1、2.2 离散型随机变量及其概率分布离散型随机变量及其概率分布离散随机变量及分布律定义定义 若随机变量若随机变量 X X 的可能取值是有限多个的可能取值是有限多个或无穷可列多个，则称或无穷可列多个，则称 X X 为为离散型随机变量离散型随机变量描述离散型随机变量的概率特性常用它的描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率概率分布或分布律分布或分布律，即，即, 2 , 1,)(kpxXPkkX x1 1 x2 2xKP Pp1p2pk或或X或或12kxxx12kppp概率分布的性质概率分布的性质q , 2 , 1, 0kpk非负性非负性q 11kkp规范性规范性离散随机变量及分布函数) )()()(
2、xxkkxXPxXPxFxxkxxkkkpxXP)(其中其中 . kkxx1 F( x) 是分段阶梯函数是分段阶梯函数, 在在 X 的可能取的可能取值值 xk 处发生间断处发生间断.)()()(1kkkkxFxFxXPp例例: : 设随机变量的分布律为设随机变量的分布律为 求求 的分布函数的分布函数, ,并求并求 X),21( XP)32(),2523( XPXPkp-123414121的分布函数为的分布函数为解解 X:即 )(xF01112411234213xxxx )(xF011124323413xxxx X214143)23()25()2523( FFXP41)21()21(, FXP又
3、又)2()2()3()32( XPFFXP4321431 例例 袋中有袋中有5 5个球，其中个球，其中2 2个白球，个白球，3 3个黑球，个黑球，从中随机地一次抽取从中随机地一次抽取3 3个球，求取得白球数的个球，求取得白球数的概率分布概率分布解解 令令 表示表示“取得的白球数取得的白球数”，则，则 可可能取值为能取值为0 0，1 1，2 2，XX可以求得的分布律为可以求得的分布律为的分布列的表格形式为的分布列的表格形式为XX 0 1 2 2P P 1/10 6/101/10 6/10 3/103/101232353210C CP XC33351010CP XC2132356110C CP X
4、C(1) 0 1 分布分布1, 0,)1 ()(1kppkXPkk是否超标等等. 常见离散常见离散r.v.的分布的分布凡试验只有两个结果, 常用0 1分布描述, 如产品是否合格、人口性别统计、系统是否正常、电力消耗X = xk 1 0Pk p 1 - p0 p 1应用场合或(2) 二项分布二项分布n 重Bernoulli 试验中, X 是事件A 在 n 次试验中发生的次数 , P (A) = p ,若nkppCkXPkPknkknn, 1 , 0,)1 ()()(则称 X 服从参数为n, p 的二项分布，记作),(pnBX01 分布是 n = 1 的二项分布二项分布的取值情况二项分布的取值情况
5、设), 8(31BX.039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .00000 1 2 3 4 5 6 7 8 8 , 1 , 0,)1 ()()()(8313188kCkXPkPkkk0.273由图表可见 , 当 时，32或k分布取得最大值273. 0)3()2(88 PP此时的 称为最可能成功次数kxP01234567824680.050.10.150.20.25设)2 . 0 ,20( BX.01 .06 .14 .21 .22 .18 .11 .06 .02 .01 .002 .0010 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 20 xP13
6、579024681020由图表可见 , 当 时，4k分布取得最大值22. 0)4(20P0.22 51015200.050.10.150.2二项分布中最可能的成功次数二项分布中最可能的成功次数的定义与推导的定义与推导则称则称 为最可能出现的次数为最可能出现的次数knkppCkXPpknkknk, 1 , 0,)1 ()(记1(1)1(1)kkpp kpp nk1)() 1)(1 (1knpkpppkkpnkpn) 1(1) 1()(),P XkP XjjX若若可取的一切值可取的一切值 当当( n + 1) p = 整数时整数时,在在 k = ( n + 1) p 与与 ( n + 1) p 1
7、 处的概率取得最大值处的概率取得最大值对固定的对固定的 n、p, P ( X = k) 的取值呈不的取值呈不 对称分布对称分布固定固定 p, 随着随着 n 的增大，其取值的分布的增大，其取值的分布趋于对称趋于对称 当当( n + 1) p 整数时整数时, 在在 k = ( n + 1) p 处的概率取得最大值处的概率取得最大值例例 独立射击独立射击5000次次, 命中率为命中率为0.001,求求 (1) 最可能命中次数及相应的概率最可能命中次数及相应的概率；(2) 命中次数不少于命中次数不少于1 次的概率次的概率.解解 (1) k = ( n + 1)p 49955550005000)999.
