在某次考试中的数学成绩，乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中用 m(m N)表示 . =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率； (2)当 m 3 时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，求这两名同学 的数学成绩之差的绝对值超过 2 分的概率 解析 (1)当甲、乙两个小组的数学平均成绩相等时，由 14(87 89 91 93) 1485 90 91 (90 m)，得 m 4，设 “ 乙组平均成绩超过甲组平均成绩 ” 为事件 A， m 的取值有 0,1,2， ? ， 9，共有 10 种可能当 m 4 时，甲、乙两个小组的数学平均成绩相同， 当 m 5,6,7,8,9 时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有 5 种可能， 乙组平均成绩超过
