1、结构动力学（2010）结构动力学 第六章多自由度体系的运动方程第六章 多自由度体系的运动方程 以前各章讨论的对象均为单自由度体系，它的运动仅需一个运动方程来描述，求解这个运动方程，就可以得到单自由度体系的位移、速度和加速度以及能量等。工程中所涉及的结构一般都是多自由度的，例如二层以上的框架结构、多跨及大跨梁结构、平面网架结构等等。第六章 多自由度体系的运动方程 虽然在一些简单的估算中可以采用广义坐标法将一个多自由度体系化为单自由度问题求得近似解，例如多层结构抗震设计时采用的简化分析方法基底剪力法。对于一个烟囱，也可以采用如下形函数， 化为一个单自由度问题进行初步分析，其中H为烟囱的高度，z为位
2、置坐标，而q(t)为广义坐标。如果形函数取得较好，而外荷载又按某一形式分布，则用等效单自由度方法也可以得到相当好的近似解。但对于复杂的结构体系或作用的外荷载变化复杂时，用等效的单自由度方法得到的解可能会导致相当大的误差。这时就必须直接采用多自由度体系分析方法解决问题，即必须采用更多自由度来描述体系的运动状态。zHz2cos1)()()()(tqztu第六章 多自由度体系的运动方程 建立单自由度体系运动方程的方法均可以用来建立多自由度体系的运动方程，例如：牛顿第二定律；直接平衡法(d Alember)；虚位移原理；Hamilton方程；运动的Lagrange方程，都可用于多自由度体系。但基于矩阵
3、位移法的直接平衡方程和基于变分原理的Lagrange方法应用更广泛一些。前者对于多自由度体系直接应用动平衡的概念以矩阵的形式建立体系的运动方程，概念直观，易于通过各个结构单元矩阵(刚度矩阵、质量矩阵、阻尼矩阵)建立整个结构体系的相应矩阵，进而建立体系的运动方程，便于计算机编程，在结构动力分析的有限元程序中基本上都基于直接平衡法。而对于一些特殊的问题，例如，大变形（位移）问题，采用Lagrange方法可能更有效。本章将主要介绍这两种方法。 直接平衡法 在这一节中将主要介绍建立多自由度体系运动方程的直接平衡法的基本概念和实施技术，可能不加证明地给出一些构件单元，例如梁单元的刚度阵和质量阵的表达式。
4、我们可以直接应用这些矩阵完成远动方程的建立和分析计算，最主要的是知道这些矩阵中每一个元素的物理意义。目的是在建立多自由度体系运动方程后，可以快速地进入对多自由度体系动力反应特点和分析方法的了解和总的把握。与前面刚讲完的单自由度体系运动问题分析方法有一个较好的衔接，而不是花太多的时间讲有关单元矩阵的建立。而单元刚度阵、质量阵和阻尼阵的建立将在后面有限元法和具有分布参数系统分析方法中逐步得到学习。6.1 直接平衡法首先复习一下结构力学中的刚度阵法（矩阵位移法） 如果为N层结构，自由度为N，每一楼层有集中质量mi，外荷载pi，层间刚度ki，各层的水平运动为ui，i=1, , N。这个层间模型也可以转
5、化成质点弹簧模型。 6.1 直接平衡法应用dAlember原理 fIi惯性力；fDi阻尼力；fsi弹性恢复力；pi外力。 共有N个方程，上式也可以写成矩阵形式。 Nitpfffii siDi I, 2, 1, )( )(tpfffsDI INIIIffff21)()()()(21tptptptpN6.1 直接平衡法弹性恢复力fsi可以用结构的层间(单元)刚度来表示，其一般表达式为： 系数kij称为刚度影响系数，简称刚度系数，物理意义是： kij由第j自由度的单位位移所引起的第i自由度的力 即j自由度给定一个单位位移，而其余自由度都不动时，所需要的力（反力）。 NiNiii sukukukf22
6、116.1 直接平衡法弹性恢复力 对体系的弹性恢复力的全体可以写成矩阵的形式，fs称为弹性恢复力向量，k称为刚度矩阵，u称为位移向量。 NiNiii sukukukf2211 uKuuukkkkkkkkkffffNNNNNNNsNsss21212222111211216.1 直接平衡法对于三层结构，刚度矩阵为： 33332222100kkkkkkkkkK6.1 直接平衡法对于惯性力也可以用矩阵的形式表达： 其中fI称为惯性力向量，M称为质量矩阵，为加速度向量。质量矩阵中的系数mij为质量影响系数，简称质量系数或质量，它的含义是： mij由j自由度的单位加速度引起的相应于i自由度的力 即给定j自