8、 0()001. 0()5(CP1756. 0= ( 5000+ 1)0.001 =5 (2) 令令X 表示命中次数表示命中次数,则则 X B(5000,0.001)(1) 1(1) 1(0)P XP XP X 00500050001(0.001) (0.999)C .9934. 0, 则对固定的则对固定的 k, 2 , 1 , 0!)1 (limkkeppCkknnknknn0nnp设设Possion定理定理Poisson定理说明若定理说明若X B( n, p), 则当则当n 较大，较大，p 较小较小, 而而 适中适中, 则可以用近似公式则可以用近似公式np, 2 , 1 , 0,!)1 (
9、kkeppCkknkkn问题问题 如何计算如何计算 ？ (2000)P X 解解 令令X 表示命中次数表示命中次数, 则则 5 np令令.9933. 01) 1(5eXP 此结果也可直接查此结果也可直接查 P.299 泊松泊松 分布表得到，它与用二项分布算得的结果分布表得到，它与用二项分布算得的结果 0.9934仅相差万分之一仅相差万分之一.利用利用Poisson定理再求前例中定理再求前例中 (2) X B( 5000,0.001 )在在Poisson 定理中定理中，0!kek1! 3! 21!3200eeekekekkkk由此产生了一种离散型随机变量的概率分布由此产生了一种离散型随机变量的概
10、率分布 Poisson 分布分布00!1!kkkekek注注:(3) Poisson 分布分布若若, 2, 1 , 0,!)(kkekXPk其中其中0是常数，则称是常数，则称 X 服从参数为服从参数为的的Poisson 分布分布.)(X记作记作例例 夏季用电高峰时，个别用户会因夏季用电高峰时，个别用户会因为超负荷、线路老化等问题发生断电为超负荷、线路老化等问题发生断电事故。已知某城市每天发生的停电次事故。已知某城市每天发生的停电次数数X X服从参数服从参数 =0.7=0.7的泊松分布。求的泊松分布。求该城市一天发生该城市一天发生3 3次以上停电事故的次以上停电事故的概率。概率。例例 某厂产品不
11、合格率为某厂产品不合格率为0.03, 现将产现将产品装箱装箱, 若要以不小于若要以不小于 90%的概率保证每箱的概率保证每箱中至少有中至少有 100 个合格品个合格品, 则每箱至少应装则每箱至少应装多少个产品？多少个产品？解解 设每箱至少应装设每箱至少应装100 + m 个个, 每箱的每箱的不合格品个数为合格品个数为X , 则则X B ( 100 + m , 0.03 )由题意由题意 1000()( )0.9mmkP XmPk3(100+m)0.03=3+0.03m取取 = 33130.1!kk mek查查Poisson分布表分布表, =3得得 m +1 = 6 , m = 5故每箱至少应装故
12、每箱至少应装105105个产品个产品, ,才能符合要求才能符合要求. .应用应用Poisson定理定理3310000133( )10.9!kkmmmkkk mPkeekk 超几何分布：超几何分布：( ,)XH n N M(),0,1,min ,kn kMN MnNC CP XkCkn MnN MN几何分布：几何分布：X为伯努力试验中事件为伯努力试验中事件A首次发生时的试首次发生时的试验次数，验次数，A发生的概率为发生的概率为p，则，则X服从参数服从参数为为p的几何分布。的几何分布。( )XG p1()(1),1,2,kP Xkppk几何分布具有无记忆性：几何分布具有无记忆性：( ),XG p(|)()P Xmn XmP Xn则对任意正整数则对任意正整数m，n有有负二项分布（负二项分布（PascalPascal分布）：分布）：( , )XP n p11()(1),1,nnk nkP XkCppkn n
