1、第第8 8章章 最优消费最优消费/ /投资决策投资决策: :连续时间连续时间v连续时间模型假定消费/投资决策可以连续调整，事实上如果调整间隔非常短的话，则它是一种良好的近似，因此相对于离散模型来说，它更为灵活。连续时间理论以连续时间随机过程理论为数学基础，鉴于对它的研究已有上百年的历史，有大量的成果和工具可供使用，因此它也成为了成果最为丰富的金融经济学研究领域。它在各个方面都产生了比它们的离散时间等价物更为精准和明确的结果，即便是在存在明显交易费用（transaction cost）的情况下（这使得真实交易必定是离散的），许多结论同样也可以成立。v从金融分析的历史沿革来看，解决（连续时间）跨期
2、最优消费/投资问题，历来有以下两种思路（或者说方法）。（1）随机最优控制方法。它被称为传统方法，它基于随机控制方法的一些标准成果，该方法在离散时间环境下的应用，我们在上一节中已经详细讨论过。在连续时间环境下，求解最优控制 C *和 w *的关键， 是解一个被称为哈密尔顿- 雅可比-贝尔曼（ Hamilton-Jacobi-Bellman ，HJB） 的非线性偏微分方程（ non-linear partial differential equation）。整个方法大致可以分为三个步骤。第一步是找到最优消费（ C * ）/资产选择策略（ w * ），它们是最优期望效用的一个函数；第二步就是把这个（
3、函数形式的）最优消费/投资策略代入到HJB方程，便得到一个非线性的偏微分方程，解这个方程；第三步把方程的解和它的偏导数代入最优消费/投资策略函数，得到它们的显性解。v（2）鞅方法（martingale approach）。这种方法出现在二十世纪80 年代早期，并迅速在主流金融经济学的研究中流行开来。它在经济上基于完备市场（complete market）假定和无套利（non-arbitrage）原则，在数学上借助于鞅和随机积分理论。两种资产：几何布朗运动v思路：本节将频繁使用随机最优控制方法，仍然按照先易后难的原则，先从两种资产的简单情况开始，然后推广到一般情形。在分析过程中，我们会不断比较连
4、续时间模型与它的离散时间等价物之间的异同。假定v（1）假定消费、投资发生在无限小的时间间隔内，即连续进行。v（2）理想化的证券市场上存在两种金融资产。一种为无风险资产，在投资者的整个生存期限内有固定的净收益率r ，它的价格p0(t) 运动可以用下面的微分方程来表示：v（3）消费者可以控制的决策变量有两个。一是每一时刻的消费数量，或者从整个时期来看，消费率过程（comsumption rate process） C(t) ；另一个则是在不同资产之间分配投资基金的资产组合比例或者资产组合过程（portfolio process） w(t) 。仍然令投向风险资产上的资金占总财富的比例为 w(t )
5、，则投向无风险资产上的财富比例就是 1 - w(t ) 。v（4）整个个人生命周期内，除了开始时刻具有一定的初始资源禀赋以外，没有非资本收入，或者说具有0 外生禀赋过程。这样财富过程（或者预算约束）可以表示为下面形式的微分方程：v这是离散时间财富约束差分方程（2-3）式的连续时间形式，即两种资产的增值减去消费等于财富的积累。把两种资产的价格运动过程（2-47）和（2-48）两式代入上式，得到财富变化也遵循一个扩散过程（diffusion process）：v这样我们就把最优消费/投资问题，用随机动态规划形式表达出来了，接着就可以根据前面提到的三个步骤来一步步地解决它。v第二步：把最优消费/投资
6、组合的两个函数表达式代入HJB方程，并解这个偏微分方程。当然这并非是一件简单的事，因为求解一个高次的非线性偏微分方程是非常困难的，这种类型的方程是不大可能会有解析解的，即便是使用强大的数值方法（numerical methods）对它进行求解也不是一件容易的事。v第三步：假定在上一步骤中，我们已经求出了价值函数 J (W , t ) ，就可以把它和它的偏导数代入在第一步中获得的C *和w *的函数式中，从而得到它们的显性解（explicit solution）。这时它们仅仅是W 、 r、t、的函数。v综上所述，我们可以把一般最优化条件打包起来，写成一个由两个一阶条件和一个偏微分方程构成的方程组