7、由度一个单位加速度，产生了惯性力，其余自由度加速度为零时，所需要的力。 uMuuummmmmmmmmffffNNNNNNIIII 2121222211312113216.1 直接平衡法对于三层结构，忽略柱的质量，体系的质量矩阵为：321000000mmmM6.1 直接平衡法如果柱的质量不能忽略，则M的非对角线元素将不恒为零。柱引起的质量系数的物理含义可见下图，其中 为柱的质量线密度。 m6.1 直接平衡法若采用粘性阻尼假设，采用与弹性恢复力相似的方法也可以建立如下阻尼力向量的计算公式： 其中fD称为阻尼力向量，C称为阻尼矩阵，为速度向量。系数cij称为阻尼影响系数，简称阻尼系数，其物理意义：
8、cij由j自由度的单位速度引起的相应于i自由度的力 结构阻尼矩阵的计算很难，一般都给予一定的假设，例如与刚度成正比等。 uCuuucccccccccffffNNNNNNNDNDDD21212222111211216.1 直接平衡法外荷载向量可写成 ： 其中pi(t)为作用于第i自由度的外荷载。 )()()()(21tptptptpN6.1 直接平衡法根据式：结构体系的运动方程可以用矩阵的形式表示为：M质量矩阵；C阻尼矩阵；K刚度矩阵；p(t)外荷载向量。 )(tpuKuCuM )(tpfffsDI uKfs uMfI uCfD6.1 直接平衡法如果进一步考虑轴力的影响，例如由结构自重的存在引起
9、的附加（弯矩）二阶力，这些附加荷载也可以用矩阵形式表达 其kG称为几何刚度矩阵，其中的任一个元素kGij的物理意义如下： kGij 由第j个自由度单位位移和结构中轴力 共同引起的i自由度的附加力 uKuuukkkkkkkkkfGNGNNGNGNNGGGNGGGG212122221122116.1 直接平衡法下面用一个简单的例子说明几何刚度的求法。 kGjj和kGij可根据力的平衡条件确定，分别对柱的i点和j点取矩，可以得到同理可以得到：则柱单元的几何刚度为：由单元的几何刚度可以组装成结构体系的总体几何刚度阵。 hNkGjj/hNkGij/hNkGii/hNkGji/hNhNhNhNKeG6.1
10、 直接平衡法当考虑轴力影响(P -效应)时，运动方程可写为：上式也常表示成如下形式：以上给出了一般情况下多自由度结构体系的运动方程组的矩阵表达形式，建立这一矩阵方程的关键是建立体系的质量、阻尼和刚度矩阵。 )(tpuKuKuCuMG )(tpuKuCuM GKKK6.1 直接平衡法体系的总体刚度和质量矩阵可分别由单元的刚度阵和质量阵总装得到，下面不加推导地给出与横向线位移和转角自由度相应的梁单元的刚度和质量矩阵。下图给出了梁单元及其自由度，即梁端横向位移和转角。梁端位移向量定义如下，其中，l为梁长、EI为梁截面的抗弯刚度、 为梁的质量线密度； 下标e代表单元。 jijieuuu,m6.1 直接
11、平衡法梁单元的刚度矩阵：集中质量矩阵：Lumped-mass一致质量矩阵：Consistent-mass 22223233233336633662lllllllllllllEIKe00000000001000012lmMLe2222432213341322221315654132254156420lllllllllllllmMCe静力凝聚法当采用集中质量阵，而结构体系的自由度又存在转角时，转动自由度的惯性力为0，此时可以采用静力凝聚法，消去无质量的自由度。若平动和转动自由度分别用下标t和区分，则采用集中质量方法时，存在转角自由度体系的运动方程可写为如下形式，由第二个方程组可解得：代入第一个方程
12、组得：新的运动方程仅包括平动自由度而无转动自由度。0)(000tpuuKKKKuuMttttttttt ttuKKu1 )(tpuKuMtttttt tttttKKKKK1同理可得时，当，设0)(0)(tptp静力凝聚法静力凝聚法和动力自由度的定义相互呼应。当体系的某一自由度无质量时，与其相应的惯性力为0，根据动力自由度的定义，这些自由度不属于动力自由度，在体系动力分析中可以不考虑（不出现），而静力凝聚法正式将此目标实现，使得体系的运动方程仅存在动力自由度项。6.2 Lagrange运动方程 我们在第二章中介绍了Lagrange运动方程，但没有实际应用。用Lagrange运动方程来建立结构体系
