1、计数的基本原理排列组合排列数Anm公式组合数Cnm公式组合数的两个性质应用本章知识结构分类计数原理分类计数原理 完成完成一件事一件事,有有n类办法类办法,在第在第1类办法中类办法中,有有m1种不同的方法种不同的方法,在第在第2类办类办法中法中,有有m2种不同的方法种不同的方法在第在第n类办法类办法中中,有有mn种不同的方法种不同的方法,则完成这件事有则完成这件事有N=m1+m2+ +mn种不同的方法种不同的方法分步计数原理分步计数原理 完成完成一件事一件事,需要分成需要分成n个步骤个步骤,在第在第1步中步中,有有m1种不同的方法种不同的方法,在第在第2步中步中,有有m2种不同的方法种不同的方法
2、在第在第n步中步中,有有mn种种不同的方法不同的方法,则完成这件事有则完成这件事有N=m1m2 mn种不同的方法种不同的方法分类计数原理分类计数原理与与分步计数原理分步计数原理之间的区别与联系之间的区别与联系 1分类计数原理分类计数原理中各类方法之间是互相独立的，中各类方法之间是互相独立的，每一类每一种方法都能直接完成这件事情，每一类每一种方法都能直接完成这件事情，分步分步计数原理计数原理中，各个步骤之间是相互联系的，依次中，各个步骤之间是相互联系的，依次完成所有步骤才能完成这件事情完成所有步骤才能完成这件事情2分类计数原理分类计数原理的重点在一个的重点在一个“类类”字字，分步分步计数原理计数
3、原理的重点在一个的重点在一个“步步”字字，应用加法原理应用加法原理时，要注意时，要注意“类类”与与“类类”之间的独立性和并列之间的独立性和并列性，在各类办法中彼此是独立的，并列的性，在各类办法中彼此是独立的，并列的应用应用分步计数分步计数原理时，要注意原理时，要注意“步步”与与“步步”之间的之间的连续性，做一件事需分成若干个步骤，每个步骤连续性，做一件事需分成若干个步骤，每个步骤相继完成，最后才算做完整个工作相继完成，最后才算做完整个工作)!(!) 1() 2)(1(mnnmnnnnAmn 从从n个不同的元素中，任取个不同的元素中，任取A个元素，个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从按照一定的
4、顺序排成一列，叫做从n个个不同的元素中取出不同的元素中取出A个元素的一个个元素的一个 排排列列 。 排列与排列数排列与排列数所有排列的个数叫做所有排列的个数叫做 排列数排列数 ，用，用表示。表示。 mnA组组 合合 两个组合的元素完全相同为相同组合注注n个不同元素mn组合与元素的顺序无关排列与元素的顺序有关 从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)m(mn)个元素的所有组个元素的所有组合的合的个数个数, ,叫做从叫做从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m个元素的个元素的组组合数合数表示方法表示方法C Cmmn n从n个不同元素中取出m(mn)个元素并成一组,叫做从n个不同元
5、素中取出m个元素的一个组合一个组合组合数的两个性质性质1)( ,nmCCmnnmn)( ,11nmCCCmnmnmn性质2C Cn nm m= =A An nm mA Am mm m= =n(n-1)(n-2) n(n-1)(n-2) (n-m+1)(n-m+1)m m例2 计算计算: C10 7(2)C7 4(1)C例3 求证求证 mCnCn m+1=m+1n-m例例1： 书架上放有书架上放有3本不同的数学书，本不同的数学书，5本不本不同的语文书，同的语文书，6本不同的英语书本不同的英语书 （1）若从这些书中任取一本，有多少种不）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？同的取法？ （2）若
6、从这些书中，取数学书、语文书、）若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？英语书各一本，有多少种不同的取法？（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法？有多少种不同的取法？ 答案：答案：Nm1m2m335614N=m1m2m3=90N=353656=63变式变式1： 由数字由数字0，1，2，3，4可以组成多少个三可以组成多少个三位整数（各位上的数字允许重复）？位整数（各位上的数字允许重复）？解：解：要组成一个三位数，需要分成三个步骤：要组成一个三位数，需要分成三个步骤：第一步第一步确定百位上的数字，从确定百位上的数字，