7、通过求解这个方程组可以同时获得最优消费 C * /投资w *解和价值函数 J (W ,t) 。特殊形式的效用函数解得：v结论：最优资产选择比例w *是独立于财富水平、消费决策、甚至时间的一个常数。它是由投资机会（市场参数、和r ）决定的，这与在考察静态资产选择问题时获得的相应结论很相似。而消费水平则取决于财富水平，这与前面离散时间模型的结论是一致的。假定投资者决定不留任何遗产，而且效用函数采用HRHA 形式解得结论：风险资产的需求与财富之间存在线性关系，而且结论：风险资产的需求与财富之间存在线性关系，而且HARA 族函数是惟一能够体现这种线性关系的凹的效用族函数是惟一能够体现这种线性关系的凹的
8、效用函数。函数。多种资产：n 维几何布朗运动v把上述关于两种资产的结论，推广到多种资产情形并不很复杂。只需要假定2 修改为：v市场上有 n + 1种资产，第0 种仍然是收益为r 的无风险资产，其他n 种为风险资产，它们的价格运动遵循n 维几何布朗运动：v结论：v对于风险证券的最优需求w *是线性的，用矩阵求逆来解出它，得到：v最优资产组合决策仍然是独立于消费决策的。v重写一阶条件，有：为了获得显性解，仍然要假定效用函数采用下面的形式：为了获得显性解，仍然要假定效用函数采用下面的形式：无限时间情形一般情形：伊藤过程u问题的描述：前面一直假定风险资产的价格遵循几何布朗运动。这也就是说，任意风险资产
9、的瞬间收益率恒为 且方差为2。但是这往往是不现实的，在实际生活中 和2常常是其他外生变量的函数。u一般情形：假定风险资产的价格运动遵循伊藤扩散过程，即n这些定义形式上类似于几何布朗运动的情况，但关键的差异在于这里的风险资产的期望收益和方差是外生的新自变量（向量） S 的函数。而S 就是在离散时间情况下，所定义的状态变量。如何决定这些状态变量是一个经验的问题。n状态变量是全部外生经济风险的体现，它完全决定了投资者面对的投资机会集合。尽管直接效用函数尽管直接效用函数U Ui iC(t),tC(t),t 是状态独立的，间接效用是状态独立的，间接效用函数函数JW(t),S(t),tJW(t),S(t)
10、,t 现在是状态依存的了。现在是状态依存的了。上式仍然要满足非负消费和非负财富的隐性约束。上式仍然要满足非负消费和非负财富的隐性约束。用HJB方程对C 和w 求导，可以得到n+1个一阶最优条件：互助基金定理u如何理解该最优资产组合的经济意义呢？可以把（如何理解该最优资产组合的经济意义呢？可以把（2-1082-108）式右边分解为两个独立的部分：）式右边分解为两个独立的部分：u先考虑第二部分即第二项等于先考虑第二部分即第二项等于0 0 的情形，下列情形可能会导致第二项为的情形，下列情形可能会导致第二项为0 0。n（1 1）投资机会集方面。这又有两种情况：）投资机会集方面。这又有两种情况： 状态变
11、量状态变量S Sj,j,(j(j=1,2,=1,2, m) m)的变化是非随机的，这样就有的变化是非随机的，这样就有g gj j=0,(j=0,1,2,m=0,(j=0,1,2,m）；）； 在整个投资期间内市场参数在整个投资期间内市场参数风险资产收益率、方差、协方差和无风风险资产收益率、方差、协方差和无风险资产收益率，都独立于状态变量险资产收益率，都独立于状态变量S(tS(t) )，即，即 ijij=0=0。v这两种情况下，都会使得这两种情况下，都会使得 =0=0 ，从而使等（，从而使等（2-1082-108）式的第二项为）式的第二项为0 0，这被，这被统称为不变投资机会集（统称为不变投资机会