13、的运动控制方程对那些不易直接用动平衡方法建立运动方程的问题有时是特别有效的，特别是当结构动力分析时采用了不易直观判断的广义坐标时更是如此。例如，用幂级数展开烟囱或等效高层结构的横向位移 式中qi(t)（i=2, N+1）为广义坐标，直接采用动平衡分析方法很难建立关于广义坐标qi(t)的运动方程，这时可以采用Lagrange运动方程。1122)()(),(NNxtqxtqtxu6.2 Lagrange运动方程 下面简要回顾一下Lagrange运动方程。Lagrange运动方程可由Hamilton原理推出，Hamilton原理： 式中:T 体系的总动能；V 体系的位能，包括应变能及任何保守外力的势
14、能；Wnc 作用在体系上的非保守力（包括阻尼力及任意外荷载）所做的功； 指在指定时间段t1，t2内所取的变分。 0)(2121dtWdtVTttttnc6.2 Lagrange运动方程 一般情况下，体系的动能、势能及非保守力功的变分可表示如下形式: q1, q2, , qN为广义坐标，Q1 , Q2, , QN非保守力，例如外力、阻尼力等。将T、V、Wnc代入Hamilton原理，对动能项采用分部积分，再利用变分任意性，可得到Lagrange运动方程。 0)(2121dtWdtVTttttncNNncNNNqQqQqQWqqqVVqqqqqqTT2211212121),(),(NiQqVqTq
15、Tdtdiiii, 2, 1,)(6.2 Lagrange运动方程 只要能用广义坐标给出体系总动能T和位能V的表达式，以及确定相应于每一广义坐标的非保守力Qi，就可以直接由Lagrange运动方程建立结构体系的运动控制方程。下面通过算例来介绍如何应用Lagrange方程，从算例中可以看到，用Lagrange运动方程建立的运动方程不限于线性。NiQqVqTqTdtdiiii, 2, 1,)(6.2 Lagrange运动方程 算例6.1 如图所示一复合摆，摆的杆长分别为l1和l2，摆的质量分别为m1和m2，忽略杆的分布质量，采用Lagrange方程建立体系无阻尼自由运动方程。广义坐标q1和q2取为
16、杆1和杆2的转角。为方便计算体系的动能，也给出了直角坐标系，在直角坐标系中更容易建立体系的势能和动能公式。 6.2 Lagrange运动方程 直角坐标x、y 算例6.1和广义坐标q1、q2的关系及其速度之间的关系如下， 22211122211222211122211211111111111111sinsin,coscoscoscos,sinsinsin,coscos,sinqqlqqlyqlqlyqqlqqlxqlqlxqqlyqlyqqlxqlx6.2 Lagrange运动方程算例6.1 体系的动能T：设q1=q2= 0时是0势能位置，则势能（位能）V： 222111222112222111
17、22211211111111111111sinsin,coscoscoscos,sinsinsin,coscos,sinqqlqqlyqlqlyqqlqqlxqlqlxqqlyqlyqqlxqlx)(21)(212222221211yxmyxmT)cos(2212112212122222121221211qqqqllqlqlmqlmT)cos1 ()cos1 ()()()(22211212212111qglmqglmmyllgmylgmV6.2 Lagrange运动方程 算例6.1取Lagrange方程中的i=1, 2，得到， 假设非保守力，即阻尼力和外力都为零，则Q1=Q2=0，将T和V代入
18、Lagrange方程得复合摆的运动方程： 可以发现以上运动方程公式是高度非线性的。)cos(2212112212122222121221211qqqql lqlqlmqlmT)cos1 ()cos1 ()(2221121qglmqglmmV22221111)()(QqVqTqTdtdQqVqTqTdtd0sin)sin()cos(0sin)()sin()cos()(222122121212121222221121122221212221212121qglmqqql lmqqql lmqlmqglmmqqql lmqqql lmqlmm 6.2 Lagrange运动方程 算例6.1复合摆的运动方