7、从14这这4个数字中任个数字中任选一个数字，有选一个数字，有4种选法；种选法；第二步第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，确定十位上的数字，由于数字允许重复，共有共有5种选法；种选法；第三步第三步确定个位上的数字，仍有确定个位上的数字，仍有5种选法根据乘种选法根据乘法原理，得到可以组成的三位整数的个数是法原理，得到可以组成的三位整数的个数是 N=455=100 答：可以组成答：可以组成100个三位整数个三位整数 1） 由数字由数字1，2，3，4，5 组成没有重复数字的组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有五位数，其中偶数共有 个。个。2） 用用 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的组
8、成没有重复数字的三位数，共有三位数，共有 个。个。 3）五名同学排成一排，其中的甲乙两同学必五名同学排成一排，其中的甲乙两同学必须站在两端须站在两端 ，共有，共有 种不同排法。种不同排法。4810012例例2典型例题典型例题变式变式2 从从1到到6这六个数字中任取这六个数字中任取5个数字组成没有重个数字组成没有重复复数字的五位数数字的五位数,且个位和百位必须是奇数且个位和百位必须是奇数,这样的五位数这样的五位数共有多少个共有多少个?万万 千千百百十十个个34A23A万万 千千百百十十个个45A13A万万 千千百百十十个个34A13A13A解法一解法一:N=34A23A=144个个解法二解法二:
9、34A45A13A13A13AN=-=144个个有条件的排列问题有条件的排列问题 例例3 3 七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。a)若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法？解：将三个女孩看作一人与四个男孩排队，有 种排法，而三个女孩之间有 种排法，所以不同的排法共有： （种）。7203355 AA55A33A捆 绑 法捆 绑 法有条件的排列问题有条件的排列问题 七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。b)若三个女孩要站在一起，四个男孩也 要站在一起，有多少种不同的排法？不同的排法有：2884
10、43322AAA（种）说一说说一说捆绑法一般适用于 问题的处理。相邻相邻有条件的排列问题有条件的排列问题 七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。c) 若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？解：先把四个男孩排成一排有 种排法，在每一排列中有五个空档（包括两端），再把三个女孩插入空档中有 种方法，所以共有： （种）排法。来源:Zxxk.Com35A44A14403544 AA有条件的排列问题有条件的排列问题 七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。d) 若三个女孩互不相邻，四个男孩也互不相邻，有多少种不同的
11、排法？不同的排法共有：1443344 AA（种）说一说说一说插空法一般适用于 问题的处理。互不相邻互不相邻B有条件的排列问题有条件的排列问题 七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。e) 若其中的A小孩必须站在B小孩的左边，有多少种不同的排法？BAA解：A在B左边的一种排法必对应着A在B右边的一种排法，所以在全排列中， A在B左边与A在B右边的排法数相等，因此有：25207721 A排法。（种）有条件的排列问题有条件的排列问题 七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。e) 若其中的A小孩必须站在B小孩的左边
12、，有多少种不同的排法？BA对应思想对应思想252057 A1.1.某演出队有某演出队有9 9名歌舞演员，其中名歌舞演员，其中7 7人会唱歌，有人会唱歌，有5 5人会跳人会跳舞，今从舞，今从9 9人中选取出人中选取出2 2人，人，1 1人唱歌，人唱歌，1 1人跳舞，则不同选人跳舞，则不同选法有法有 种。种。来源来源:学科网学科网ZXXK2.2.某科研所有某科研所有 8 8 名外文工作者，其中名外文工作者，其中3 3人只会英语，人只会英语，2 2人人只会日语，只会日语，3 3人既会英语也会日语，现从这人既会英语也会日语，现从这8 8人中选取人中选取3 3人人会英语，会英语， 3 3人会日语的人去完
13、成一次任务，有人会日语的人去完成一次任务，有 种选法。种选法。 3.3.有有1 1克、克、2 2克、克、3 3克、克、4 4克的四个法码各一只，可以称种不克的四个法码各一只，可以称种不同重量的物体。同重量的物体。322312131514ACCCC3223131213141214ACCCCC或C55936103323133413233533CCCCCCCC10544342414CCCC325510自主练习自主练习4.4.有有9 9本不同的书；本不同的书； 平均分给平均分给3 3个人，每人个人，每人3 3本，有几种不同的分法？本，有几种不同的分法？ 甲分甲分2 2本，乙分本，乙分3 3本，丙分本，