12、集（constant investment opportunity setconstant investment opportunity set）。）。n（2 2）效用函数方面。如果投资者引至效用函数）效用函数方面。如果投资者引至效用函数J J 中财富的边际效用，即中财富的边际效用，即W W J J 不依赖于状态变量不依赖于状态变量 S S( (t t ) ) ，则这时混合偏导数，则这时混合偏导数J JW sW s =0 =0,(s=1,2,m) ,(s=1,2,m) 。根据包络条件，这只有当最优消费根据包络条件，这只有当最优消费 C C * *不依赖于状态变量不依赖于状态变量 S S( (t
13、 t ) ) 时才成立。时才成立。如果投资者具有对数形式的效用函数，则间接效用函数如果投资者具有对数形式的效用函数，则间接效用函数 J J( (W W ，S S ) ) 是是W W 的的函数和函数和S S 的函数的简单加总，从而使得（的函数的简单加总，从而使得（2-1082-108）式中的第二项为）式中的第二项为0 0。v在以上三种情况下，最优资产组合都可以简化为v这就是上一小节中，假定资产价格遵循几何布朗运动时，也就是资产价格呈对数正态分布时的结论。v进一步，令v显然有1TwT=1。wT是最小方差曲线上与无风险借贷线（no risk borrowing lending line）相切的切点资
14、产组合。v通过它可以把（2-109）式变形为v即投资者的最优资产组合为切点资产组合的一个固定比例。它说明：如同在单一时期中按照均方效率原则决策的投资者，连续时间的投资者也仅仅会投资在两种资产（组合）上，一种是无风险资产，一种是切点资产组合。v互助基金定理：v定理定理2.2.1 （两基金分离或者互助基金） 如果连续决策的投资者面对不变投资机会集，他们会把财富在两种资产或者资产组合上做出分配，一种是无风险借贷，另一种是切点资产组合。v说明：这是马科维茨-托宾分离定理的连续时间版本，但是它不需要倍受争议的二次效用形式和资产收益呈椭圆分布的假定。因此不变的投资机会集，是保证连续时间投资者像单一时期按照
15、均方效率原则行动的风险厌恶投资者一样决策的充要条件。v一般情形：假定上述关于对数效用函数和不变投资机会集的要求均不成立，则最优资产组合为u因此因此V V-1-1 j j 确实代表了那些可以对投资机会集变化（确实代表了那些可以对投资机会集变化（ S S j j变化）进行对冲（变化）进行对冲（hedginghedging）的资产组合，它本质上是一个逆对经济风险的资产组合，它本质上是一个逆对经济风险j S j S 的最佳保值方案。的最佳保值方案。u投资者持有这些对冲资产组合的数量由系数投资者持有这些对冲资产组合的数量由系数(-J(-JjWjW/WJ/WJWWWW) )决定，因此投资者对那些可以决定，
16、因此投资者对那些可以对经济风险（状态变量）的意外变化进行保值的对冲资产组合，具有额外的需求。这对经济风险（状态变量）的意外变化进行保值的对冲资产组合，具有额外的需求。这是（连续时间）跨期动态决策最富有特色的部分，也是它与静态决策最大的区别所在。是（连续时间）跨期动态决策最富有特色的部分，也是它与静态决策最大的区别所在。w H中包含了m 种可以对m 个状态变量进行保值的对冲基金。这样就有新的m +2助基金定理u定理定理2.2.2（m +2 互助基金） u说明：这种基金组合确实复制了那种由原始的n +1 种资产构成的最优资产组合。它不依赖于投资者偏好、财富水平，因此每一个投资者都可以通过投资这m+
17、2 种基金来获得最优资产组合。如果mn+1，则该定理意义不大；但如果m 0 ，有u由于假定效用函数是凹的，所以（-JW/JWW）始终大于0。因为C*/W0,所以第二项系数(-JjW/JWW） 的符号取决于(-C*/Sj)的符号。u如果某一状态变量的变化会导致当期最优消费的减少，我们就称这种变化是不利的变化。换句话说，如果(-C*/Sj0.u观察对最优资产的额外需求（2-117）式容易知道，投资者对于其收益同该状态变量S j的变化完全正相关的那种资产的额外需求是正的。通过持有更多的该种保值资产，投资者平滑了整个消费过程。应当注意的是，这并不是一般意义的平均化消费，它代表投资者对于可能出现的消费风