19、程： 当微幅振荡时，q1、q2很小，忽略高阶小量，运动方程可以化为：这是一线性方程组，可见只有当微幅摆动时，复合摆的运动方程才成为线性的。当m2=0时: 自振频率：0sin)sin()cos(0sin)()sin()cos()(222122121212121222221121122221212221212121qglmqqql lmqqql lmqlmqglmmqqql lmqqql lmqlmm 00)()(222222212121121221212121qglmqlmql lmqglmmql lmqlmm 0)/(111qlgq 1/lgn6.2 Lagrange运动方程 算例6.2 如图
20、所示，一无质量的悬臂梁的一端连接一刚性块体，刚块的总质量为m，上面作用均匀分布的外力 p0f(t), 取刚块两端的位移q1、q2为广义坐标，建立体系的运动方程。 6.2 Lagrange运动方程 算例6.2体系的动能T：位能V：外力（非保守力）的虚功：由此可得非保守力： )(6)(12(21)2(212221212212221qqqqmlqqmlqqmT)2(21)(21)(2122222112211122221211212111qKqqKqKqqkqkqqkqkV)(2)()(21)(2121qqtlfplqqtf pWnc)(221tfl pQQ6.2 Lagrange运动方程 算例6.2
21、)(6)(12(21)2(212221212212221qqqqmlqqmlqqmT)2(21)(21)(2122222112211122221211212111qKqqKqKqqkqkqqkqkV)(221tfl pQQ)(2)2(6)(2)2(62221122121211121tfl pqkqkqqmtfl pqkqkqqm 22221111)()(QqVqTqTdtdQqVqTqTdtd6.2 Lagrange运动方程 算例6.3 如图所示二自由度的串联弹簧质点体系，用Lagrange法建立体系的运动方程。体系的动能： 位能： 非保守力： 2222112121umumT222221121
22、)(21ukuukV)(, )(2211tpQtpQ6.2 Lagrange运动方程 算例6.3 参照Lagrange方程， 令：q1=u1，q2=u2 (1)：i=1(2)：i=22222112121umumT222221121)(21ukuukV)(, )(2211tpQtpQiiiiQqVqTqTdtd)()(, 0,)(21111111uukuVuTumuTdtd 221112221122222)() 1)(, 0,)(ukkukukuukuVuTumuTdtd )()(22211122tpukkukum )(1211111tpukukum 算例6.3 体系的总体运动方程为：如果m2=
23、0，由式（b）解得：代入式（a）得：如果p1(t)=0，则：如果p1(t)=p2(t)=0，则：)()()(22211122btpukkukum )()(1211111atpukukum )(122112112tpkkukkku)()(221111212111tpkkktpukkkkum )(22111212111tpkkkukkkkum 01212111ukkkkum 算例6.3 分析算例6.3可以获得以下启发，用Lagrange方程得到的方程与第一次作业结果是一样的。动力自由度的概念、用处及与静力自由度的区别。静力凝聚的概念，是应用静力凝聚法的具体实现。在结构动力分析中，外荷载可以作用在结
24、构的任何位置，而不必须作用在动力自由度之上。当外荷载不直接作用在动力自由度之上时，荷载的影响将通过结构的弹性传递，影响到动力自由度的运动方程。在获得了动力自由度的运动后，结构静力自由度的运动可由动力自由度的结果求得，计算中，还要考虑直接施加到静力自由度之上外荷载的影响。6.3 普遍运动方程的推导下面以弯曲长梁为例，简要说明用有限个广义坐标（即有限个自由度）来近似无限自由度体系，并建立其运动方程。弯曲梁模型如图所示，材料的弹性模量E(x)，截面惯性矩I(x)，质量线密度m(x)，分布外荷载p(x, t)。 6.3 普遍运动方程的推导采用有限个广义坐标，近似梁的变形（位移）其中qi（i=1, 2,