14、丙分4 4本，有几种不同的分法？本，有几种不同的分法？ 1 1人人2 2本，本，1 1人人3 3本，本，1 1人人4 4本，有几种不同的分法？本，有几种不同的分法？ 若平均分为若平均分为3 3份，每份份，每份3 3本，有几种不同的分法？本，有几种不同的分法？ 若按若按2 2本、本、2 2本、本、2 2本、本、3 3本分成四份，有几种不同的本分成四份，有几种不同的分法？分法？1680) 1 (333639CCC1260)2(443729CCC7560)3(33443729ACCC280)4(33333639ACCC1260)5(3322242639ACCCC组合应用题组合应用题分配问题分配问题5
15、.5.有有1313个队参加篮球赛，比赛时先分成两组，第一组个队参加篮球赛，比赛时先分成两组，第一组7 7个个队，第二组队，第二组6 6个队，个队，各组都进行单循环赛（即每队都要与本组其他各队比赛各组都进行单循环赛（即每队都要与本组其他各队比赛一场），然后由各组的前两名共一场），然后由各组的前两名共4 4个队进行单循环赛决定个队进行单循环赛决定冠军、亚军，共需要比赛多少场？冠军、亚军，共需要比赛多少场？比赛时先分成两组，有多少种不同的分组方法？比赛时先分成两组，有多少种不同的分组方法？4241521242627CCC 171666713CC 自主练习自主练习6.6.十名篮球队员，平均分成两组有多
16、少种不同的分组方法？十名篮球队员，平均分成两组有多少种不同的分组方法？7.7.将将1 1、2 2、3 3、4 4、5 5、6 6六个数码分为六个数码分为3 3份，份， 若每份两个数码，共有多少种不同的分法？若每份两个数码，共有多少种不同的分法？ 若三份数码的个数分别为若三份数码的个数分别为1 1个、个、2 2个、个、3 3个，共有多少个，共有多少种不同的分法？种不同的分法？ 若三份数码的个数分别为若三份数码的个数分别为1 1个、个、1 1个、个、4 4个，共有多少个，共有多少种不同的分法？种不同的分法？1262255510ACC1533222426ACCC 60332516CCC1522441
17、516ACCC 8.8.平面内有平面内有7 7条直线，每三条不共点，有且只有条直线，每三条不共点，有且只有2 2条平行；条平行； 共有多少个交点？共有多少个交点？来源来源:学科网学科网ZXXK 以这些直线截得的线段为边能构成多少个三角形？以这些直线截得的线段为边能构成多少个三角形？201010) 1 (151225CCC302010)2(251235CCC9.9.在同一平面内有两组平行线，其中一组平行线在同一平面内有两组平行线，其中一组平行线8 8条，另一组平行线条，另一组平行线1010条，条， 它们共能构成多少个平行四边形？它们共能构成多少个平行四边形？ 有多少个交点？有多少个交点？1260
18、) 1 (21028CC80)2(11018CC例例1：在：在100件产品中有件产品中有98件合格品，件合格品，2件次品。产品件次品。产品检验时检验时,从从100件产品中任意抽出件产品中任意抽出3件。件。(1)一共有多少种不同的抽法一共有多少种不同的抽法?(2)抽出的抽出的3件中恰好有件中恰好有1件是次品的抽法有多少种件是次品的抽法有多少种?(3)抽出的抽出的3件中至少有件中至少有1件是次品的抽法有多少种件是次品的抽法有多少种?(4)抽出的抽出的3件中至多有一件是次品的抽法有多少种？件中至多有一件是次品的抽法有多少种？说明：说明：“至少至少”“”“至多至多”的问题，通常用分类的问题，通常用分类
19、法或间接法求解。法或间接法求解。例题分析例题分析3100C12298C C12213329829810098+C CC CCC或312319829810098+CC CCC或按下列条件从按下列条件从12人中选出人中选出5人，有多少种不同选法？人，有多少种不同选法？（1）甲、乙、丙三人必须当选；）甲、乙、丙三人必须当选；（2）甲、乙、丙三人不能当选；）甲、乙、丙三人不能当选；（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；）甲必须当选，乙、丙不能当选；（4）甲、乙、丙三人只有一人当选；）甲、乙、丙三人只有一人当选；（5）甲、乙、丙三人至多）甲、乙、丙三人至多2人当选；人当选；（6）甲、乙、丙三人至少）甲、乙、