18、险的保险/保值行为。静态分析中之所以缺乏这种保值行为，是因为在静态分析中， 效用函数被假定为仅仅取决于期末财富水平， 这就隐含着(-C*/Sj=0) 。u跨期动态模型中的风险资产，除了能够体现一般的期末财富风险/收益权衡关系以外，它还为其他经济风险提供防御的手段。u综上所述，从各个方面来看，跨期模型都要比它的静态等价物强得很多。例如它放弃了笨拙的二次效用形式和正态分布假定；u有趣的是：它所获得最优资产需求结构，也表现出它的比较静态等价物的资产分离（互助基金定理）特性；通过假定资产运动采用更为一般的伊藤形式，它避免了离散模型的无限负债可能，因此它更加符合实际，在数学上也更“容易”处理。动态资本资
19、产定价模型思路：上一节的分析获得了个人最优投资决策w * 。如同单期中获得CAPM 的方式，也可以通过加总个人需求，获得风险资产的市场需求，并进一步发现它们的均衡价格（收益）。跨期资本资产定价模型v结论：投资者最优投资组合可以表示为三种基金的线性组合，这样就有所谓三基金分离（three-fund portfolio separation），即个人可以在无风险借贷、切点资产组合wT和对冲资产组合 w H之间分配投资基金，投资于后两种资产组合的比例由投资者的风险偏好态度决定，也就是说对于不同投资者来说一般是不同的。这一分离定理是m +2 基金分离定理的简化形式。v总体上看，投资者倾向于使用对冲基金
20、为特定的投资机会集进行保值的话，总体上看，投资者倾向于使用对冲基金为特定的投资机会集进行保值的话，则会抬高这种资产组合的均衡价格，从而降低它的均衡收益率（如果反向对则会抬高这种资产组合的均衡价格，从而降低它的均衡收益率（如果反向对冲则效果正好相反）。这就使得它的收益率与冲则效果正好相反）。这就使得它的收益率与CAPM 所预言的收益率有所出所预言的收益率有所出入。入。v在跨期条件下，仅仅与市场资产组合相联系的系数，还不足以描绘一种资产的相对风险，它与投资机会集的协方差也会影响它的价格和最优需求数量。要注意的是：这两者都是系统风险，因而它是一种两的均衡。在什么条件下，跨期资本资产定价模型可以得到与
21、静态的资本资产定价模型相兼容的结论？ v这个结论同静态的CAPM 获得的结论完全一致，但它不需要二次效用形式和正态分布假定。显然，在这种情况下，因为r 是常数，没必要做保值，从而市场系数就完全决定了单个风险资产的收益。消费资本资产定价模型v上面的分析选择的状态变量是利率r ，这是随意选择的。如何发现那些建立模型时可用的状态变量呢？一种方法就如前面讨论的无套利模型一样，基于历史数据采用某种因素分析方法。另一种则是理论假定采用某种状态变量。例如可以选择真实消费作为状态变量。v投资者k的绝对风险厌恶系数为 ，代入（2-147）得u说明：在这样一种跨期经济中，市场资产组合不再具有均方效率，而恰恰是那些
22、在收益上与真实总消费有着最高相关关系的资产组合，是具有均方效率的。直观上理解ICAPM 的数学分析基于以下观察：给定一条最优路径，个人会极力把消费的边际效用设定为财富的边际效用（包络条件）。因而财富的效用是这种理论的基本点，而这正恰恰是CCAPM 的核心。给定财富和当前状态，一个间接效用函数就描述了通过最优决策，获得个人未来（终身）效用的当前价值。沿着这条最优路径，个人总是以资产收益对财富的边际效用变化之间的相关关系，来评估它们的价值。某种资产的边际价值（或者公平市场价格），就应当是它的未来支付的期望边际效用，而支付的边际效用的数学期望取决于该期望支付值的大小、履行支付的时间，以及它们与不同时间的一单位消费（或者支付）之间的协方差。