25、 N）为广义坐标，i(x)（i=1, 2, N）是形函数，满足边界条件。结构的动能：(忽略转动惯量) 弯曲应变能： NiiiNNxqxqxtqxtqtxu)()()()()()(),(2211jNiNjiijqqmdxtuxmT11221)()(21dxxxxmmjiij)()()(jNiNjiijqqkdxtxuxEIV 11221),()(21dxxxxEIkjiij)()()( 6.3 普遍运动方程的推导为得到非保守力Q1，Q2 QN，可以通过讨论非保守力的虚功Wnc来确定。非保守力的虚功有非保守内力（材料阻尼）虚功和外力虚功，下面分别讨论。非保守内力的虚功是由于材料的粘性引起的，下面分
26、析一下其表达式。当考虑材料的阻尼时，材料的应力应变关系为其中，(t) 应力，(t) 应变，E弹性模量，cs粘性阻尼系数。根据应力应变关系，可以得到内力位移关系，对梁是弯矩曲率关系， )()()(tctEts),()(),()(),(txuxIctxuxEItxMs 6.3 普遍运动方程的推导第一项是保守力，将产生弯曲应变能，在前面已计算，后一项是由材料粘性引起的非保守力，它在任一个曲率变分（即位移变分引起的曲率）上做的虚功为而外力的虚功为：则非保守内力为： iNiNjjijsncqqcdxtxutxuxIcW 11,)(),(),()(内dxxxxIccjisij)()()( Niiincqp
27、udxxpW1,)(外dxxtxppii)(),(jNjijiiqcpQ16.3 普遍运动方程的推导将T、V、Qi代入Lagrange方程，得到体系的运动方程， 运动方程也可以写成矩阵的形式: 其中， NipqkqcqmiNjjijNjjijjNjij, 2, 1,111 pqKqCqM TNqqqq,21 TNpppp,21NNNNNNmmmmmmmmmM212222111211 NNNNNNcccccccccC212222111211 NNNNNNkkkkkkkkkK2122221112116.3 普遍运动方程的推导质量阵、阻尼阵和刚度阵中的元素已由前面的公式算出，各矩阵中的元素满足：mi
28、j =mji，cij = cji，kij = kji，矩阵是对称的。如果广义坐标是离散节点的位移，即qi=ui，则用Lagrange法给出的方程与前面用直接平衡法给出的矩阵运动方程完全一样。以上推导中很多内容是重复的，新的最重要的部分是关于质量阵、阻尼阵和刚度阵(中各元素)的计算公式。当我们以后讲到有限元方法时，可以发现，它们的计算公式基本相同，即运动方程中当结构几何尺寸和材料性质给定时，不同矩阵的确定仅与形函数i(x)有关，一旦选定了形函数，则结构体系的质量、刚度和阻尼元素就可以获得。等效的外荷载pi(t)也根据形函数定。6.4 多自由度体系问题的自由度缩减 （1）运动约束法 运动约束法是结
29、构动力分析中最常用的处理方法，例如对于框架结构，由于楼板板内刚度的影响，使结构楼层板内的相对变形远小于板外变形，这时往往采用刚性楼板假设，认为楼层在板内的变形为0，楼板在板内只发生刚体运动，每层楼板的板内自由度自由三个（两个平动加一转动）。这是典型的运动约束法。另外的一些运动约束法也常常采用，例如，主重结点法等。 6.4 多自由度体系问题的自由度缩减 （2）静力凝聚法在第二章中介绍了动力自由度的概念，它与结构体系中的质量有关，即动力自由度是确定结构体系质量位置所需的独立参数的个数，这与静力问题的自由度在概念上有所不同。当我们建立结构体系的刚度矩阵时，又常常习惯于直接利用静力问题处理的方法来离散模型和确定自由度，特别是采用有限元方法时更是如此。在很多情况下，静力自由度数目大于动力自由度,例如，在框架结构模型中，与节点平动质量相比，转动质量是相对小量，常常忽略与转角相关的转动质量。这时对于一个三维的框架结构，静力自由度（每个节点有三个平动和三个转动）是动力自由度（每节点三个平动自由度）的两倍。在进行动力分析之前，可以采用静力凝聚将与转角有关的自由度消去，这将有效缩减结构体系的自由度数目，提高计算效率和降低计算量。 6.4 多自由度体系问题的自由度缩减 （3）混合方法 同时使用运动约束法和静力凝聚法。实际问题处理中往往采用混合方法以进一步缩减体系自由度。