20、丙三人至少1人当选；人当选；323936C C 0539126C C 1419126C C 1439378C C 231405393939(5)756C CC CC C方法一：5321239756CC C方法二：322314393939(6)666C CC CC C方法一：5051239666CC C方法二：例例2 2、某医院有内科医生、某医院有内科医生1212名，外科医生名，外科医生8 8名，现要名，现要派派5 5人参加支边医疗队，至少要有人参加支边医疗队，至少要有1 1名内科医生和名内科医生和1 1名名外科医生参加，有多少种选法？外科医生参加，有多少种选法？例题分析例题分析55520812
21、CCC分类组合分类组合,隔板处理隔板处理例例3、 把把30名学生派到名学生派到6个学校参加数学竞赛个学校参加数学竞赛,每校每校至少有至少有1人人,仅考虑人数的区别，有几种派法仅考虑人数的区别，有几种派法?分析分析:问题相当于把问题相当于把30个球放入个球放入6个不同盒子个不同盒子(盒子不盒子不能空的能空的)有几种放法有几种放法?这类问可用这类问可用“隔板法隔板法”处理处理.解解:采用采用“隔板法隔板法” 得得:5294095C例题分析例题分析分析：用于什么样的组合情况分析：用于什么样的组合情况例例4、按下列要求分配、按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不本不同的书，各有多少种不同的分配方式？
22、同的分配方式？（1）分成三份，）分成三份，1份份1本，本，1份份2本，本，1份份3本；本；（2）甲、乙、丙三人中，一人得）甲、乙、丙三人中，一人得1本，本，1人得两本，人得两本， 1人的人的3本；本；（3）平均分成三份，每份两本；）平均分成三份，每份两本；（4）平均分配给甲、乙、丙三人，每人）平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；本；（5）分成）分成3份，份，1份份4本，另外两份每份本，另外两份每份1本；本；（6）甲、乙、丙三人中，一人得）甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每本，另外两人每 人得人得1本；本； (7) 甲得甲得1本，乙得本，乙得1本，丙得本，丙得4本本例题分析例题分析有（无）
23、序（不）均匀分组问题有（无）序（不）均匀分组问题变式变式1：有有12个个相同相同的小球放入编号为的小球放入编号为1、2、3、4的的4个盒子中，求：个盒子中，求：（1）若每个盒子中至少有一个小球的不同放法；）若每个盒子中至少有一个小球的不同放法；（2）若允许空盒出现，则有多少种不同放法？）若允许空盒出现，则有多少种不同放法？311165C隔板法：变式变式2：将将4个个不同不同的球放入四个不同的盒子内的球放入四个不同的盒子内（1）共有几种放法；）共有几种放法；（2）恰有一个盒子未放球，共几种放法？）恰有一个盒子未放球，共几种放法？（3）恰有两个盒子内未放球，共几种放法？）恰有两个盒子内未放球，共几
24、种放法？先分组再分配先分组再分配例例5 5、有翻译人员、有翻译人员1111名，其中名，其中5 5名仅通英语、名仅通英语、4 4名仅通名仅通法语，还有法语，还有2 2名英、法语皆通。现欲从中选出名英、法语皆通。现欲从中选出8 8名，其名，其中中4 4名译英语，另外名译英语，另外4 4名译法语，一共可列多少张不同名译法语，一共可列多少张不同的名单？的名单？例题分析例题分析424421313554542514134143254254()()CC CC CC C C CC C CC C C2、从、从6位同学中选出位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中位参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有一
25、个人参加，则有不同的选法种数为至多有一个人参加，则有不同的选法种数为 。32328778.()()A CCCC32328778.()()B CCCC32328778.C C CC C3218711.DC C C3、要从、要从8名男医生和名男医生和7名女医生中选名女医生中选5人组成一个医疗队，如果人组成一个医疗队，如果其中至少有其中至少有2名男医生和至少有名男医生和至少有2名女医生，则不同的选法种数名女医生，则不同的选法种数为（为（ ）4、从、从7人中选出人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有（则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有（ ）2353. AC A3353.2B C A35.C A233535.2D C AA1、把、把6个学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间个学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间2人，人，若甲必须分到一车间，乙和丙不能分到二车间，则不同的分若甲必须分到一车间，乙和丙不能分到二车间，则不同的分法有法有 种种 。99CD
